Hola

Hola; tengo la siguiente duda sobre una pregunta del libro;
 
"Cual es el lugar geometrico representado por la ecuacion (del producto de ideales principales, segun entiendo, por los incisos siguientes se la misma pregunta) \( xy=0 \) en \( \mathbb{R^{3}} \)?"

Para \( x=0 \) y para \( y=0 \); cada una representa, como lugar geometrico, un plano/hiperplano en el espacio? Entonces, la respuesta sobre el lugar geometrico del producto de ideales ppalew se puede "conectar" con lo anterior?

Si, corresponde a la unión de dos planos.

Si me pueden orientar al respecto, cómo avbordar el tema, estudiar el tema, etc agradezco mucho.

¿Qué tema exactamente? Ya he comentado más veces en el foro que no me parece que estés enfocando bien tu estudio de las matemáticas. Da la sensación de que abordas los temas como "por en medio", sin seguir un orden; de manera un tanto caótica.

Entonces.

1) Fija que tema quieres estudiar (sinceramente no lo tengo claro).
2) Busca un libro o notas de referencia al que tengas acceso
3) Mira que requisitos previos recomienda el libro. Si los tienes, empieza a estudiarlo desde el principio; en caso contrario busca libros o notas donde formarte en esos temas

Por supuesto sigue consultando en el foro.

Saludos.

Hola

Hola; tengo unas dudas sobre el concepto de secciones cónicas que trataré de expresar aquí;

Suponiendo que la ecuación (canónica) de un cono es dada.como \( x^{2}+y^{2}-z^{2}=0 \), entonces las dudas, que apuntan a una cuestión (parcialmente) geométrica digamos, serían:

Es correcto interpretar, a partir de dicha ecuación, la existencia de una familia de formas (afines) definidas positivas (la parte \( x^{2}+y^{2}=1 \) ó \( x^{2}+y^{2}=k \) de la ecuación) como conjunto de formas elípticas "parametrizadas" por la variable \( z \): a saber, en tanto \( z=k \) determina un plano (de corte?) y, así, una forma (afin) definida positiva en las variables \( x \) e \( y \), el tomar infinitos.valores para \( z=k_{i} \) resultaria en un lugar comsistente en un cono (con centro en el eje \( z \) de \( \mathbb{R^{3}} \))?

Sinceramente me cuesta entender el fondo de lo que quieres decir; no sé a donde quieres llegar a parar.

Si cortas un cono con la ecuación que indicas con planos de la forma \( z=k \) pues se obtienen elipses. Si. Eso es correcto. El cono podría describirse como la familia de esas secciones. Pero no se que trascendencia le quieres dar a todo eso.

Si cortas con otros planos en otras posiciones el tipo de cónica que se obtiene en el corte con el cono puede cambiar. Puedes jugar con eso aquí:

https://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/secciones.html

Saludos.

Hola

Encontrar el centralizador para cada elemento de $$S_{3}$$, cada elemento de $$D_{8}$$ y para la matriz $$A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \in \mathrm{GL}_{2}( R)$$.

¿Qué has intentado? ¡Aplica la definición!.

El centralizador de un elemento es el conjunto de aquellos que conmutan con él.

Por ejemplo para la matriz tienes que imponer que:

\( \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{ll}x & y \\ z & t\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ll}x & y \\ z & t\end{array}\right) \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)  \)

Resolviendo obtendrás que las matrices que conmutan con \( A \) son las de la forma:

\( \left(\begin{array}{ll}x & y \\ 0 & x\end{array}\right)  \)

Saludos.

Hola

Juan quiere guardar 10 libros diferentes en 7 estantes vacíos diferentes y quiere que al menos 5 de ellos posean un libro. ¿De cuántas maneras puede realizarse esta tarea?.

(a) \( Sob(10,7)+Sob(10,6)\binom{7}{6}+Sob(10,5)\binom{7}{5} \)

(b) \( CR_5^7 \)

(c) \( CR_7^5 \)

(d) \( S(10,7)+S(10,6)\binom{7}{6}+S(10,5)\binom{7}{5} \)

(e) \( Sob(10,7)+Sob(10,6)+Sob(10,5) \)

Hola, he intentado hacer este ejercicio, y a simple vista la respuesta correcta seria la B) que el resultado seria 462 ¿Es correcto? las otras opciones no tengo idea para que sirven. Gracias

No, no es correcto.

La respuesta correcta es la (a).

\( Sob(n,r) \) es el número de aplicaciones sobreyectivas de un conjunto de \( n \) elementos en uno de \( k \) elementos.

\( Sob(n,r)=\displaystyle\sum_{i=0}^r{}(-1)^r\binom{r}{i}(r-i)^n \)

Una distribución de los 10 libros que llene las SIETE estanterías corresponde a una aplicación sobreyectiva del conjunto de 10 libros en el conjunto de 7 estanterías, que lleva cada libro a la estantería donde ha sido colocado.

Una distribución de los 10 libros que llene sólo SEIS estanterías corresponde a una aplicación sobreyectiva del conjunto de 10 libros en el conjunto de 7 estanterías, que lleva cada libro a la estantería donde ha sido colocado. Además hay \( \displaystyle\binom{7}{6} \) formas de elegir las seis estanterías ocupadas.

Una distribución de los 10 libros que llene sólo CINCO estanterías corresponde a una aplicación sobreyectiva del conjunto de 10 libros en el conjunto de 7 estanterías, que lleva cada libro a la estantería donde ha sido colocado. Además hay \( \displaystyle\binom{7}{5} \) formas de elegir  las cinco estanterías ocupadas.

Eso justifica esta fórmula:

\( Sob(10,7)+Sob(10,6)\binom{7}{6}+Sob(10,5)\binom{7}{5}=251846280 \)

Saludos.

Hola

Gracias por sus respuestas, entonces la ultima parte de la demostración quedaría así:

\( ..=\left<{a;a+c+2;c}\right> \)

Si; no obstante es importante que tengas claro que para probar que una propiedad FALLA la forma rigurosa de hacerlo es mostrar un ejemplo CONCRETO donde no se cumple.

Saludos.

Hola

 Parece que la interpretación que pretende el problema es que el hombre no tenga altura y la estaca si. En ese caso el dibujo es este:



 Del tríángulo rectángulo \( ABE \) puede hallarse \( BE=4\sqrt{3}/sin(53^o) \).

 Del triángulo \( BEK \), sabemos dos lados y un ángulo y por tanto puede resolverse (si no te sale pregunto). Curiosamente los enlaces que ha puesto Juan Pablo dan como solución la distancia \( EK \), es decir, la distancia de la persona a la  parte superior de la estaca. A mi me parecería más lógico \( EG \), que puede igualmente hallarse.

Saludos.

Hola

Tenemos el siguiente sistema $$\dot{x}_1=-x_2$$ y $$\dot{x}_2=x_1$$, donde $$\dot{x}=\frac{dx}{dt}$$. Ahora podemos reescribir el sistema como $$\ddot{x}_2=\dot{x}_1=-x_2$$ o lo que es igual $$\ddot{x}_2+x_2=0$$

Sea $$D=\frac{d}{dt}$$ entonces la ecuación puede ser escrita como $$D^2x_2+x_2=0\Longrightarrow (D^2+1)x_2=0$$, Luego $$(D+i)(D-i)x_2=0$$.

Tomando, $$u=(D-i)x_2$$ tenemos $$(D+i)u=0\Longrightarrow \frac{du}{dt}=-iu\Longrightarrow \frac{du}{u}=-it\Longrightarrow u=C_1e^{-it}$$. Por otro lado,

\begin{align*}
u=\frac{dx_2}{dt}-ix_2&=C_1e^{-it}\\
e^{-it}\frac{dx_2}{dt}-ie^{-it}x_2&=C_1e^{-2it}\\
\frac{d}{dt}(e^{-it}x_2)&=C_1e^{-2it}\\
e^{-it}x_2&=Ce^{-2it}+C_2\\
x_2&=Ce^{-it}+C_2e^{it}
\end{align*}


Aplicando la identidad de euler $$e^{a+ib}=e^a cos(b)+ie^a sen(b)$$:


\begin{align*}
x_2&=C(cos(t)-isen(t))+C_2(cos(t)+sen(t))\\
&=(C+C_2)cos(t)+i(-C+C_2)sen(t)\\
&=C_3cos(t)+iC_4sen(t)
\end{align*}

Donde $$C+C_2=C_3$$ y $$-C+C_2=C_4$$.


Ahora, $$x_1(t)=\dot{x}_2=-C_3sen(t)+iC_4cos(t)$$. De aquí se sigue que

\begin{align*}
x_1^2(t)+x_2^2(t)&=(-C_3sen(t)+iC_4cos(t))^2+(C_3cos(t)+\color{red}C_4\color{black}sen(t))^2\\
&=(-C_3)^2sen^2(t)-2iC_3C_4sen(t)cos(t)+C_4^2cos^2(t)+ (C_3)^2\color{black}sen^2(t)\color{red}+2iC_3C_4sen(t)cos(t)+C_4^2\color{red}cos^2(t)\color{black}\\
&=2C_3^2sen^2(t)+2C_4^2cos^2(t)\\
&=(C_3^2+C_4^2)(sen^2(t)+cos^2(t)) \longrightarrow{}\mbox{No estoy seguro si este paso este bien}\\
x_1^2(t)+x_2^2(t)&=C_3^2+C_4^2   
\end{align*}

NO está bien ese paso, pero es que previamente te equivocas en las cuentas. En primer lugar te comes la \( i \) compleja y luego al elevar al cuadrado el segundo sumando, "bailas" el seno y el coseno.

Tampoco se porque consideras soluciones complejas y no reales; en todo caso la \( i \) compleja la puedes asimilar a las constantes. Tendrías:

\( x_2(t)=C_3cos(t)+C_4sin(t) \)
\( x_1(t)=-C_3sin(t)+C_4cos(t) \)

\( x_1(t)^2+x_2(t)^2=C_3^2sin^2(t)+C_4^2cos^2(t)-2C_3C_4sin(t)cos(t)+C_3^2cos^2(t)+C_4^2sin^2(t)+2C_3C_4sin(t)cos(t)=\\
\qquad =C_3^2(sin^2(t)+cos^2(t))+C_4^2(cos^2(t)+sin^2(t))=C_3^2+C_4^2 \)

Saludos.

Hola

Buenas Tardes necesito ayuda con este problema, gracias por anticipado.
Un poste vertical de \( 4 \sqrt[ ]{3} \) m. se encuentra sujeto a una cuerda tensa de  \( 5 \sqrt[ ]{3} \)  m. que está atada a una estaca en el suelo. Si una persona observa la parte superior del poste con un ángulo de elevación de 53º y observa la cuerda en su totalidad con un ángulo de 30º. Halle la distancia en la que se encuentra la persona de la estaca.

No acabo de entender el enunciado.



Puedes mover los puntos \( P \) y \( Q \) que son aquellos en los que la cuerda se ve con un ángulo de \( 30^o \). En ninguno de ellos la elevación con que se ve el poste es de \( 53^o \).

Saludos.

Hola

Estoy leyendo unos apuntes, y se enuncia la siguiente proposición.

Dado un sistema diferencial ordinario lineal homogéneo \( y'=A(t)y \) (1). Si \( F\in{}C^1(I;\mathcal{L}(\mathbb{R}^N)) \) , \( F'(t)=A(t)F(t),\,\forall{t\in{I}} \) y existe \( t_0\in{I} \) tal que \( det F(t_0)\neq 0 \) entonces F es matriz fundamental de (1).

La demostración dice:
En efecto, en la situación considerada, las columnas de F constituyen N soluciones de (1), que denotaremos \( \phi^1, . . . , \phi^N  \). Si una combinación lineal \( \alpha_1\phi^1+...+\alpha_N\phi^N \)se anulara en un punto \(  t_1\in{}I \), entonces \( \alpha_1\phi^1+...+\alpha_N\phi^N \) sería solución del problema de Cauchy

\( PC=\begin{cases}y'=A(t)y\\y(t_1)=0\end{cases} \)   (*)

de donde tendríamos \( \alpha_1\phi^1+...+\alpha_N\phi^N\equiv{}0 \).

Después concluye, pero mi duda es ¿Por qué \( \alpha_1\phi^1+...+\alpha_N\phi^N \) ha de ser la función nula como consecuencia de ser solución de PC? ¿Es por la unicidad de solución del PC?

Si; la función constante cero es la solución de (*).

Saludos.

Hola

Demuestra que toda sucesión {\( a_n \)}\( _{n\in{\mathbb{N}}} \) contiene una subsucesión monótona.

Sea \( A=\{n\in \Bbb N|a_k>a_n,\quad \forall k>n\} \).

- Si \( A=\{n_i\} \) es un conjunto de índices infinito ordenado de manera creciente es una sucesión \( \{a_{n_i}\} \) creciente.

- Si es finito sea \( N \) su máximo. Tomamos \( n_1=N+1\not\in A \). Entonces existe \( n_2>n_1 \) tal que \( a_{n_2}\leq A_{n_1}
 \). Como \( n_2\not\in A \), existe \( n_3>n_2 \) tal que \( a_{n_3}\leq a_{n_2} \) y así sucesivamente, se construye una sucesión decreciente.

Saludos.