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Mensajes - Luis Fuentes

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Hola

Hola querido FORO!  :) ;)

Necesito por favor de vuestra gran ayuda con el siguiente ejercicio, debo hallar base y dimensión del subespacio vectorial (SEV)

\( S=\left\{{(a,b,c,d)}\in \mathbb{R}^4: c+b=a; c+d=b\right\} \)

Si caracterizo este SEV, \( u \in S \Longleftrightarrow{u=(c+b, c+d,c,d)}=c(1,1,1,0)+b(1,0,0,0)+d(0,1,0,1) \)

El conjunto formado por los vectores \( B=\left\{{(1,1,1,0)(1,0,0,0)(0,1,0,1)}\right\} \) es LI, y por lo tanto es una base de \( S \) y además la \( Dim(S)=3 \)

Sólo un matiz; realmente esos vectores SI son independientes. El problema es que NO es cierto que:

\( \left\{{(a,b,c,d)}\in \mathbb{R}^4: c+b=a; c+d=b\right\} \)

sea igual a:

\( \left\{{(c+b, c+d,c,d)}\in \mathbb{R}^4: b,c,d\in \Bbb R\right\} \)

No es cierto que los vectores de \( (a',b',c',d')=(c+b, c+d,c,d) \) cumplan \( c'+b'=a' \).

Saludos.

22
Triángulos / Re: Triângulo Equilátero
« en: 10 Mayo, 2022, 06:49 pm »
Hola

 Traza la paralela al lado \( BC \) por \( P. \)



 Tienes dos triángulos equiláteros semejantes \( ABC \) y \( AB'C' \). Sean \( l \) y \( L \) respectivamente sus lados y \( h \) y \( H \) sus alturas.

 Se tiene que:

\(  area(A'B'C')=\dfrac{HL}{2} \)
 
\(  area(A'B'C')=area(APB')+area(APC')=\dfrac{L\cdot PE}{2}+\dfrac{L\cdot PF}{2} \)

 Igualando ambas expresiones se obtiene que:

 \( H=PF+PE \)

 pero por otra parte \( H=h+PQ \) y con eso:

 \( PF+PE-PQ=h \) altura del triángulo equilátero \( ABC \).

Saludos.

23
Hola

Por otra parte es cierto lo que me decía un profesor; "Las demostraciones que uds han visto que yo he hecho, todas
las he visto hacer y las he entendido, por eso las hago"... Creo que me pasa lo mismo., Gracias mil.

No estoy seguro de entender el fondo de esa frase; y menos para este ejemplo. Para saber hacer una demostración, antes de nada hay que conocer las ideas que subyacen a cualquiera de ellas; luego uno puede encontrar dificultades para resolver un paso concreto de la prueba, que pudiera tener que utilizar unos argumentos específicos.

En este caso el esquema general es muy claro; se selecciona una familia de conjuntos exigiendo que cumplan un criterio. Para ver si un conjunto pertenece a esa familia hay que ver si cumple ese criterio. En principio cualquier demostración de que una familia es una topología (o topología de Alexandrov) encaja en este esquema.

A priori si has entendido esa idea general deberías de ser capaz de aplicarla a otros casos, independientemente de que el criterio pueda ser muy diferente. En algún caso eso podría conllevar alguna dificultad adicional, pero eso es otra historia y no es el caso de este ejercicio.

Saludos.

24
Hola

Buenas, estoy probando la existencia de al menos una recta en una superficie cúbica (geometría algebraica). tengo una superficie cúbica lisa S, el plano tangente a ella en p , \(T_pS\), entonces la intersección de la la superficie con este plano tangente es una curva cúbica plana C que es singular en P. Asumo que C es irreducible y entonces C tiene que ser una cúbica nodal o cuspidal. Mi duda es si esto lo puedo dar por hecho o hay alguna teorema de clasificación de curvas que me haga no necesitar mas justificación. En el siguiente paso, asume que C es cuspidal por simplicidad de los cálculos

Muchas gracias

Es una consecuencia de la teoría de curvas algebraicas planas. Mira aquí la página 81, por ejemplo:

http://www.mat.ucm.es/~arrondo/curvas.pdf

Saludos.

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Hola

Hola, tenia una duda sobre como resolver este ejercicio, lo estuve intentando pero no me sale.

Función: \( f(x,y)=1-(\displaystyle\frac{x^2}{4}+y^2) = -\displaystyle\frac{x^2}{4}-y^2+1 \)

Restriccion: \( x^2+\displaystyle\frac{y^2}{4}-1=0, g(x,y) = x^2+\displaystyle\frac{y^2}{4}-1 \),


\( \frac{df}{dx}=-\displaystyle\frac{x}{2}, \frac{df}{dy}=-2y, \frac{dg}{dx} = 2x, \frac{dg}{dy} = \displaystyle\frac{y}{2} \), continuas en \(  \mathbb{R} ^2 \)

\( \nabla f(x,y) = \left<{-\displaystyle\frac{x}{2}, -2y}\right>, r . \nabla g(x,y) = \left<{2xr, \displaystyle\frac{yr}{2}}\right> \)

Después igualo los componentes de los gradientes y los pongo con la restricción en un sistema de ecuaciones pero no puedo resolverlo ya que no puedo despejar "r" en las ecuaciones que salen de igualar los componentes para que quede en términos de x e y, me queda igualado a constantes , como lo puedo resolver?

La sugerencia de thadeu es buena; pero igualmente por el camino que iniciaste sale muy sencillo. El sistema de ecuaciones que te queda es:

\( -\dfrac{x}{2}+2xr=0 \)

\( -2y+\dfrac{yr}{2}=0 \)

\( x^2+\dfrac{y^2}{4}=1 \)

En la primera ecuación o bien \( x=0 \) ó bien (dividiendo por \( x \)) \( r=1/4 \).

En la segunda o bien \( y=0 \) ó bien (dividiendo por \( x \)) \( r=4 \).

Deducimos que necesariamente \( x=0 \) ó \( y=0 \). Reemplazando en la tercera obtienes que los puntos críticos a estudiar son:

\( (0,1/2),(0,-1/2),(1,0),(-1,0) \)

Saludos.

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Problemas matemáticos famosos / Re: Cuadratura del circulo
« en: 10 Mayo, 2022, 12:09 pm »
Hola

 Sinceramente he echado un vistazo a los documentos y me cuesta encontrarles sentido.

 Dice cosas como que "un segmento es la integral de otro", lo cuál no tiene significado; habla de "verdadero área de un círculo" no se en base a que. Hace unos "límites" que no tienen sentido. En fin...

Saludos.

27
Hola

Buenas,
Necesito probar que la intersección de una hipersuperficie V \(\subset \mathbb A^n\) con el espacio tangente \(T_pV \)a V en P es singular en P.

Sin pérdida de generalidad (con un posible cambio de referencia) puedes suponer que \( x_1=0 \) es el hiperplano tangente en el punto \( P=(0,0,\ldots,0) \). Eso quiere decir que si la superficie está definida por la ecuación \( f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0 \) entonces las parciales \( \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(P)=0 \) para \( i=2,3,\ldots,n \).

Pero entonces la intersección de la hipersuperficie con el hiperplano tangente \( x_1=0 \) viene dado por la ecuación \( g(x_2,\ldots,x_n)=0 \) con \( g(x_2,\ldots,x_n)=f(0,x_2,\ldots,x_n) \); todas las parciales de \( g \) se anulan en el origen y así esté es un punto singular.

Saludos.

P.D. No estoy seguro al 100% si planteas la cuestión en el contexto de geometría algebraica o diferencial; pero la idea es la misma. En el primer caso la ecuación que define la función es polinómica; en el segundo una ecuación implícita local de la variedad dada por una función suficientemente diferenciable.

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Probabilidad / Re: Ejercicio de probabilidad condicional
« en: 10 Mayo, 2022, 11:42 am »
Hola

Muchas gracias a ambos, si el teorema de Bayes,  es conveniente utilizarlo junto con algunos conceptos vertidos en la solución, se puede adaptar y resulta mas resumido y entendible; pero de todas maneras el primer comentario de los estudiantes,  me hizo reflexionar, dar positivo a una BUENA PRUEBA DIAGNOSTICA (95% de exactitud), no dice mucho (solo 9 realmente tienen enfermedad)

Pero pasas de un \( 0.5 \)% de probabilidad de tener cáncer a un \( 9 \)%; se multiplica por \( 18 \).

Saludos.

29
Hola

Es correcta tu sugerencia (con el lado a= 1) nunca tenemos el punto de intersección de ambos semicirculos en el punto (n); sin embargo en el triangulo equilátero de la prueba si coincide en (n).
La solución no está en el punto (n) sino que está en el punto (m) y siempre pertenece al arco interior ( radio a-k). El punto (m) determina el triangulo correcto que tendrá por lados (0m; a-k; a) donde \( 0m \geq \frac{a}{3} \)}; Si el punto de intersección de ambos semicirculos no incide en (n) entonces se traza una nueva perpendicular desde el punto de intersección a (a) punto \(  k_{1} \) y desde \(  k_{1} \) se lleva la magnitud \( \frac{a}{3} \) al arco interior. En estos casos siempre \(  0m > \frac{a}{3} \) y, siempre tendremos un subtriangulo del triangulo de lados (\( mk_{1} \); a-k; a) con \( mk_{1} = \frac{a}{3} \).
Recomendaría construir triángulos equiláteros al azar, apliquemos paso a paso el método de la trisección y comprobaremos que es correcto. Lo he probado con siete triángulos equiláteros diferentes. No lleva mucho tiempo verificarlo.

 No es ninguna sugerencia lo que hago, sino que MUESTRO que el método está MAL.
 
 Cuando dices que lo has comprobado. ¿A qué te refieres? Tienes que hacer una prueba algebraica (o geométrica, pero teórica) de que tu método funciona. Como te he dicho el error numérico que presenta tu método es pequeño, de centésimas, entonces a simplevista o por comprobaciones empíricas a uno le puede parecer que la trisección está bien hecha.

 Entonces . ¿EXACTAMENTE en qué se basa tu comprobación?.

Saludos.

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Cálculo 1 variable / Re: Integral definida como límite
« en: 10 Mayo, 2022, 11:25 am »
Hola

Hola buenas, acabo de hacer un apartado de un ejercicio en el que me pedían calcular el siguiente límite dejándolo igual a una integral definida:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\sum_{j=1}^n{{\frac{j(n-j)}{n^3}}} \). He llegado por la definición de suma de Riemann a que este límite es igual a \( \displaystyle\int_{0}^{1}x(1-x)dx \).

Entonces, mi duda es la siguiente: si me pidieran ahora por ejemplo calcular \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\sum_{j=1}^{2n}{{\frac{j(n-j)}{n^3}}} \), ¿este límite sería sencillamente \( \displaystyle\int_{0}^{2}x(1-x)dx \) o habría que cambiar el integrando?
Muchas gracias.

Si tienes:

\( \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{2n}{}f(j/n)=2\cdot \displaystyle\sum_{j=1}^{2n}{}f(2(j/(2n))) \)

Tomando límites:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{2n}{}f(j/n)=2\displaystyle\int_{0}^{1}f(2x)dx \)

Haciendo \( 2x=t \) queda:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{2n}{}f(j/n)=\displaystyle\int_{0}^{2}f(t)dt \)

Saludos.

31
Hola

Sea\( N_x \) una vecindad minima tal que \( N_x \in{T} \), \( N_x \in{T^{\prime}} \)  (por ser ambos de Alexandrov)
luego definamos \( \cap _{i\in I}\left(N_{xi}\right) \) abiertos en \( T \) y \( T^{\prime} \).

A partir de aquí no entiendo nada. ¿Para qué defines eso? ¿De dónde sale esa familia de vecindades  \( \cap _{i\in I}\left(N_{xi}\right) \) ?.

Tampoco se parece en nada a lo que te proponía geómetracat. ¡Y te lo da hecho!. ¿Cuál es la duda?. ¡Especifícala!

Por tanto, solo tienes que ver que una intersección arbitraria de conjuntos de \( T \cap T' \) es otro conjunto de \( T \cap T' \). Pero cualquier conjunto de \( T \cap T' \) está tanto en \( T \) como en \( T' \), y como \( T \) y \( T' \) son de Alexandroff, la intersección arbitraria de conjuntos de \( T \cap T' \) está tanto en \( T \) como en \( T' \), es decir, en \( T \cap T' \).

Saludos.

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Probabilidad / Re: Teoría de Probabilidad
« en: 10 Mayo, 2022, 11:06 am »
Hola

Buen dia
Espero se encuentren bien.
Estoy realizando unos ejercicios sobre probabilidad y me encontré con este:
1. Sea \( (\Omega, F, P) = ([0,\pi], B(\mathbb{R})\cap{[0,\pi]},  \frac{1}{\pi} \lambda  |_{[0, \pi]})  \). Sean X y Y las variables aletaorias definidas sobre \( \Omega \) por:
\(  X(\omega):=sin(\omega)  \) y \( Y(\omega):=cos(\omega) \)

¿Son X y Y independientes? Explicar.

¿Cómo podría dar respuesta al interrogante?
Agradezco sus colaboraciones,
Saludos,

Intuitivamente es claro que NO son independientes, porque el coseno de un ángulo no es independiente del seno.

Por ejemplo si el seno está en \( (0,1/2) \) es imposible que el coseno tome valores en \( (0,1/2) \). Entonces:

\( P(X\in (0,1/2))=P(w\in (0,\pi/6)\cup (5\pi/6,\pi)=\dfrac{1}{\pi}(\pi/6-0)+=\dfrac{1}{\pi}(\pi-5\pi/6)=1/3 \)
\( P(Y\in (0,1/2))=P(w\in (\pi/3,\pi/2))=\dfrac{1}{\pi}(\pi/2-\pi/6)=1/3 \)

Pero:

\( P(X\in (0,1/2)\cap Y\in (0,1/2))=P(w\in ((0,\pi/6)\cup (5\pi/6,\pi))\cap (\pi/3,\pi/2))=0 \)

La probabilidad de la intersección no coincide con el producto de probabilidades.

Saludos.

33
Hola

que pena pero no di, redacte varias veces y para mi todas parecían no ser tan evidentes, es decir, ahí claramente esta \( X \)
pero no se como encontrar a \( \emptyset \).

Sospecho que no estás entendiendo como te han definido la topología; en otro caso es imposible que no seas capaz de probar que contiene al vacio.

Te dicen que la topología está formada por la familia de conjuntos:

\( D_A=\left\{U:\:U\subseteq A\right\}\cup \left\{X\right\} \)

es decir: TODOS los subconjuntos de \( A \) y además el conjunto \( X \).

¡Entonces simplemente \( \emptyset\in D_A \) porque \( \emptyset\subset A \)|

Citar
Lo otro no lo entiendo bien, la idea es definir una colección o familia de abiertos
en el conjunto y ver si su intersección esta en el conjunto, si esto es así, no sabría llevarlo a la prueba. Eso es todo, espero sus colaboraciones

Sea \( \{U_i\}\subset D_A \). Tienes que demostrar que \( \displaystyle\bigcup U_i\in D_A \). Entonces, distinguimos dos casos:

- Si algún \( U_i=X \) entonces \( \displaystyle\bigcup U_i\in D_A=X \) y por tanto esa unión pertenece a \( D_A \).

- Si \( U_i\neq X \) para todo \( i \), entonces como \( U_i\in D_A \), \( U_i\subset A \) para todo \( i \), y por las propiedades de la unión \( \displaystyle\bigcup U_i\in D_A\subset A \) y consiguientemente  \( \displaystyle\bigcup U_i\in D_A \).

Termina con la intersección.

Saludos.


34
Hola

problemas como estos
a)Si \( f(3x+1) =3x^2+3 \)  y
\( (gof)(x^2+3)=2x^3+3x^2 +x-2  \)
Hallar \( g(x^2) \)

 Si llamas \( a=3x+1 \) y por tanto \( x=(a-1)/3 \) tienes:

\( f(a)=3((a-1)/3)^2+3=\color{re}(a-1)^2/3+3\color{black} \)

  Entonces:

\(  2x^3+3x^2+x-2=g(f(x^2+3)))=g(\color{red}(x^2+2)^2/3\color{black}+3)=g(b^2) \) (*)

 Si tomas \( b^2=\color{red}(x^2+2)^2/3\color{black}+3 \), y despejas \( x \) en función de \(  b^2 \), sustituyendo en (*) tienes \( g(b^2) \).

Saludos.

CORREGIDO

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Combinatoria / Re: Duda teorica de combinaciones con repeticion
« en: 08 Mayo, 2022, 11:18 am »
Hola

Tengo una duda, es algo medio extraño, pienso que estoy pensando las cosas mal o al revés, un ejemplo; Quiero dar 6 manzanas a 4 niños, por la formula de la combinación con repetición, CR(n,r) que es combinación con repetición de n elementos tomados de a r, entonces seria CR(6,4) pero no es correcto sino que es CR(4,6)=84, utilizando el metodo de cruces y barras llego a que es 84, pero al usar la formula tengo que pensarlo como si fuera al revés, no se si interprete mal la formula o esta mal en si la formula, es decir, las variables que toman la cantidad de elementos y de a cuantos. Gracias ;)

\( CR(n,r) \) son el número de grupos de \( r \) elementos que se pueden formar con \( n \) elementos distintos, pudiendo aparecer elementos repetidos en cada grupo y de manera que el orden no importa a la hora de distinguir un grupo de otro.

Cuando pretendes aplicar esto a un conteo de "algo" tienes que pensar exactamente como eso puede ser representado mediante grupos de "tantos"
 elementos escogidos entre "cuantos".

Entonces un reparto de 6 manzanas a 4 niños (pongamos niño A, niño B, niño C, niño D) corresponde a... ¿un grupo de 6 elementos escogidos entre cuatro posibles - sería entonces \( CR(4,6) \) - ó un grupo de 4 elementos escogidos entre seis posibles  - sería entonces \( CR(6,4) \)?.

Pues por ejemplo si A recibe tres manzanas, B ninguna, C dos y D una eso corresponde al grupo AAACCD; si A recibe una manzana, B,C ninguna y D cinco eso corresponde a ADDDDD.

Es decir estás formando grupos de SEIS elementos escogidos entre 4 posibles: son \( CR(4,6) \).

Saludos.

CORREGIDO

36
Hola


 Bufff.. pereza terrible revisar este.  :P

 Saltas de trabajar en \( \Bbb Z \), \( \Bbb Z(i) \), \( \Bbb Z(i,\sqrt{2}) \) y vas hablando de divisibilidad y no me queda claro en cuál de los tres anillos manipulas esa divisiblidad.

 Por ejemplo tu último cociente dices que debe de ser entero. ¿Estás entonces trabajando en \( \Bbb Z \)?¿No estabas trabajando en \( \Bbb Z(i,\sqrt{2}) \)?.

 Por otro lado lo divides en tres sumandos y dices que uno de ellos no puede ser entero. ¿Y los otros dos?¿Lo son?.

Saludos.

37
Teorema de Fermat / Re: Propuesta de UTF4 sin descenso (1)
« en: 06 Mayo, 2022, 10:41 am »
Hola

 A vuelapluma:

 ¿\( (u+v)^{1/2} \) y \( (u-v)^{1/2} \) son enteros? Si no lo son no tengo claro en que sentido estás manipulando la coprimalidad y las factorizaciones.

Saludos.

38
Álgebra / Re: Algebra booleana
« en: 06 Mayo, 2022, 10:32 am »
Hola

pucha, beno pero esta era la mas picante la que realmente quería saber, ta muy dificil el latex u.u

c) \[ \overline{\overline{A\cdot B}\oplus C}+(\overline{A\cdot C}\oplus C)=1 \]

El LaTeX te lo he corregido yo. Sería así:

c) [tex]\overline{\overline{A\cdot B}\oplus C}+(\overline{A\cdot C}\oplus C)=1[/tex]

Ahora, por favor, corrige la ortografía:

- Las oraciones empiezan en mayúscula.
- Las palabras se escriben enteras.
- Tildes...

No estoy muy seguro de que notación estás usando. ¿La operación \( \oplus \) cuál es?.

Saludos.

39
Esquemas de demostración - Inducción / Re: Reto Japonés
« en: 06 Mayo, 2022, 10:25 am »
Hola

Pruebe que $$\pi>3.05$$
Lo propongo básicamente para amenizar ideas de solución.

Por mi parte tengo una prueba que consta de dos partes
Primero pruebo que $$2\pi>3.05$$
Finalmente uso el teorema del valor medio para probar que  $$\pi>3.05$$
Se espera una variedad de pruebas.

Por ejemplo:

Spoiler
Es fácil ver por el Teorema del Coseno que el lado del dodecágono \( x \) inscrito en una circunferencia de radio \( 1 \), cumple:

\( x^2=2(1-cos(\pi/6))=2\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \)

El perímetro del dodecágono es menor que la circunferencia \( 2\pi \):

\( 2\pi>12\cdot x\quad \Rightarrow{}\quad \pi>6x \)

\( 6x=6\sqrt{2\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} \)

Hay que probar que \( 6x>3.05=61/20 \). Equivalentemente que \( (120x)^2>61^2 \).

\( 120^2x^2=28800\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \)

Hay que probar que:

\( 28800\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)>61^2 \)

Operando equivale a:

\( 14400\sqrt{3}<25079 \)

Pero:

\( 14400^2\cdot 3=622080000<625000000=25000^2<25079^2 \)
[cerrar]

Saludos.

40
Hola

Hola me pueden ayudar con este ejercio del libro de Royden Análisis real?
Traducido sería algo así
Sean \( m \) y \( n \) métricas equivalentes en \( X \). \( (X,m) \) es separable sii \( (X,n) \) también es separable.

¿Qué has intentado? Es muy inmediato. Un espacio métrico es separable si existe un conjunto \( D \) denso numerable.

Que sea denso significa que todo abierto corta a \( D \), pero dos métricas son equivalentes precisamente si definen la misma topología, es decir, si tienen los mismos abiertos.

Pregunta si te surge alguna duda al respecto.

Saludos.

P.D. No repitas la misma pregunta en distintos hilos.

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