Autor Tema: Definición recursiva de la jerarquía de Borel

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26 Marzo, 2021, 06:23 pm
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Eparoh

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Hola a todos, la jerarquía de Borel tal como se define por ejemplo en el libro de Carlos Ivorra (página 6), se define de forma recursiva, luego utilizando el teorema de recursión transfinita.
Llevo un tiempo dándole vueltas e intentando encajar la validez de esta definición dentro de dicho teorema pero no lo consigo.
Es decir, no consigo encontrar las funciones y los conjuntos a partir de los cuales el teorema de recursión transfinita nos devuelve cada uno de los conjuntos en la jerarquía de Borel.

¿Alguien sabe como sería esta construcción?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

26 Marzo, 2021, 07:36 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Partimos de un espacio metrizable \( X \). Toma como \( G \) la función definida como sigue:

  • \( G(\emptyset)=\emptyset \) (por poner algo)
  • Si \( f \) es una función de dominio \( 1=\{0\} \), entonces \( G(f)=\{A\mid A \mbox{ es abierto en } X\} \)
  • Si \( f \) es una función de dominio un ordinal \( \alpha>1 \), entonces

    \(  G(f)=\{\bigcup\limits_{n\in\omega}A_n\mid \forall n\in\omega (A_n\subset X\land X\setminus A_n\in \bigcup\limits_{0<\beta<\alpha}f(\beta))\} \)

El teorema de recursión transfinita te da entonces que existe una única función \( F:\Omega\longrightarrow V  \) que cumple \( \forall \alpha\in \Omega\ F(\alpha)=G(F|_\alpha) \).

Para cada ordinal \( \alpha\geq 1 \), definimos \( \Sigma^0_\alpha(X)=F(\alpha) \) y definimos \( \Pi^0_\alpha(X)=\{A\subset X\mid X\setminus A\in \Sigma^0_\alpha(X)\} \).

Vamos a ver que esto coincide con la definición usual. Si \( \alpha=1 \), entonces \( F|_\alpha \) es una función de dominio \( 1 \), luego

\( \Sigma_1^0(X)=G(F|_\alpha)=\{A\mid A \mbox{ es abierto en } X\} \), como tiene que ser.

Si \( \alpha>1 \), entonces

\( \Sigma_\alpha^0(X)=G(F|_\alpha)=\{\bigcup\limits_{n\in\omega}A_n\mid \forall n\in\omega (A_n\subset X\land X\setminus A_n\in \bigcup\limits_{0<\beta<\alpha}F(\beta))\} \)

\( =\{\bigcup\limits_{n\in\omega}A_n\mid \forall n\in\omega (A_n\subset X\land X\setminus A_n\in \bigcup\limits_{0<\beta<\alpha}\Sigma^0_\beta(X))\} \)

\( =\{\bigcup\limits_{n\in\omega}A_n\mid \forall n\in\omega (A_n\in \bigcup\limits_{0<\beta<\alpha}\Pi^0_\beta(X))\} \)
como tiene que ser.

11 Abril, 2021, 05:36 pm
Respuesta #2

Eparoh

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Hola Carlos, gracias por la respuesta todo claro  ;)

Siempre tengo la duda de como hacerlo porque en cada libro que consulto la forma del teorema de recursión es distinta, pero consultando el tuyo me parece una forma muy clara y con la que salen cosas del tipo de estas definiciones muy claras.

Un saludo.