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Mensajes - Luis Fuentes

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Geometría Diferencial - Variedades / Re: Curva Regular y Vector
« en: 28 Abril, 2022, 10:51 am »
Hola

Okey, ya vi la resolución de la edo, y me dio, pero no entiendo como pasas de esto

  \(  (\alpha^{'} \times{} \alpha^{''}) \times{} \alpha^{'}   \)

a esto

\(  k + \epsilon^2 k^3 + \epsilon k' = 0  \)

porque lo estoy viendo de esta manera

\(  (\alpha^{'} \times{} \alpha^{''}) \times{} \alpha^{'} = (\alpha^{'} \cdot \alpha^{'}) \cdot \alpha^{''} - (\alpha^{''} \cdot \alpha^{'} )\cdot \alpha^{'} = (\alpha^{'})^2 \alpha^{''} - (\alpha^{'})^2 \alpha^{''} = 0 \)

y siempre que empiezo a solucionarlo se me va para cero, y no llego a esto

Tienes:

\( ((\alpha^{'} \times{} \alpha^{''}) \times{} \alpha^{'})\cdot N=((\alpha^{'} \cdot \alpha^{'}) \cdot \alpha^{''} - (\alpha^{''} \cdot \alpha^{'} )\cdot \alpha^{'} )\cdot N=(\alpha^{'} \cdot \alpha^{'}) \cdot (\alpha^{''}\cdot N) - (\alpha^{''} \cdot \alpha^{'} )\cdot( \alpha^{'} \cdot N) \)

\( \|\alpha'\|^2=1+\epsilon^2\kappa^2 \)
\( \alpha'\cdot \alpha''=-\epsilon\kappa^2+\epsilon\kappa(\kappa+\epsilon\kappa') \)

\( \alpha''\cdot N=\kappa+\epsilon\kappa' \)
\( \alpha'\cdot N=\epsilon\kappa' \)

Por tanto te queda:

\( (\kappa+\epsilon\kappa')(1+\epsilon^2\kappa^2)-\epsilon\kappa(-\epsilon\kappa^2+\epsilon\kappa(\kappa+\epsilon\kappa'))=
(\kappa+\epsilon\kappa')(1+\epsilon^2\kappa^2-\epsilon^2\kappa^2)+\epsilon^2\kappa^3=\kappa+\epsilon\kappa'+\epsilon^2\kappa^3 \)

Saludos.

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Álgebra / Re: Analizar si son grupos con la operación indicada
« en: 28 Abril, 2022, 10:35 am »
Hola

1. Determinese si los siguientes conjuntos $$G$$ con la operación indicada forman un grupo. Si no, indiquese cuáles axiomas de grupo no son válidos.
(a) $$G=$$ conjunto de los enteros, $$a * b=a-b$$.
(b) $$G=$$ conjunto de los enteros, $$a * b=a+b+a b$$.
(c) $$G=$$ conjunto de los enteros no negativos, $$a * b=a+b$$.

Te pueden ayudar estos ejemplos relacinados:

https://fernandorevilla.es/2014/02/20/concepto-de-grupo/

En general plantéate en cada caso:

¿Cumple la propiedad asociativa?.

Spoiler
Por ejemplo en el primero:

\( (a*b)*c=(a-b)*c=(a-b)-c=a-b-c \)
\( a*(b*c)=a-(b*c)=a-(b-c)=a-b+c \)

falla. Certifícalo con un ejemplo.
[cerrar]

¿Tiene neutro?¿Todo elemento tiene opuesto?.

¡Inténtalo!

Saludos.

63
Hola

Verificar que \( e_{i} e_{j}^{t} = E_{ij} \) donde \( E_{ij} \) es la matriz cuya única entrada no nula es la \( i, j \), donde vale 1.

Pues por definición \( e_{i} e_{j} \) son matrices columna \( n\times 1 \):

\( (e_i)_{k1}=\begin{cases}{1}&\text{si}& i=k\\0 & \text{si}& i\neq k\end{cases} \)
\( (e_j)_{m1}=\begin{cases}{1}&\text{si}& j=m\\0 & \text{si}& j\neq m\end{cases} \)

Entonces:

\( (e_{i} e_{j}^{t})_{km}=\displaystyle\sum_{p=1}^1{}(e_i)_{kp}(e_j)_{mp}=(e_i)_{k1}(e_j)_{m1}=\begin{cases}{1}&\text{si}& i=k\textsf{ y }j=m\\0 & \text{si}& \textsf{en otro caso}\end{cases} \)

Saludos.

64
Hola

 Si pinchas con el botón derecho sobre la cuadrícula te sale un menú. Seleccionas Eje X; Eje Y y escoges la proporción entre uno y otro:



Saludos.

65
Matemática de Escuelas / Re: Calculo estadístico
« en: 27 Abril, 2022, 05:26 pm »
Hola

Lo que no me acaba de cuadrar es que se deje la mantisa, no se pueden medir trozos de persona. Lo formal no sería decir 2180 +- error. :banghead:

Yo sigo sin entender cuál es el problema. Lo del error no tiene nada que ver; el error tiene sentido si se estiman o se aproximan datos; y aun así a veces se omite, y en todo caso no tiene nada que ver con el carácter discreto de los datos.

Simplemente si haces en recuento y divides para obtener una razón, un promedio, o haces un escalado... salen decimales. No sé que problema hay.

Saludos.

66
Hola

No estoy segura de que la demostración este completa, me podríais aclarar la ultima parte, donde dice caso mas interesante.
y seria posible tener un ejemplo?
muchas gracias

No acabo de estar seguro de cuál es tu duda.

Si el cuerpo es infinito, los cerrados son conjuntos finitos, los abiertos son su complementarios: por tanto dos abiertos no vacíos se cortan siempre, porque lo que queda fuera de un abierto son a lo sumo un número finito de puntos y un abierto siempre tiene infinitos puntos.

Un ejemplo es tomar los reales; los cerrados con conjuntos finitos de reales, o si quieres raíces de polinomios que es lo mismo.

Saludos.

67
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Curva Regular y Vector
« en: 27 Abril, 2022, 11:16 am »
Hola

Sea \( \omega : I \rightarrow{} \Bbb R^3 \) una curva bi-regular parametrizada por la longitud de arco y teniendo vector tangente \( t \), y para todo \( \epsilon \neq 0 \) defina \( \omega_{\epsilon} = \omega +\epsilon t \). Pruebe que \( \omega_{\epsilon} \) es siempre una curva regular, y que el vector normal de \( \omega_{\epsilon} \) es siempre ortogonal al vector normal de \( \omega  \) si la curvatura \( k \)  de \( \omega \) es de la forma

\( k(s) = \dfrac{ c }{\sqrt{ e^{\frac{2s}{\epsilon}} - c^2 {\epsilon}^2}} \)
, para alguna constante \( 0 < c < \dfrac{1}{\epsilon} \).

Bueno lo de mostrar que es regular lo tengo, ya que, \( \omega^{'}_{\epsilon} =  \omega^{'} +\epsilon t' \), entonces\(  \left |{ \omega^{'}_{\epsilon} }\right|= \left |{ \omega^{'} +\epsilon t' }\right| =  \ldots = \sqrt{ 1 + \epsilon^2k^2} \) y eso es distinto de \( 0 \) para todo \( s \) en \( I \). Pero lo otro si lo he pensado baste pero no me da.

Llamando \( \{T,N,B\} \) a la base ortonormal formada por el tangente, normal y binormal de la curva inicial y llamando \( \alpha=\omega+\epsilon\cdot T \) a la segunda curva tienes:

\( \alpha'=T+\epsilon\cdot \kappa\cdot N \)
\( \alpha''=\kappa\cdot N+\epsilon\kappa'\cdot N+\epsilon\kappa(-\tau B-\kappa T)=-\epsilon\kappa^2T+(\kappa+\epsilon\kappa')\cdot N-\epsilon\kappa\tau B \)

El vector normal de la curva \( \alpha \) tiene la dirección de \( (\alpha'\times \alpha'')\times \alpha' \). Queremos que sea ortogonal a \( N \), es decir, que:

\( ((\alpha'\times \alpha'')\times \alpha')\cdot N=0 \)

Si haces las cuentas verás a que esto equivale a la ecuación diferencial sobre la curvatura:

\( \kappa+\epsilon^2\kappa^3+\epsilon\kappa'=0 \)

Resuelve y te sale la condición indicada.

Saludos.

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Geometría y Topología / Re: Cuádrica en espacio proyectivo
« en: 27 Abril, 2022, 11:08 am »
Hola

Gracias;  en relación a esa cuestión me ha surgido una nueva duda, que escribo a continuación:

Me cuesta mucho entender tu pregunta.

Citar
Para 2 formas cuadráticas


¿Formas cuadráticas o cuádricas?.

Citar
proyectivamente equivalentes en un espacio proyectivo dado \( \mathbb{P^{n}} \), de modo que existe una transformación proyectiva que multiplica a la transformacion inicial asociada a la forma inicial:

¿De qué transformación inicial hablas?.

Intenta formular con más detalle tu pregunta.

Saludos.

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Matemática de Escuelas / Re: Calculo estadístico
« en: 26 Abril, 2022, 06:59 pm »
Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Es correcto, no debería ser 505 al ser una variable discreta. Yo razono que o son 505 o 506 o un número concreto de personas, no pueden ser 505.86 por qué no es una variable continua y tampoco es un porcentaje.

 Es un promedio "cada 100.000" habitantes; así que puede tener decimales.

 Es como si hay \( 872134 \) coches en una población de \( 1000000 \) de habitantes y dices que hay \( 872'134 \) coches por cada \( 1000 \) habitantes.

Saludos.

70
Hola

 alucard: Llevas suficientes mensajes en el foro como para conocer de sobras sus reglas.
 
 Por favor cuida la ortografía, y no pongas el título todo en mayúsculas.

 Por el contrario, al comienzo de las oraciones y después de punto, debe de escribirse la primera letra en mayúscula.

Saludos.

71
Hola

 Un dibujo. Puedes mover los puntos \( B \) y \( C \):


Saludos.

72
Probabilidad / Re: Teorema de Bayes con n urnas
« en: 24 Abril, 2022, 12:44 pm »
Hola

¿La probabilidad de que \( Pr(B_1 | X =k) \) sería, por Laplace, \( \displaystyle\frac{\begin{pmatrix}i\\{1}\end{pmatrix} · \begin{pmatrix}n-i\\{n-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n\\{i}\end{pmatrix}}  \)?

No. No se muy bien que probabilidad has escrito ahí.

En el denominador tienes las formas de elegir \( i \) bolas entre un total de \( n \).

En el numerador.. ni se. El número combinatorio \( \displaystyle\binom{n-1}{n-i} \) ni siquiera está bien definido (o es cero) cuando \( i>1 \), porque la parte de abajo es mayor que la de arriba.

Por otro lado no se si entiendo bien esto:

Disculpa, se me olvidó indicar que cada urna tiene i bolas blancas y n-i bolas negras.

¿Quieres decir que la urna \( i \)-ésima tiene \( i \) bolas blancas y \( n-i \) negras?

Si es asi:

\( P(B_1|X=k)=\dfrac{k}{n} \)

entendiendo que \( B_1 \) es la proabilidad de que la PRIMERA bola extraída sea blanca.

Saludos.

73
Álgebra / Re: Matrices
« en: 23 Abril, 2022, 11:34 pm »
Hola

gracias por la respuestas. En el libro dan los resultados de las tres matrices. No entiendo el razonamiento para llegar a los resultados.

A= \( \begin{bmatrix}{1/2}&{0}&{0}\\{1}&{1/2}&{0}\\{1}&{1}&{1/2}\end{bmatrix} \)

B = \( \begin{bmatrix}{1/2}&{1}&{1}\\{0}&{1/2}&{1}\\{0}&{0}&{1/2}\end{bmatrix} \)

C = \( \begin{bmatrix}{1/2}&{-1}&{-2}\\{2}&{1/2}&{0}\\{3}&{1}&{1}\end{bmatrix} \)/

Pensé que quizá pudiera referirse a tres matrices distintas que cumpliesen respectivamente y de manera individual las propiedades 1), 2) y 3).

Pero si entiendes el significado de los índices no deberías de tener problema en gestionar estas condiciones. Los índices \( a_{ij} \) indican la fila y la columna. Es decir la matriz \( 3\times 3 \) es:

\( \begin{pmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}\end{pmatrix} \)

La primera condición (1):

\( a_{ij} + a_{ji} = 1, 1\leq{i}, j\leq{3} \)

Significa que:

\( a_{11}+a_{11}=1 \), \( a_{12}+a_{21}=1 \), , \( a_{13}+a_{31}=1 \)
\( a_{22}+a_{22}=1 \), \( a_{23}+a_{32}=1 \), , \( a_{33}+a_{33}=1 \)

Comprueba que la matriz:

 \( \begin{pmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}{1/2}&{0}&{0}\\{1}&{1/2}&{0}\\{1}&{1}&{1/2}\end{bmatrix} \)

cumple esas condiciones.

Sin embargo comprueba igualmente que la matriz \( B \) que has escrito no cumple la condición (2) ni la \( C \) la (3).

Saludos.




74
Hola

Aquí me confundí. El ejercicio pide dar un difeomorfismo con \( \mathbb{R}^k \), pero si \( k<n \) (como se da a entender en la definición de variedad) no se como rematar el ejercicio.

¡No! Tienes que aplicar la parte (a) tomando \( n=k \).

Saludos.

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Matemática de Escuelas / Re: Logaritmos
« en: 23 Abril, 2022, 09:57 pm »
Hola

\( ln(x)-ln(7)=log_x(4)(ln(2/7) \) (*)

Además:

\( log_x(4)=\dfrac{log(4)}{log(x)} \) (**)

De ahí puedes sustituir en (*) y llamando \( z=ln(x) \) obtener una ecuación de segundo grado.

\( log_x(x)log_x(7)=log_x(4)(log_x(2/7)=\\
1-log_x(7) = 2log_x(2)(log_x(2)-log_x(7))=\\
2log_x^2(2)-2log_x(2) \cdot log_x(7)+log_x(7)-1=0 \)

Lo intenté así pero no puedo terminar.

Pero no has hecho el cambio que te indiqué. Usando (**) en (*) te queda:

\( ln(x)-ln(14)=\dfrac{ln(4)}{ln(x)}(ln(2/7) \)

Llamando \( y=ln(x) \):

\( y^2-y\cdot ln(14)-ln(4)ln(2/7)=0 \)

\( y=\dfrac{ln(14)+\sqrt{ln(14)^2-4ln(4)ln(2/7)}}{2} \)

Pero:

\( ln(14)^2-4ln(4)ln(2/7)=(ln(2)+ln(7))^2+8ln(2)(ln(2)-ln(7))=ln(2)^2+2ln(2)ln(7)+ln(7)^2+8ln(2)ln(2)-8ln(2)ln(7)=\\
=9ln(2)^2-6ln(2)ln(7)+ln(7)^2=(3ln(2)-ln(7))^2 \)

Entonces:

\( y=\dfrac{ln(2)+ln(7)\pm (3ln(2)-ln(7))}{2} \)

Y así \( y_1=2ln(2)=ln(4) \) ó \( y_2=ln(7)-ln(2)=ln(7/2) \), y equivalentemente, \( x=4 \) ó \( x=7/2 \).

Saludos.

76
Hola

Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:
(a) Sea \( B_r=\{x \in \mathbb{R}^n : \left\|{x}\right\|<r\} \) con \( r>0 \). Mostrar que \( f:B_r \to \mathbb{R}^n \) definida por \( f(x)=\dfrac{rx}{\sqrt{r^2-\left\|{x}\right\|^2}} \) es un difeomorfismo de clase \( C^\infty \) entre \( B_r \) y \( \mathbb{R}^n \)

Fíjate que \( f(x) \) va en un múltiplo del propio vector \( x \). Entonces lo que tenemos que preocuparnos es como se transforma la norma.

Tienes:

\( \|f(x)\|=\dfrac{r\|x\|}{\sqrt{r^2-\|x\|^2}} \)

Ahora despeja \( \|x\| \):

\( \|f(x)\|^2(r^2-\|x\|^2)=r^2\|x\|^2 \)

\( \|x\|^2=\dfrac{r^2\|f(x)\|^2}{r^2+\|f(x)\|^2} \)

\( \|x\|=\dfrac{r\|f(x)\|}{\sqrt{r^2+\|f(x)\|^2}} \)

Entonces llamando \( y=f(x) \), la inversa \( g(y)=f^{-1}(y) \) será:

\( g(y)=\dfrac{y}{\|y\|}\cdot \dfrac{r\|y\|}{\sqrt{r^2+\|y\|^2}}=\dfrac{ry}{\sqrt{r^2+\|y\|^2}} \)

Ese cociente \( \dfrac{y}{\|y\|} \) es un vector unitario en la dirección y sentido de \( y=f(x) \) que es la misma que la de el \( x=g(y) \). Luego lo multiplico por la norma adecuada.

Saludos.

P.D. No leí bien; no me di cuenta de que ya estaba completamente resuelto.

77
Hola

Hola, dada la expresión general de una circunferencia en 3D es: \( (x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2=r^2  \)

Solo resaltar que como indica Abduali de pasada, eso es una ESFERA no una circunferencia.

Saludos.

78
Matemática de Escuelas / Re: Logaritmos
« en: 23 Abril, 2022, 09:44 am »
Hola

¿Cuáles son las raíces de la siguiente ecuación?

\( \dfrac{x}{7}=(\dfrac{2}{7})^{log_x4} \)
(R:4 e 7/2)

Si aplicas logaritmos a ambos lados te queda:

\( ln(x)-ln(7)=log_x(4)(ln(2/7) \)

Pero:

\( log_x(4)=\dfrac{ln(4)}{ln(x)} \)

De donde:

\( ln(x)-ln(7)=log_x(4)(ln(2/7) \) (*)

Además:

\( log_x(4)=\dfrac{log(4)}{log(x)} \)

De ahí puedes sustituir en (*) y llamando \( z=ln(x) \) obtener una ecuación de segundo grado.

Pero revisa el enunciado; no he hecho las cuentas del todo, pero no da esas soluciones que pones.

Saludos.

79
Hola

La idea es probar que \( A \) es no vacío, que es abierto y que es cerrado.

Hola, gracias por la respuesta, una duda adicional ¿Por qué $$A$$ tiene que ser abierto y cerrado?

Por que en un conexo \( Q \) el único abierto y cerrado al mismo tiempo es todo el conjunto \( Q \) o el vacío. Entonces si demuestras que \( A \) es abierto, cerrado y no vacío entonces necesariamente por ser \( Q \) conexo, \( A=Q \).

Como \( A \) es el conjunto de puntos que pueden unirse por un camino segmentado con \( p \), habrás probado que todos los puntos de \( Q \) pueden unirse con \( p \) que es lo que querías.

Saludos.

80
Hola

Gracias, no se si el primero me de 19 y el segundo 2.5 o 5?  :banghead:

En en cuenta que:

\( <\vec u,\vec v>=\|\vec u\|\|\vec v\|cos(\alpha)=3\cdot 2\cdot \dfrac{1}{2}=3 \)

Entonces:

\( \|\vec u+\vec v\|^2=\ldots=\|\vec u\|^2+\|vec v\|^2+2<\vec u,\vec v>=9+4+6=19 \)

\( <\vec u-\vec v,\vec u+\vec v>=\ldots=\|u\|^2-\|v\|^2=9-4=5 \).

Saludos.

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