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Análisis Funcional - Operadores / Un límite en C[0,1]
« en: 23 Noviembre, 2016, 07:08 am »
Consideramos \( C[0,1] \) el espacio de funciones \( f:[0,1]\to\mathbb{C} \) continuas con la norma \(  \left\|{\cdot}\right\|_{\infty} \). Sea \( z \) un complejo con parte real positiva fijo.

Para toda \( t\in [0,1] \) sabemos que la siguiente igualdad es cierta:

\( \displaystyle\lim_{\delta\to 0}\dfrac{t^{z+\delta}-t^z}{\delta}=t^z\log t\quad (\delta\in\mathbb{C}) \)

Poniendo \( f_{\delta}(t)=\dfrac{t^{z+\delta}-t^z}{\delta} \) y \( h(t)=t^z\log t \), el límite anterior se convierte en

\( \displaystyle\lim_{\delta \to 0}{f_{\delta}(t)}=h(t) \)

Lo que quisiera probar o argumentar ahora, es que el límite anterior es válido incluso en \( C[0,1] \). Es decir, quisiera demostrar que

\( \displaystyle\lim_{\delta\to 0}{ \left\|{f_{\delta}-h}\right\|_{\infty}}=0 \).

No se me ocurre una forma de acotar ese supremo. Tampoco sé si estoy pasando por alto alguna propiedad de funciones analíticas de utilidad, ya que no estoy muy familiarizado con ellas.

¿Alguien tiene alguna idea?

Saludos y gracias de antemano.

2
Dado un difeomorfismo local sobreyectivo entre variedades \( f:M\to N \), si \( N \) tiene una métrica Riemanniana entonces podemos dotar a \( M \) de una métrica Riemanniana tal que \( f \) es isometría local, mediante \( \left<{u,v}\right>_p:=\left<{df _p(u),df _p(v)}\right>_{f(p)} \) para todos los \( p\in M \) y \( u,v\in T_pM \).

En este contexto, estoy tratando de encontrar un ejemplo en el que \( N \) sea completo pero \( M \) no lo sea (se puede usar el teorema de Hopf–Rinow para la caracterización que resulte más útil). ¿A alguien se le ocurre una sugerencia?

Gracias de antemano. Saludos.

4
Geometría Diferencial - Variedades / Variedades conexas
« en: 13 Abril, 2016, 08:09 am »
Me gustaría demostrar que si \( X \) es una variedad (diferenciable) conexa, de dimensión \( 1 \) y \( p\in X \) entonces \( X\setminus\{p\} \) consiste de a lo más dos componentes conexas.

Visualmente me parece muy obvio. Lo que he tratado de hacer es tomar una vecindad homeomorfa a un intervalo de \( p \). Es decir un abierto \( U_p\subseteq X \) con \( p\in U \) y un homeomorfismo \( \phi : U_p\to\phi (U_p) \) con \( \phi (U_p) \) un intervalo en \( \mathbb{R} \).

Así, si \( X\setminus\{p\} \) se descompone como \( \cup_{i\in I}C_i \), me gustaría ver que \( U_p\setminus\{p\} \) se descompone como \( \cup_{i\in I}C_i\cap U_p \), es decir que las \( C_i\cap U_p \) son las componentes conexas de \( U_p\setminus\{p\} \). Esto nos daría que \( |I|\le 2 \) ya que un intervalo menos un punto tiene a lo más dos componentes conexas. Sin embargo no he podido probar que \( C_i\cap U_p\neq\emptyset \) para todo \( i\in I \) ni que sean subconjuntos conexos, por lo que ya estoy dudando de si eso es verdadero.

¿Alguna idea?

Saludos.

5
Aclaración: En lo que sigue, \( X \) denota una variedad diferenciable ya sea con o sin frontera, y consideramos las cartas como difeomorfismos (no solamente como homeomorfismos compatibles entre sí). Además siempre suponemos que \( X \) está encajada en algún \( \mathbb{R}^N \).

Problema:
Supongamos que \( X \) es una variedad de dimensión \( 1 \) y \( L\subseteq X \) es difeomorfo a un intervalo abierto de \( \mathbb{R} \). Demuestre que \( \overline{L}\setminus L \) consiste de a lo más dos puntos.

Sugerencia: Sea \( g:(a,b)\to L \) un difeomorfismo y \( p\in\overline{L}\setminus L \). Podemos encontrar un difeomorfismo \( \phi:[0,1]\to J \) donde \( J\subseteq X \) es cerrado, \( \phi(1)=p \) y \( \phi (0)=g(t) \) para algún \( t\in (a,b) \). Sea \( S_1=\{s\in (t,b):g(s)\in J\} \) y \( S_2=\{s\in (a,t):g(s)\in J\} \). Alguno de estos dos conjuntos tiene que ser no vacío. Suponga que \( S_1\neq\emptyset \) y muestre que \( S_1 \) es cerrado y abierto en \( (t,b) \). De esto se concluye que \( g((t,b)) \) o bien \( g((a,t)) \) está contenido en \( J \). Concluya que \( p \) debe ser \( \displaystyle\lim_{s\to b}g(s) \) o bien \( \displaystyle\lim_{s\to a}g(s) \).

Básicamente tengo dos dudas respecto a la sugerencia.

¿Cómo exactamente se puede hallar el difeomorfismo \( \phi \)? Me queda claro que podríamos hallar un difeomorfismo \( \phi : (0,1)\to U \) para algún \( U\subseteq X \) abierto, porque \( X \) tiene dimensión \( 1 \). Pero luego hay que extenderla mediante \( 1\mapsto p \) y \( 0\mapsto g(t) \) (para algún \( t \)) y que la función resultante continúe siendo difeomorfismo. ¿Cómo puede lograrse esto?

Respecto a la segunda parte, ya pude ver que \( S_1 \) es abierto y cerrado y eso implica, en este caso, que \( g((t,b))\subseteq J \). ¿Cómo se concluye que \( p \) debe ser \( \displaystyle\lim_{s\to b}g(s) \)?
Intuitivamente veo que \( J \) es "algo parecido" a un intervalo y que \( g((t,b)) \) es un "subintervalo" de \( J \) cuyos puntos extremos son \( \phi(0)=g(t) \) y \( \phi(1)=p \), pero no logro ver cómo usar el difeomorfismo \( \phi \) para probar bien ese hecho.

Agradezco cualquier sugerencia.

Saludos.

6
Hola. Tengo varias dudas con el siguiente problema:

Demuestre que \( \{(x,|x|):x\in\mathbb{R}^2\} \) no es imagen de una inmersión \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 \).

Muchas veces veo definiciones distintas de cada cosa sobre la diferencial de una transformación entre variedades, por ello escribiré brevemente la definición de cada cosa como las estoy usando.

Sea \( M \) una variedad diferenciable. \( \mathcal{F}(M) \) denota la familia de funciones diferenciables \( M\to\mathbb{R} \). Un vector tangente a un punto \( p\in M \) de una variedad es una función lineal \( v:\mathcal{F}(M)\to\mathbb{R} \) que satisface la regla de Leibniz en el punto \( p \). El espacio tangente en el punto \( p \) es la familia \( T_pM \) de todos los vectores tangentes en el punto \( p \).
La diferencial de una función diferenciable \( f:M\to N \) es la transformación lineal \( df_p:T_pM\to T_{f(p)}N \) definida por \( df_p(v)(g)=v(g\circ f) \) para cada \( v\in T_pM \) y \( g\in\mathcal{F}(N) \). Una inmersión es una función diferenciable \( f:M\to N \) tal que \( df_p \) es inyectiva para cada \( p\in M \).

Donde tengo dudas es en lo que me está saliendo tratando de calcular la diferencial y el espacio tangente.

Supongamos que \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 \) es diferenciable y su imagen es la gráfica del valor absoluto descrita arriba. Sin pérdida de generalidad \( f(0)=(0,0) \). Me gustaría ver que su diferencial no puede ser inyectiva en \( p=0 \).

Pero \( T_0\mathbb{R} \) es un espacio vectorial de dimensión \( 1 \), generado por el vector tangente \( \dfrac{d}{dt}\Big|_0 \), digamos \( T_0\mathbb{R}=\left\{{a\dfrac{d}{dt}\Big|_0:a\in\mathbb{R}}\right\} \).

Entonces la regla de asociación de \( df_0 \) tendría que verse algo así:

\( df_0\left(a\dfrac{d}{dt}\Big|_0\right)(g)=a\dfrac{d}{dt}(g\circ f)(0)=ag'(0,0)f'(0) \).

Pensando que \( g \) es cualquier función diferenciable que en general no tiene por qué anularse en \( (0,0) \), la única forma en que \( df_0 \) no es inyectiva es que \( f'(0)=(0,0) \). ¿Esto último está bien? ¿Cómo podría demostrarse?

Saludos.

Edito: Creo que ya lo tengo :)
Si \( f'(0) \) es nulo, es evidente que \( df_0 \) no es inyectiva, lo que contradice que \( f \) es inmersión. Si \( f'(0) \) no es nulo, es relativamente sencillo construir funciones que nos muestran la diferenciabilidad del valor absoluto en \( 0 \), lo que también es una contradicción.

7
En el libro de Topología de Dugundji, página 219 está demostrado el siguiente resultado que caracteriza las bases de filtros maximales:

Una base de filtro \( \mathcal{B} \) en \( Y \) es maximal si y sólo si para cada \( A\subseteq Y \), alguno de los conjuntos \( A \) y \( Y\setminus A \) contiene un elemento de \( \mathcal{B} \).

Esto equivale a que el filtro generado por esa base (que es un filtro maximal o ultrafiltro) está caracterizado por la propiedad de que tiene a todo subconjunto o bien a su complemento.

Dos páginas después, está escrito lo siguiente como ejercicio:

Sea \( \mathcal{B} \) una base de filtro maximal en \( Y \) y sean \( A,B\subseteq Y \) disjuntos tales que \( A\cup B\in\mathcal{B} \). Entonces \( A\in\mathcal{B} \) o \( B\in\mathcal{B} \).

¿Este resultado es verdadero? Mi duda viene en que normalmente cuando hablamos de bases de filtos, nos referimos a que sus elementos están contenidos en los del filtro generado por esta base, y en el ejercicio anterior es fácil probar que \( A \) y \( B \) sí son elementos del filtro generado. Pienso que posiblemente en el ejercicio se quería escribir "filtro maximal" y no "base de filtro maximal".

Para ver esto último, supongamos que \( A \) y \( B \) son disjuntos y que \( A\cup B\in\mathcal{B} \). Sea \( \mathcal{F}_{\mathcal{B}} \) el filtro generado por \( \mathcal{B} \). Si \( A\notin{\mathcal{F}_{\mathcal{B}}} \) entonces \( Y\setminus A\in \mathcal{F}_{\mathcal{B}} \). Luego \( B=(Y\setminus A)\cap (A\cup B)\in\mathcal{F}_{\mathcal{B}} \).

Es decir, la propiedad se vale para filtros maximales. ¿Pero para bases de filtros maximales también? No he podido pensar en un contraejemplo, ya que usualmente éstos son construidos con el Lema de Zorn.

8
En un libro, sin demostración, he encontrado escrito el siguiente resultado:

Sea \( (X,\Sigma,\mu) \) un espacio de medida, \( g \) una función integrable y \( (f_n) \) una sucesión de funciones integrables tales que \( |f_n|\le g \) y \( f_n\to f \) en medida. Entonces \( f \) es integrable, \( \displaystyle\int f_n\to \displaystyle\int f \) y \( f_n\to f \) en \( L_1 \).

Lo que no llego a comprender es si es suficiente pedir que \( (X,\Sigma,\mu) \) sea un espacio de medida cualquiera.

Por ejemplo, en este link, se especifica un resultado similar con la hipótesis de que \( \mu \) es \( \sigma \)-finita.
http://math.stackexchange.com/questions/206851/generalisation-of-dominated-convergence-theorem

En la Wikipedia, pone lo siguiente:
If μ is σ-finite, Lebesgue's dominated convergence theorem also holds if almost everywhere convergence is replaced by (local or global) convergence in measure.
http://en.wikipedia.org/wiki/Convergence_in_measure

En estas notas, Teorema 3.8, aparece una vez más el mismo resultado pero pidiendo que la medida sea \( \sigma \)-finita.
http://www.math.tau.ac.il/~ostrover/Teaching/18125.pdf

Bueno, sin buscar más ejemplos, mi duda es si el resultado que encontré yo en dicho libro es incorrecto, o si en realidad sí se puede probar sin suponer que la medida sea \( \sigma \)-finita.

9
Teoría de la Medida - Fractales / Convergencia casi uniforme
« en: 21 Abril, 2015, 11:37 pm »
Hola. He estado peleando mucho con el problema que escribo a continuación.

Sea \( (X,S,\mu) \) un espacio de medida, \( E_n\in S \) de medida positiva y consideremos \( f_n:=a_n\chi_{E_n} \) para cada \( n\in\mathbb{N} \), en donde \( (a_n) \) es una sucesión de números reales positivos tal que \( \red a_n\to 0 \) o existe \( \red C>0 \) tal que \( \red a_n\ge C \) para toda \( \red n\in{\mathbb{N}} \).

Quiero probar que si \( (f_n) \) converge casi uniformemente a \( 0 \) entonces \( a_n\to 0 \) o bien \( \mu\left(\displaystyle\bigcup_{k\ge n}E_k\right)\to 0 \).

De la definición de convergencia casi uniforme, dada \( \epsilon >0 \), existe \( K_{\epsilon}\in S \) tal que \( \mu(K_{\epsilon})<\epsilon \) y \( (f_n) \) converge uniformemente a \( 0 \) en \( X\setminus K_{\epsilon} \).

Por lo cual, dada \( \epsilon_0>0 \), existe \( M\in\mathbb{N} \) tal que si \( m\ge M \) entonces para toda \( x\in X\setminus K_{\epsilon} \) se tiene que \( |a_m\chi_{E_m}(x)|<\epsilon_0 \).

A partir de aquí quise realizar dos casos que me lleven a uno u otro resultado.

Primero se me ocurrió suponer que existe \( M_0\in\mathbb{N} \) tal que si \( m\ge M_0 \) entonces \( (X\setminus K_{\epsilon})\cap E_m\neq\emptyset \). Así, tomando \( N=\max\{M,M_0\} \), si \( m\ge N \) y \( x_m\in (X\setminus K_{\epsilon})\cap E_m \) entonces \( |a_m|=|a_m\chi_{E_m}(x_m)|<\epsilon_0 \), lo que nos da la convergencia \( a_m\to 0 \).

En el otro caso, tendríamos que verificar que si podemos hallar siempre un \( m \) tal que \( (X\setminus K_{\epsilon})\cap E_m=\emptyset \) entonces ocurre que \( \mu\left(\displaystyle\bigcup_{k\ge n}E_k\right)\to 0 \). Pero no he podido hacer esto. Quizá mi elección de los casos no fue correcta.

¿Alguna sugerencia?

Saludos.

10
No me había percatado hasta ahora que la definición sobre este término no siempre es la misma en todos los textos.

Sin ir muy lejos, usando Google, tenemos estas notas:
http://www.maths.tcd.ie/~richardt/MA2224/MA2224-ch4.pdf

En la página 2 pone lo siguiente:

"Decimos que una propiedad sobre números reales \( x \) es válida casi en todas partes si el conjunto de puntos de las \( x \) donde [la propiedad] falla tiene medida cero." Aunque no lo indica directamente, es claro que está diciendo que el conjunto de puntos \( x \) donde la propiedad falla es medible.

En otro libro que tengo a la mano, pone explícitamente lo siguiente:

"Decimos que \( P(x) \) es cierta casi en todas partes si existe \( E \) medible, de medida cero, tal que \( P(x) \) es cierta si \( x\in X\setminus E \) [aquí \( X \) es el total]. Observe que lo anterior no significa que \( \{x\in X: \textsf{P(x) es falso}\} \) sea medible, pues podría no serlo."

Me molesta un poco que haya cierta discrepancia entre ambas definiciones, pues al momento de dar ciertos ejemplos puede que con una definición el ejemplo no sea válido y que con la otra sí.

¿Cuál de estas definiciones es la más usual?

11
Docencia / ¿Qué hacen en este caso?
« en: 15 Febrero, 2015, 09:36 pm »
Hola.

Estoy calificando unas tareas de alumnos de segundo semestre de licenciatura. Son 27 en total y se entregan de manera individual. Sin embargo, y aunque es bastante usual, muchas de ellas son parecidas entre sí. Por ejemplo, de las primeras cuatro que califiqué, había muchas similitudes. Llamemos A, B, C y D a los alumnos correspondientes. Entonces:

A entrega una tarea decente. Si hubo copia de tareas, probablemente A fue quien principalmente trabajó.
B entrega una tarea parecida a la de A, aunque con unos cuantos errores que la primera tarea no tenía.
C y D entregan tareas similares a las anteriores, pero en este caso ambas son idénticas.

En este foro hay varios profesores. ¿Qué hacen cuando esto ocurre?

Puede haber varias opciones.

1.- La más severa, creo. Castigar a los alumnos omitiendo sus calificaciones.
2.- Dejar que A y B tengan sus calificaciones normales y omitir las de C y D.
3.- No hacer nada al respecto.

Creo que una manera para evitar este tipo de cosas es pedir que entreguen la tarea por equipos. Digamos equipos de tres o cuatro personas.

¿Ustedes qué hacen o qué harían?

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Foro general / Maestría en Matemáticas en España
« en: 01 Noviembre, 2014, 06:39 pm »
¡Hola!

Me gustaría saber si alguien de aquí sabe si en España existen buenas universidades para estudiar matemáticas puras (digamos, por ejemplo, áreas en análisis, topología, álgebra,...) o si por el contrario "abundan" más las que se centran en matemáticas aplicadas. También me gustaría saber (si alguien conoce la respuesta) qué requisitos se piden generalmente para ser admitido (mejor si son los requisitos para estudiantes extranjeros).

Saludos y gracias :)

13
Teoría de la Medida - Fractales / Criterio de integrabilidad
« en: 24 Abril, 2014, 09:52 pm »
¡Hola! Tengo el siguiente problema:

Supongamos que \( f:X\to\mathbb{R}\cup\{+\infty ,-\infty\} \) es medible y no negativa sobre un espacio \( (X,\Sigma, \mu) \) con \( \mu(X)<+\infty \). Entonces \( \displaystyle\int_{X}fd\mu <+\infty \) si y sólo si \( \displaystyle\sum_{ n=0}^{+\infty}2^n\mu(\{x\in X: f(x)\ge 2^n\})<+\infty \).

La verdad es que no he podido hacer ninguna de las implicaciones.

Por ejemplo, sé que si \( \displaystyle\int_{X}fd\mu <+\infty \) entonces \( \left\{{x\in X:f(x)=+\infty}\right\} \) tiene medida cero, por lo que los conjuntos \( \{x\in X: f(x)\ge 2^n\} \) tienden (en medida) a cero, pero creo que deberían poder acotarse superiormente por algo mucho menor a \( 2^n \) para que esa serie pueda converger.

Corrijo: la serie tiene que empezar desde n=0. Ya lo edité.

¿Alguna sugerencia? Gracias :)

14
Hola.

Normalmente se define, dada \( (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \) una sucesión de números reales, \( \displaystyle\limsup\; a_n:=\inf\{\sup\{x_m:m\ge n\}:n\in\mathbb{N}\} \).

Por ahí leí que también se tiene lo siguiente: si \( A \) denota al conjunto de los números \( l \) tales que existe una subsucesión de \( (a_n) \) convergente a \( l \), entonces \( \displaystyle\limsup\; a_n = \sup A \) (y análogamente con el límite inferior).

Esto no veo muy claro. ¿Existe una manera sencilla de hacer notar esta equivalencia?

Gracias :)

15
Topología (general) / Uno de no compacidad local
« en: 13 Febrero, 2014, 05:02 am »
¡Hola!

He estado tratando de atacar este problema, pero sin éxito.

Tenemos una familia más que numerable de espacios \( \left\{{X_i:i\in I}\right\} \) tales que \( |X_i|\ge 2 \) para cada \( i \). Entonces quiero probar que \( \displaystyle\square_{i\in I}X_i \) no es localmente compacto.

Este último símbolo denota la "Box Topology", cuya base está formada por la familia \( \left\{{\displaystyle\prod_{i\in I}A_i:A_i\subseteq X_i \textsf{ es abierto}}\right\} \).

¿Alguna idea de cómo probar esto? Gracias :)

16
Teoría de la Medida - Fractales / Un álgebra sobre un conjunto
« en: 09 Febrero, 2014, 09:56 pm »
¡Hola!

Tenemos la siguiente notación. Dado un conjunto no vacío \( X \) y \( A\subseteq{X} \), sean \( A^0=A \) y \( A^1=X\setminus A \). Sea \( \left\{{A_1,...,A_n}\right\} \) una colección finita de subconjuntos de \( X \). Para cada \( a=(a_1,...,a_n)\in\{0,1\}^n \) definimos \( E_a=A_1^{a_1}\cap ...\cap A_n^{a_n} \).

Finalmente, consideremos \( \mathcal{A}=\left\{{\displaystyle\bigcup_{a\in D}E_a:D\subseteq\{0,1\}^n}\right\} \).

Quiero probar que \( \mathcal{A} \) es un álgebra sobre \( X \), para lo cual sólo me falta probar que si \( E\in\mathcal{A} \) entonces \( X\setminus E\in\mathcal{A} \).

No logro ver cómo probar eso. Por ejemplo, para el caso de un uniendo (que la unión conste de un sólo \( E_a \)), digamos un \( E_a=A_1^{a_1}\cap ...\cap A_n^{a_n} \) con \( (a_1,...,a_n)\in\{0,1\}^n \), no veo por qué \( X\setminus E_a\in\mathcal{A} \).

Lo que es claro es que si definimos \( b_j=1 \) si \( a_j=0 \) y \( b_j=0 \) si \( a_j=1 \), entonces \( X\setminus E_a=A_1^{b_1}\cup ...\cup A_n^{b_n} \), pero esto no veo por qué pertenece a \( \mathcal{A} \).

¿Alguna idea? Gracias :)

17
Teoría de la Medida - Fractales / Subaditividad de una "medida".
« en: 05 Febrero, 2014, 11:11 pm »
¡Hola!

Tenemos la siguiente definición. Para cada intervalo \( (a,b) \) (de los reales), definimos \( \lambda((a,b))=b-a \), o bien \( \lambda((a,b))=+\infty \) si \( a=-\infty \) o \( b=+\infty \), y lo mismo para los intervalos cerrados.

Entonces quiero probar que si \( I\subseteq \displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}I_i \) (todos éstos intervalos), entonces \( \lambda (I)\le \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\lambda (I_i) \).

¿Alguna sugerencia? El problema es que esta "medida" está sólo definida para intervalos, así que no veo un método claro de probar esa desigualdad. Gracias.

18
¡Hola!

Estoy leyendo algo sobre NC-espacios, y en una parte el autor de un libro dice que es fácil (es decir, no lo hace) ver que el producto finito de NC-espacios es un NC-espacio.

Primero que nada, un espacio topológico \( X \) es llamado un NC-espacio si para cada \( n\geq{1} \), \( X^n \) es normal y numerablemente compacto.

Sean \( X,Y \) dos NC-espacios y \( n\geq{1} \). ¿Por qué \( (X\times Y)^n \) tendría que ser normal y numerablemente compacto? Hasta donde recuerdo, existen contraejemplos de que el producto de espacios normales no es normal, y el producto de espacios numerablemente compactos no es numerablemente compacto. Supongo que deberían usarse ambas cosas al mismo tiempo.

¿Cómo podría demostrarse esto?

¡Gracias!

19
Estructuras algebraicas / Un par de afirmaciones sobre grupos libres
« en: 08 Diciembre, 2013, 07:29 pm »
Hola. Los siguientes "hechos" aparecen en la prueba de un teorema, pero no tengo claro cómo es que se está construyendo dicha prueba, en particular tengo dos preguntas.

En principio, tenemos un grupo abeliano libre de un conjunto \( X \) (por lo que usaré notación aditiva), denotado por \( A(X) \) que a su vez tiene como base libre a otro subconjunto \( Y \); dicho de otra forma, \( A(X)=A(Y) \). Denotemos este grupo en común por \( G \).

Para cada \( x\in X \) y cada \( g\in G \), sea \( d(x,g) \) el entero que acompaña a \( x \) en la forma normal de \( g \) respecto de la base \( X \). Es decir que \( d(x,g)=0 \) si y sólo si \( x \) no aparece en la forma normal de \( g \).

Sea \( (x_n)_{n\in\omega} \) una sucesión de elementos de \( X \) distintos por pares.

Afirmación 1: Para cada \( i\in{\omega} \), existe \( y_i\in Y \) tal que \( d(x_i,y_i)\neq 0 \).

Es decir, que se está afirmando lo siguiente: para cada \( i\in\omega \), existe \( y_i\in Y \) tal que

\( y_i=d(x_i,y_i)x_i+k_{i,1}t_{i,1}+...+k_{i,n}t_{i,n_i} \)

donde cada coeficiente es entero, \( d(x_i,y_i)\neq 0 \) y los \( x_i,t_{i,1},...,t_{i,n_i}\in X \) son todos distintos.

¿Cómo demostrar que existe tal \( y_i \)? Parece que en algún lado hay que usar que \( Y \) es base libre de \( G \), pero no veo cómo.

Afirmación 2: Escogiendo una subsucesión de \( (y_n)_{n\in{\omega}} \) adecuada podemos suponer que \( d(x_j,y_i)=0 \) siempre que \( i<j \).

Nuevamente, ¿cómo escoger tal subsucesión? Me estoy liando bastante con toda esta construcción.

Si alguien me orienta estaré agradecido ;)

20
Lógica / Sistemas formales consistentes
« en: 28 Noviembre, 2013, 07:45 am »
Hola.

Algunas notaciones:

Un sistema formal (cálculo de predicados) es una tripleta \( (L_{\rho}^f,AxL, RI) \) donde \( L_{\rho}^f \) es un lenguaje formal, \( AxL \) son axiomas lógicos y \( RI \) reglas de inferencia. Si \( \phi\in L_{\rho}^f \) y \( \Sigma \) es un conjuno de fórmulas, decimos que \( \Sigma \) deduce a \( \phi \), \( \Sigma\vdash\phi \) si existe una sucesión finita \( \phi _1,...,\phi _n\in L_{\rho}^f \) tal que \( \phi _n=\phi \), cada \( \phi _i\in \Sigma \), o bien es axioma lógico o bien se obtiene de anteriores con regla de inferencia. Creo que esta notación es estándar.

Definimos la cerradura deductiva de \( \Sigma \) como \( \overline{\Sigma}^d \) el conjunto de fórmulas que se pueden deducir de \( \Sigma \).

Decimos que un conjunto de fórmulas \( \Sigma \) es SF-consistente si \( \overline{\Sigma}^d \) no es todo \( L_{\rho}^f \).

En este contexto, lo que quiero probar es lo siguiente:

Si para todo \( \Sigma _0\subseteq \Sigma  \) finito, se tiene que \( \Sigma_0 \) es SF-consistente, entonces \( \Sigma  \) lo es.

No lo veo tan trivial. He pensado en suponer que \( \Sigma \) no es SF-consistente y tratar de crear un subconjunto finito que tampoco lo sea. Es decir, suponer que \( \overline{\Sigma}^d=L_{\rho}^f \) y entonces debería poder hallarse un \( \Sigma_0\subseteq\Sigma \) finito tal que \( \overline{\Sigma_0}^d=L_{\rho}^f \)

¿Alguien tiene alguna idea?

Gracias, un saludo :)

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