Hola
Ordeno el polinomio de grado 2
\( P^2=xP-x+1 \) (1)
Como está al cuadrado el polinimo \( P^2 \) entonces se forma la formula anterior pero negativa: \( a^2-2ab+b^2 \)
\( P^2=xP^2-x+1 \) (2)
No entiendo lo que haces. No entiendo como pasas de
(1) a
(2).
Voy a dejar a un lado el primer ejercicio y me centro en esto. Te numeraré los pasos. Indica el primero que no entiendas:
1) Nos piden un polinomio de grado \( 1 \). Todo polinomio de grado \( 1 \) es de la forma \( P(x)=ax+b \) para valores de \( a,b \) que aún no conocemos.
2) Sustituimos \( P(x)=ax+b \) en la ecuación \( p(x)^2+x=xp(x)+1 \):
\( (ax+b)^2+x=x(ax+b)+1 \)
3) Hacemos cuentas en la expresión anterior:
\( a^2x^2+2abx+b^2+x=ax^2+bx+1 \)
\( a^2x^2+(2ab+1)x+b^2=ax^2+bx+1 \)
4) Tenemos dos polinomios de grado dos igualados. Uno es \( a^2x^2+(2ab+1)x+b^2 \). El otro \( ax^2+bx+1 \). Para que dos polinomios sean el mismo tienen que tener lo mismos coeficientes.
El coeficiente de \( x^2 \) tiene que ser el mismo para ambos: \( a^2=a \).
El coeficiente de \( x \) tiene que ser el mismo para ambos: \( 2ab+1=b \).
El término independiente tiene que ser el mismo para ambos: \( b^2=1 \).
5) Resolvemos el sistema de ecuaciones:
\( a^2=a \)
\( 2ab+1=b \)
\( b^2=1 \)
6) Si \( a^2=a \) entonces \( a=1 \) ó \( a=0 \). Pero \( a=0 \) no puedes ser porque entonces el polinomio \( p(x)=ax+b=b \) sería una constante: de grado cero. Por tanto \( a=1 \).
7) Sustituyendo \( a=1 \) en \( 2ab+1=b \) queda \( 2b+1=b \) y de ahí \( b=-1 \).
8) Comprobamos que \( b=-1 \) cumple la tercera ecuación \( b^2=1 \).
9) La solución es: \( p(x)=ax+b=1\cdot x-1=x-1 \)
Míralo con calma y como te dije indica en que punto tienes dudas.
Si entiendes este procedimiento te debería de ayudar a entender el camino que te propuse para resolver el primero.
Saludos.
