Hola

 ¿Has planteado ya la ecuación diferencial?. Si no me equivoco debe de ser:

 \( \frac{d \theta}{d t}=-k_0(1+\alpha t)(\theta-\theta_1) \)
 
con condición inicial:

\(  \theta(0)=\theta_0 \)

 ¿sabes resoverla?... prueba variables separadas.

Hola


 Intenta, por ejemplo,  potencia de un punto interior a una circunferencia (el E) y semejanza de CDE y BFE.

 Aquí una posible solución detallada.... pero no la mires hasta el final!!!

 
Saludos.

Hola

 Volumen de un cono = superficie base \( \cdot  \) altura/3

 Superficie base (base circular) = \( \pi \cdot r^2 \)

 Volumen cono truncado = volumen cono sin truncar - volumen cono que le hemos quitado =
    = (base grande * altura grande - base pequeña*altura pequeña)/3

 Con semejanza de triángulos, pueden obtenerse variantes de esta fórmula en función de la diferencia de altura grande y pequeña (sería la altura del cono truncado).

 Utilizar integrales, me parece matar moscas a cañonazos. En cualquier caso el resultado... !!! es el mismo !!!... en caso contrario muchos matemáticos decidiríamos colgar las neuronas y dedicarnos a otra cosa.

 ¿Diferentes densidades? NO confundamos volumen, con peso o masa, que un metro cúbico de paja ocupa igual que un metro cúbico de plomo.

Saludos.

 

Hola

 Algo sobre el tema aquí:

 http://www.rinconmatematico.com.ar/foros/index.php?topic=2846.0

Saludos.

Hola

 Solución sin demostración:


Saludos.

Hola

 La definición que manejo de grafo es un conjunto de vértices V y artistas A, así no se exactamente a que se refiere el \( \alpha \).

 En cualquier caso, situación típica en matemáticas:

 - Se tienen un conjunto.

 - Se define una estructura en ese conjunto (grupo, anillo, cuerpo, topología, ... lo que sea).

 - Se definen y determinan propiedades basadas en esa estructura.

 En esta situación un isomorfismo entre dos conjuntos dotados del mismo tipo de estructura, es una aplicación biyectiva que conserva esa estructura. Lo que estamos diciendo que:

 - si dos grupos son isomorfos, tienen idénticas propiedades como grupos.
 - si dos anillos son isomorfos, tienen idénticas propiedades como anillos.
 - si dos e.topológicos son isomorfos (homeomorfos, no es más que un nombre especial), tienen idénticas propiedades como e.topológicos.
 - si dos xxxxxxxx son isomorfos, tienen idénticas propiedades como xxxxxxxxx.

 La razón y la comprobaciones son (casi) siempre muy directas, el isomorfiscmo entre dos estructuras A y B simplemente "renombra" los elementos de "A" con los nombres de "B" manteniéndose la estrucutra subyacente.

 En tu caso:

 - que exista un camino simple entre v y w, significa que hay un subconjunto de vértices \( \{v,x_1,\ldots,x_k,w\}  \) disitintos unidos cada uno con el siguiente por una arista.

 - pues bien entonces \( \{f(v),f(x_1),\ldots,f(x_k),f(w)\} \) es el camino que tu buscas. Simplemente has de comprobar:

 * que son vértices distintos (consecuecnia de que el isomorfismo es biyectivo, en particular, inyectivo).
 * que entre dos consecutivos hay un arista: la imagen de la arista que tenias en \( G_1 \). Esto es consecuencia de que f sea isomorfismo de grafos (conserve la estructura del grafo).

  Completa los detalles!!!!

Saludos.

Hola

 La verdad es que la solución es suficientemente pequeña como para que con un poco de paciencia y tanteando uno pueda obtenerla en un tiempo razonable.

 Pero el tanteo no es muy satisfactorio. ¿No?.

 La cosa es que no se me ocurre una buena forma de obtener la solución de manera más elegante.

 En cualquier caso, como ayuda, se pude tratar de resolver el siguiente subproblema:


Saludos.

P.D. Si alguien quiere la solución baste saber que:

Hola

 Teoría: ampliación de lo que dijo Nuke:

 Supón que quieres sumar una serie:

\(  \displaystyle\sum_{k=1}^n{}b_k \)

 donde cada término k puede ser expresado como

\(  b_k=a_{k+1}-a_{k} \)

 entonces tu suma queda:

 \( b_1+b_2+b_3+\ldots+b_{n-1}+b_n=(\color{blue}a_2\color{black} -a_1)+(\color{blue}a_3\color{black}\color{red}-a_2\color{black})+(\color{blue}a_4\color{black}-\color{red}a_3\color{black})+\ldots+(\color{blue}a_n\color{black}-\color{red}a_{n-1}\color{black})+(a_{n+1}-\color{red}a_n\color{black}) \)

 Fíjate que los términos intermendios \( a_2, a_3,\ldots,a_n \) se cancelan, porque aparcen con signo más en un término y con signo menos en el siguiente.

 \(  \displaystyle\sum_{k=1}^n{}b_k=a_{n+1}-a_1 \)

 Ejemplo: el que adjuntaste en tu archivo .doc:

\(  b_k=\displaystyle\frac{1}{5k-1}-\frac{1}{5(k+1)-1} \)

\(  a_k=-\displaystyle\frac{1}{5k-1} \)

 Fíjate que el primer término aparec esta vez pra k=2. Comprueba los detalles en el ejemplo.

 Si entiendes bien todo esto, no debe de serte difícil construir tus propios ejemplos.

Saludos.

 

 

 



 

Hola

 transmigrado, ¡cuidado!: un caso límite no llega (sin más) para probar la desigualdad.

Saludos.

Hola

 A ver que te lías!!!

 Se tiene si f es holomorfa en un abierto conteniendo al camino \( \Omega:[a,b]\rightarrow{}C \), entonces:

\(  \displaystyle\int_{\Omega}^{} f(z)dz=F(\Omega(b))-F(\Omega(a)) \)
 donde F es una primitiva de f, es decir F'(z)=f(z).

 En tu caso:

\(  f(z)=e^{3z+1} \)

 es holomorfa en todo C.

\(  F(z)=\frac{1}{3}e^{3z+1} \)

 (y para hallar F lo único que he hehco es integrar \( e^{3z+1} \) como si fuese una función de variable real, es decir, de la forma usual.)

\(  \Omega(a)=0; \qquad \Omega(b)=\pi. \)


 Lo que queda SON: sustituir y hacer cuentas. Es inmediato. Pero hazlo con calma!!!!!!!

Saludos.