Buena noche para todos. Tengo el siguiente problema que creo que resolví, pero igual, les agradecería si me dicen si es correcta la demostración.
Mil gracias.
El problema es el siguiente
Sea \( A_{1}, A_{2}, A_{3}, ... \) una secuencia de conjuntos medibles contenidos en la bola \( B(0,1)\subset{\mathbb{R^{n}}} \)
Asuma, que para algún \( \epsilon>0 \) pasa que \( m(A_{k})\geq{\epsilon} \) pruebe que existe algún punto que pertenece a infinitos de los \( A_{k} \)
Mi intento de demostración:
Primero, los \( A_{k} \) no pueden ser todos disjuntos, si así fuese \( m(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k})=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{m(A_{k})} \geq{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\epsilon} } \) y esa serie no converge.
Es más:
Teniendo en cuenta esto, sea N-1, la cantidad de estos conjuntos que pueden ser disjuntos dos a dos.
Ahora, sea \( I=\left \{ N, N+1, ... \right \} \) un conjunto de indices.
Ahora, tenemos que:
\( A_{i}\cap{A_{j}}\neq \emptyset \) para algún i diferente de j, ambos en I.
Ahora, supongamos que no existe ningún \( x \) que pertenezca a infinitos \( A_{i} \) con \( i \in{I} \)
Por \( ^{(*)} \) tenemos que, existe un número \( d \) tal que
\( \displaystyle\sum_{i=N}^\infty{m(A_{i})} \leq{dm(\bigcup_{i=N}^{\infty} A_{i})} \)
Pero:
\( \displaystyle\sum_{i=N}^\infty{\epsilon}\leq{} \displaystyle\sum_{i=N}^\infty{m(A_{i})} \leq{dm(\bigcup_{i=N}^{\infty} A_{i})} \)
y
\( \displaystyle\sum_{i=N}^\infty{\epsilon} \) no converge y \( dm(\bigcup_{i=N}^{\infty} A_{i}) \) si.
Luego, existe x que pertenece a infinitos \( A_{k} \)
\( ^{(*)} \)
Suponga que
\( A_{1}, A_{2}, A_{3}, ... \) es una secuencia de conjuntos medibles, y suponga que \( d \) es un número natural tal que cada punto \( x \)de \( \mathbb{R^{n}} \) no pertenece a más de \( d \) de los \( A^{´}_{k} s \)
Entonces
\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{m(A_{i})} \leq{dm(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i})} \)
Para ese problema, encontré otra prueba, pero quiero saber si la mía en particular, está bien.
Mil gracias.
