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Mensajes - Marcos Castillo

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Cálculo 1 variable / Re: Combinaciones de polinomios de Taylor-Maclaurin
« en: 25 Septiembre, 2022, 11:46 pm »

Lo que dice el Teorema es si encuentras de la forma que sea, un polinomio \( Q(x) \)e grado \( \leq n \) tal que:

\( f(x)=Q(x)+O((x-a)^{(n+1}) \) cuando \( x\to a \)

Entonces tienes garantizado que \( Q(x) \) es el polinomio de grado \( \leq n \) de \( f(x) \) en \( x=a \).

Lo usa para en el ejemplo a partir de dos polinomios de Taylor y su resto calcular el polinomio de Taylor de la suma.


¡Perfecto! Sólo quería saber por qué apelaba al Teorema 11 al final del ejercicio. Voy a echar un vistazo a los dos ejercicios que siguen, ya mañana.

¡Un saludo!

2
Cálculo 1 variable / Combinaciones de polinomios de Taylor-Maclaurin
« en: 20 Septiembre, 2022, 01:40 pm »
Hola, Rincón, tengo un texto que no comprendo. Primero escribo el texto, luego la duda, y luego mi intento por entenderlo           

"La importancia real del Teorema 11   

Teorema 11
Si \( f(x)=Q_{n}(x)+O((x-a)^{n+1}) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), siendo \( Q_{n} \) un polinomio de grado máximo \( n \), entonces \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \), es decir, \( Q_{n} \) es el polinomio de Taylor para \( f(x) \) en \( x=a \)
[cerrar]
   

es que nos permite obtener polinomios de Taylor para nuevas funciones combinando otros ya conocidos. Mientras el término de error sea de mayor grado que el orden del polinomio obtenido, éste debe ser un polinomio de Taylor. Ilustraremos esto con algunos ejemplos."     

Ejemplo 6 Calcule el polinomio de Maclaurin de orden \( 2n \) para \( \cosh{x} \)  Solución Escribimos la fórmula de Taylor para \( e^x \) en \( x=0 \) (véase en la Tabla 4(*))     

Tabla 4 (*); fórmula de Maclaurin para una exponencial, con el término de error expresado mediante la notación O
     

Tabla 4 (*) Algunas fórmulas de Maclaurin con términos de error expresados mediante la notación \( O \), cuando \( x\rightarrow{0} \)     

(a) \( e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+ \ldots+\dfrac{x^n}{n!}+ O(x^{n+1}) \)     

[cerrar]
     

sustituyendo \( n \) por \( 2n+1 \), y luego la volvemos a escribir sustituyendo \( x \) por \( -x \). Obtenemos   

\( e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+ \ldots+\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+ O(x^{2n+2}) \)     

\( e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+ \ldots+\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}-\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+ O(x^{2n+2}) \)   

cuando \( x\rightarrow{0} \). Promediando los dos resultados anteriores se obtiene   

\( \cosh{x}=\displaystyle\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+ \ldots+\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+O(x^{2n+2}) \)   

cuando \( x\rightarrow{0} \), Por el Teorema 11 el polinomio de Maclaurin \( P_{2n}(x) \) para \( \cosh{x} \) es   

\( P_{2n}(x)=1+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}+\cdots{+\displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!}} \)

Es la frase en rojo la que no entendo: ¿términos de errror, de los polinomios a combinar?¿por qué el término de error debe ser de mayor grado que el orden del polinomio obtenido?

Mi intento; la combinación de polinomios debe respetar el Teorema de Taylor:

"Si la derivada de orden \( (n+1) \),  \( f^{(n+1)}(t) \), existe para todo \( t \) en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), y si \( P_{n}(x) \) es el polinomio de Taylor de orden \( n \) para \( f \) alrededor de \( a \), es decir

\( P_{n}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\ldots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)

entonces el error \( E_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x) \) en la aproximación \( f(x)\approx{P_{n}(x)} \) se expresa como

\( E_{n}(x)=\displaystyle\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \)

siendo \( s \) un número entre \( a \) y \( x \)

La verdad es que he añadido como justificación de la frase coloreada en rojo el Teorema de Taylor sin tener ni idea de por qué.

¡Un saludo!

3
Cálculo 1 variable / Re: Iteraciones densas
« en: 19 Septiembre, 2022, 06:41 pm »
Hiperinteresante, pero lo leo y me veo incapaz de echar un cable. Lo siento, pero, ¿qué es propagación de una función?; ¿iteraciones son referidas a sus sucesivas derivadas?
¿En qué terreno de las matemáticas se encuadra?¿Cálculo?

¡Un saludo!

4

De hecho la gráfica de la función (en naranja) es la siguiente; el plano \( z=1 \) en azul:


Pero, ¿de qué función se trata? No es sólo una variable, ¿cierto? Creo que esto tiene miga.

¡Un saludo!

5
Hola buenas, estoy intentando probar la siguiente desigualdad usando la de Cauchy-Schwarz:

\( (\frac{sen^3a}{cosa}+\frac{sen^3b}{cosb})(cosa \, cosb+sena \, senb)\geq 1  \)
No consigo elegir los vectores \( \vec{u}  \) y  \( \vec{v}  \) para que, al aplicar,  \( |\vec{u}\cdot \vec{v}| \leq ||\vec{u} || ||\vec{v}  ||  \) y desarrollando tampoco llego a nada. Gracias por la ayuda.

Hola, muy interesante, pero realmente he mirado un poco, y ni idea

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Si \( \vec{a}\cdot{\vec{b}}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta} \); como \( |\cos{\theta}|\leq{1}\;\forall{\theta\in{\mathbb{R}}}\Rightarrow{|\vec{a}\cdot{\vec{b}}|=||\vec{a}||\vec{b}||\cos{\theta}|=|\vec{a}||\vec{b}||\cos{\theta}|\leq{|\vec{a}||\vec{b}|\cdot{{1}}}}=|\vec{a}||\vec{b}| \)

\( \therefore\;{|\vec{a}\cdot{\vec{b}}|\leq{|\vec{a}||\vec{b}|}} \)

Ahora

\( \Bigg(\displaystyle\dfrac{\sin^2{a}}{\cos{a}}+\displaystyle\dfrac{\sin^2{b}}{\cos{b}}\Bigg)\Big(\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\Big)\geq{1} \)

¿Y si ponemos todo cosenos?

Muy interesante. Pero, ¿es cálculo de una variable?

¡Un saludo!

6
Cálculo 1 variable / Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
« en: 11 Septiembre, 2022, 03:34 am »

Es el típico razonamiento por reducción al absurdo en el que se llega a una contradicción, es decir, a dos hechos que son incompatibles al mismo tiempo. En este caso:

\( \lim_{x\rightarrow{a}}R_{n}(x)/(x-a)^k=c_k\neq{0} \)

y

\( R_{n}(x)/(x-a)^k\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{a} \)

 No se puede dar al mismo tiempo. Ha sido bajo el supuesto de que el polinomio \( R_n(x) \) NO era el polinomio cero. Conclusión: ese polinomio SI es cero.


¡Perfecto! Por redundar un poco:

Es que no entendía el conjunto, la estructura de la demostración; y como siempre, he empezado por el tejado:

Concepto de Idénticamente cero

\( x^2-2x+1=0 \) es una proposición-afirmación verdadera sólo cuando \( x=1 \);

\( x^2-2x+1-(x-1)^2=0 \) es verdadera para todo \( x\in{\mathbb {R}}\Rightarrow{x^2-2x+1-(x-1)^2} \) es idénticamente cero

Prueba por contradicción

En la prueba por contradicción, también conocida por la expresión latina reductio ad absurdum, se muestra que si una afirmación se asume verdadera, y esto conduce a una contradicción, la afirmación es falsa; es decir, su negación es verdadera. Y así se llega a la idea de idénticamente cero. Guapamente, como decimos los que vivimos y disfrutamos los años ochenta >:D

¡Un saludo!

7
Cálculo 1 variable / Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
« en: 08 Septiembre, 2022, 09:38 am »
¡Hola, Rincón! Voy a intercalar en la cita mi punto de vista sobre la prueba del libro de texto

Citar
Hipótesis
Si \( R_{n}(x) \) no es idénticamente nulo, entonces existe un mínimo coeficiente \( c_k(k\leq{n}) \) tal que \( c_k\neq{0} \), pero \( c_j=0 \) para \( 0\leq{j}\leq{k-1} \). Por tanto,


\( \color{red}R_{n}(x)=(x-a)^k(c_k+c_{k+1}(x-a)+\ldots{+c_n(x-a)^{n-k}}) \)

Por lo tanto \( \lim_{x\rightarrow{a}}R_{n}(x)/(x-a)^k=c_k\neq{0} \).

Propiedad de la notación Gran O

Sin embargo, por la propiedad (iii) anterior tenemos que \( R_{n}(x)/(x-a)^k=O((x-a)^{n+1-k}) \). Como \( n+1-k>0 \), esto indica que \( R_{n}(x)/(x-a)^k\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Esta contradicción demuestra que \( R_{n}(x) \) debe ser idénticamente nulo. Por lo tanto \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \).



Dudo que sea una contradicción, es decir, una exposición de dos proposiciones que se contradicen; lo veo como una hipótesis rebatida. Lo verde es, siempre según criterio a su vez subjetivo, la prueba en contra de la hipótesis.

La última frase del párrafo en verde, sería el corolario.

¡Un saludo!

8
Cálculo 1 variable / Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
« en: 06 Septiembre, 2022, 01:52 pm »

Citar
Lo que quiere probar ahí es que si un polinomio de grado \( \color{red}n\color{black} \) es \( O((x-a)^{n+1}) \) necesariamente tiene que ser cero, porque si tuviese un término no nulo de grado \( k\leq n \) entonces NO sería \( O((x-a)^{n+1}) \).

Ten en cuenta que estamos probando que como \( P_n(x)-Q_n(x)=O((x-a)^{n+1}) \), entonces ha de ser el polinomio nulo.


\( |(c_0-c'_0)+(c_1-c'_1)x+(c_2-c'_2)x^2|\leq{k|(x-a)^3|}, \mbox{cuando}\;x\rightarrow{a}\Leftrightarrow{(c_0-c'_0)=(c_1-c'_1)=(c_2-c'_2)=0} \).

Muy intuitivo, pero, ¿por qué?

Mi intento: partimos de un \( a\neq 0 \):

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{\dfrac{|(c_0-c'_0)+(c_1-c'_1)x+(c_2-c'_2)x^2|}{|(x-a)^3|}} \)...¿o \( a\in{\mathbb{R}} \)? Sí, pertenece a los reales; \( |(c_0-c'_0)+(c_1-c'_1)x+(c_2-c'_2)x^2| \) debe ser cero, creo. Ahora igual toca mencionar a L'hopital...

Sigo luego, tengo que salir,

¡Un saludo!



9
Cálculo 1 variable / Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
« en: 04 Septiembre, 2022, 03:34 pm »
Estimado RM



Si \( |f(x)|\leq k|u(x)| \) y  \( |g(x)|\leq k'|u(x)| \) entonces por las propiedades del valor absoluto:

\( ||f(x)|\pm |g(x)||\leq |f(x)|+|g(x)|\leq (k+k')|u(x)| \)


Perfecto, mágico. Yo sólo añadiría \( \color{red}|f(x)\pm g(x)|=\color{black}||f(x)|\pm |g(x)||\leq |f(x)|+|g(x)|\leq (k+k')|u(x)| \)



Tienes por hipótesis:

\( f(x)=P_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)
\( f(x)=Q_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)

Resta y aplica las propiedades mencionadas.


Resta

\( P_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big)=Q_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)

Aplicamos (ii)

\( P_{n}(x)\pm{Q_{n}(x)}=O\Big((x-a)^{n+1}\Big)\Rightarrow{P_{n}(x)-{Q_{n}(x)}=O\Big((x-a)^{n+1}\Big)} \)

Aplicamos (i)

\( P_{n}(x)-{Q_{n}(x)}=O\Big((x-a)^{n+1}\Big)\Rightarrow{\dfrac{L_{n}(x)}{C}=R_{n}(x)=P_{n}(x)-{Q_{n}(x)}=O\Big((x-a)^{n+1}\Big)} \)


Lo que quiere probar ahí es que si un polinomio de grado \( R_n \) es \( O((x-a)^{n+1}) \) necesariamente tiene que ser cero, porque si no tuviese un término no nulo de grado \( k\leq n \) entonces NO sería \( O((x-a)^{n+1}) \).


¿Podría ser así?

¡Un saludo!

10
Cálculo 1 variable / Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
« en: 01 Septiembre, 2022, 02:39 pm »
Hola, qué tal, Rincón

He dado un par de vueltas a este teorema, por un ejercicio práctico al final del capítulo, que me ha hecho retroceder. 

Hago uso del cuerpo de texto, e intercalo "lo nuevo" en verde.



Hola, estimado Rincón

Vuelvo una y otra vez sobre el mismo cuerpo de texto que ya he planteado con anterioridad, y dado erróneamente por resuelto. Haré una cita ingente  :-[ y en parte redundante (perdón), y seguido preguntas; reflejomis intentos por resolverlas. Ahí va:

Citar


Notación \( O \)

DEFINICIÓN 9

Se escribe \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si

\( |f(x)|\leq{k|u(x)|} \)
 

se cumple para alguna constante \( \color{green}\;k\;\mbox{tal que}\;k\in{\mathbb{R}^+} \) en algún intervalo abierto que contiene a \( x=a \).

De forma similar \( f(x)=g(x)+O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si \( f(x)-g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), es decir, si

\( |f(x)-g(x)|\leq{k|u(x)|} \) cerca de \( a \)


Por ejemplo, \( \sin{\;x}=O(x) \) cuando \( x\rightarrow{0} \) porque \( |\sin{\;x}|\leq{|x|} \) cerca de 0.

A partir de la definición se pueden deducir las siguientes propiedades de la notación \( O \):

(i) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( Cf(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( C \). (\( Cf(x)=O(u(x))\Rightarrow{|Cf(x)|\leq{k|u(x)|}}\Rightarrow{|f(x)|\leq{\displaystyle\frac{k}{C}}|u(x)|}\Rightarrow{\displaystyle\frac{k}{C}>0} \))

(ii) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) y \( g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)\pm{g(x)}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \).¿Por qué tanto la suma como la resta están acotadas? 

(iii) Si \( f(x)=O(x-a)^{k}u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)/(x-a)^{k}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( k \).

El Teorema de Taylor dice que si \( f^{(n+1)}(t) \) existe en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), y si \( P_{n} \) es el polinomio de Taylor de orden \( n \) para \( f \) alrededor de \( a \), entonces, cuando \( x\rightarrow{a} \),

 
\( f(x)=P_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)


 
Esto es una afirmación sobre la rapidez con que la gráfica del polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) se acerca a la de \( f(x) \) cuando \( x\rightarrow{a} \). La distancia vertical entre las gráficas disminuye tan rápidamente como \( |x-a|^{n+1} \). El siguiente teorema demuestra que el polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) es el único polinomio de grado máximo \( n \) cuya gráfica se aproxima a la gráfica de \( f(x) \) con esa rapidez.

TEOREMA 11

Si \( f(x)=Q_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), siendo \( Q_{n} \) un polinomio de grado máximo \( n \), entonces \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \), es decir, \( Q_{n} \) es el polinomio de Taylor para \( f(x) \) en \( x=a \).

DEMOSTRACIÓN Sea \( P_{n} \) el polinomio de Taylor. Entonces las propiedades (i) y (ii) de la notación \( O \) implican que \( R_{n}(x)=Q_{n}(x)-P_{n}(x)=O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) ¿Por qué?;mi intento: los polinomios no dejan de ser funciones. Queremos demostrar que \( R_{n}(x) \) es idénticamente cero de forma que \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \). Sustituyendo \( x \) por \( a+(x-a) \) y desarrollando las potencias, podemos escribir \( R_{n}(x) \) en la forma

 
\( R_{n}(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\ldots{+c_n(x-a)^n} \)


 
Si \( R_{n}(x) \) no es idénticamente nulo, entonces existe un mínimo coeficiente \( c_k(k\leq{n}) \) tal que \( c_k\neq{0} \), pero \( c_j=0 \) para \( 0\leq{j}\leq{k-1} \): es decir, que si hay un \( c=0 \), lógicamente habrá un \( c\neq 0 \), dado que \( \color{blue}k \) es menor o igual que \( \color{blue}n \); ¿pero todo este artificio tiene como objetivo factorizar \( R_{n}(x) \), sacando una nueva letra (k), de la manga?. Por tanto,

\( R_{n}(x)=\color{Red}(x-a)^k(c_k+c_{k+1}(x-a)+\ldots{+c_n(x-a)^{n-k}}) \)


Por lo tanto \( \lim_{x\rightarrow\color{Red}{a}}\color{Black}R_{n}(x)/(x-a)^k\color{Red}=c_k\color{Black}\neq{0} \). Sin embargo, por la propiedad (iii) anterior tenemos que \( R_{n}(x)/(x-a)^k=O((x-a)^{n+1-k}) \). Como \( n+1-k>0 \), esto indica que \( R_{n}(x)/(x-a)^k\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Esta contradicción demuestra que \( R_{n}(x) \) debe ser idénticamente nulo. Por lo tanto \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \).

 

Editado el 02/07/2022, a las 15:45, a las 15:55, y a las 16:00



Editado el 01/09/2022, a las 14:39 hora de España

Editado el 01/09/2022, a las 18:00 hora de España

11
¡Hola, JP!

Lo que está en rojo, usa polinomio de taylor , sabiendo:
Sen(x)

Fórmula de Maclaurin con término de error expresado mediante la notación \( O \), cuando \( x\rightarrow{0} \), para \( \sin x \):

\( \sin x= x-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}-\cdots{(-1)^n\dfrac{x^{2n\color{red}+1\color{black}}}{(2n\color{red}+1\color{black})!}+O(x^{2n+3})} \);

\( \sin x-x=-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}-\cdots{(-1)^n\dfrac{x^{2n\color{red}+1\color{black}}}{(2n\color{red}+1\color{black})!}+O(x^{2n+3})} \);

\( \sin x-x=O(x^{2n+3})\Leftrightarrow{\sin x-x=O(x^{3})} \)

Por otra parte, entre el -1 y el 1, es decir, para \( x\in{(-1,1)} \), \( \forall{n\in{\mathbb{N}-\{0\}}} \), \( \color{green}x^{2n+1}=O(x^2) \)



¿Correcto?¡Un saludo!

Editado 27/08/2022, a las 18:22 hora de España
Editado 27/08/2022, a las 21:05 hora de España
Editado 29/08/2022, a las 12:55 hora de España
PS: ¡Vaya lío con el color! El último cambio es como el juego de buscar a Wally :laugh:

12
Hola

Cita de: Marcos Castillo
-Ahora voy a reproducir el álgebra que escribió advirtiéndome que la notación Gran O tenía como finalidad justificar límites:

\( |f|\leq{K|u|} \), \( K\in{\mathbb{R}}\Leftrightarrow{f=O(u)} \)

Como consecuencia, \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{\sin (x)}{x}=1} \); o \( e^x\approx{1+x} \), \( x\rightarrow{0} \)

Tal vez no esté interpretando sus palabras correctamente.

Es que eso que he marcado en rojo es inexacto. Digamos que la notación O no llega para justificar un límite. Saber que \( f=O(u) \) y/o que \( O(u)=f \) en un punto es una información insuficiente para conocer el límite del cociente \( f/u \) en ese punto.

 En principip, lo que se utiliza en el cálculo de límites, es el concepto de infinitésimos equivalentes, cuando \( \displaystyle\lim_{x \to x_0}{}f(x)/g(x)=1. \) De alguna manera lo que significa que ese límite del cociente es que ambas funcione se comportan "igual" (siendo algo vaga esa igualdad), "cerca" del punto \( x_0 \).

 La notación \( O \) permite dar un poco más de precisión a esa equivalencia.

 Por ejemplo \( sin(x) \) y \( x \) son infinitésimos equivalentes en el punto \( 0 \) porque \( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}sin(x)/x=1 \). Pero es más preciso decir (omito el comprobar que es cierto) que:

\( \color{red}sin(x)=x+O(x^3) \)

 Por que ahí tenemos una cota de la diferencia de las dos funciones:

\( sin(x)-x=O(x^3) \) significa que la diferencia entre ambas está acotada cerca del cero por un múltiplo de \( x^2 \)

 Eso permite por ejemplo resolver este límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{|sin(x)-x|}{x^2}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{O(x)^3}{x^2}\leq \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{k|x^3|}{x^2}=0 \)

No he sabido comprobar lo destacado en rojo sin echar mano de Geogebra. Son monomios. ¿Saber análisis también precisa tener una memoria gráfica de éstos?

Inserto mi cálculo gráfico:


13
Hola, estimado Rincón, estas son mis últimas dudas.


El caso es que estuve tomando un café con un Físico que arrojó claroscuros a mis dudas:

- Puede ser que \( f(x)=O[g(x)] \), pero \( g(x)\neq O[f(x)] \), porque existe un valor \( x=a \), \( a\in{I} \), de forma que \( f(a)=0 \). Ello implica que, por definición: \( |g(x)|\leq{K|f(x)|} \), no podemos encontrar un valor de \( a \) tal que \( f(a)\neq 0 \), y por lo tanto no hay un valor  \( K\in{\mathbb{R}} \) tal que \( |g(x)|\leq{K|f(x)|} \), como se ve en el dibujo.



Esto creo que lo he entendido. ¿Correcto?

-Ahora voy a reproducir el álgebra que escribió advirtiéndome que la notación Gran O tenía como finalidad justificar límites:

\( |f|\leq{K|u|} \), \( K\in{\mathbb{R}}\Leftrightarrow{f=O(u)} \)

Como consecuencia, \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{\sin (x)}{x}=1} \); o \( e^x\approx{1+x} \), \( x\rightarrow{0} \)

El esfuerzo hecho para entender esto es exiguo: dibujar con la calculadora gráfica de Geogebra \( f(x)=x \), \( g(x)=\sin(x) \), y \( h(x)=\dfrac{\sin (x)}{x} \) , pero soy incapaz de ver qué tiene que ver la notación Gran O con \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{\sin (x)}{x}=1} \).


¡Un saludo!

14
Libros / Re: Notacion Gran O, bibliografía
« en: 25 Agosto, 2022, 01:13 am »
¡Hola!


Esto debería estar en otro hilo, pero te lo resumo aquí brevemente, y si veo que esto se alarga corto el hilo y lo muevo a otra parte del foro. El dominio de \( f \) y \( g \) suele ser \( \mathbb{R} \), así que en este caso \( U \) puede ser un conjunto de la forma \( (a-h,a+h) \) para algún \( h>0 \). Pero también podría ser que \( a=+\infty  \), en ese caso se entiende que es un entorno del infinito en la recta real extendida, que podría ser de la forma \( (K,\infty ] \), para algún \( K\in \mathbb{R} \).


Cautivador, atrayente, pero lejos de mi alcance. ¡Muchas gracias! Vuelvo al hilo "Gran O...".

¡Un saludo!

15
Libros / Re: Notacion Gran O, bibliografía
« en: 24 Agosto, 2022, 03:30 pm »
Hola, Rincón

Hay un libro clásico, que es muy bonito, sobre este tema aunque no veo muy claro si te pueda servir para resolver dudas ya que es aún más abstracto de lo que has visto, se titula Asymptotic Methods in Analysis de N.G. de Bruijn.

Efectivamente, fascinante, pero muy difícil para mí.

- Decimos que \( f(x)=\mathcal{O}(g(x)) \) cuando \( x \) tiende a \( a \) si existe una constante \( K \) y un entorno \( U \) de \( a \) tal que \( |f(x)|\leqslant K\cdot |g(x)| \) para todo \( x\in U \).

Aquí están de nuevo mis dudas. El caso es que tengo miedo de no expresarla de una manera comprensible. Es una duda lo que se dice auténtica. Ahí va:

¿\( U\subset{\mathbb{R}} \)?, es decir, ¿es un subconjunto estricto de los reales? Por subconjunto estricto entiendo, en el caso que planteo, que siempre habrá elementos de \( \mathbb{R} \) que no pertenezcan a \( U \).

Y otra duda; dejé pendientes dos preguntas en el hilo "Gran O dos razonamientos sobre la rapidez de Taylor-Maclaurin", iniciado por mí, por no dar la tabarra. Pensé que, creí que, estaba resultando cansino. E inicié este hilo, confiando en mi criterio. La pregunta que lanzo, o mejor dicho, mi deseo, es volver al hilo "Gran O...", y allí... Allí intentar librar el nudo.

Ya se ve, improviso por el camino  :P

¡Un saludo!

16
Libros / Notacion Gran O, bibliografía
« en: 22 Agosto, 2022, 02:17 pm »
Hola estimado Rincón

Se me ha atragantado la Notación de Landau, o Cota Superior Asintótica; vamos, la Notación Gran O. ¿Algún libro, o enlace, que  me podáis recomendar?.

Creo que la pregunta puede ser un poco difusa, voy a intentar concretar: mi objetivo sería entender el artículo de Wikipedia *Cota Superior Asintótia^f,  en relación a  la Notación Gran O.

¡Un saludo!

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Pero en el fondo eso no tiene nada que ver con la demostración que acabamos de hacer. Eso es simplemente entender que significa la notación "O" grande.

Eso lo habíamos visto aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=120618.msg486104#msg486104


¡Perfecto! Pero creo que necesito estudiar un poco más sobre la notación Gran \( O \). Voy a buscar recomendaciones de libros del subforo Libros. ¡Muchísimas gracias, el_manco!

¡Un saludo, estimado Rincón!

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¡Genial!


No uses la misma letra para el índice y para el límite del sumatorio.


Perfecto.


Simplemente supones cierta la fórmula de la derivada para el caso \( n \) y lo pruebas para el caso \( n+1 \).

Tienes:

\( F(t)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{\dfrac{(x-t)^{k}}{k!}f^{(k)}}(t)=\underbrace{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\dfrac{(x-t)^{k}}{k!}f^{(k)}}(t)}_{*}+\dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(t) \)

En (*) podemos aplicar la hipótesis de inducción al derivar. Queda:

\( F'(t)=\underbrace{\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)}_*-\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)+\dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)=\dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t) \)


¡Lo he entendido!.


Está intentando probar por inducción esta fórmula:

\( F'(t)=\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{n+1)}(t) \)


Queda probado. Sencillamente mágico.

Querido Rincón, ésta era la cita que generaba las dudas:

Citar
Esto se deduce de cualquiera de las expresiones explícitas para el residuo. Por ejemplo, si


\( f(x)= f(a) + (x - a)f'(a) + \dots + \frac{(x - a)^n}{n!}f^{(n)}(a) + R_n(x) \)

entonces, aplicando el teorema del valor medio a


\( F(t) = f(t) + (x - t)f'(t) + \dots + \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n)}(t) \)

se deduce que existe \( \xi \) entre \( a \)  y \( x \) tal que


\( \begin{split}

R_n(x) &= F(x) - F(a) \\

&= (x- a)F'(\xi) \\

&= (x - a) \frac{(x - \xi)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(\xi).\end{split} \)

Ahora entiendo algo más de esta cita. Algo muy importante: cómo ha llegado a la expresión para el resíduo que expone. Pero, ¿por qué \( R_n(x)=(x - a) \frac{(x - \xi)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(\xi) \) es la respuesta? ¿por qué con esto queda demostrado lo que preguntaba, que era: por qué  \( O \) mayúscula habla de lo rápido que las aproximaciones de Taylor se acercan a la función deseada, sea \( f(x)=e^x \), sea la que sea?.

¡Un saludo!


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Hola, ahí va mi ensayo :P

\( F(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^n\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{(n)}(t) \), para \( \mathbb{N} \) (por cierto, he consultado Wikipedia, y definitivamente el 0 es un número natural; yo pensaba que aún era necesario puntualizar \( \mathbb{N}+\{0\} \))

Para \( n=0 \), \( F'(t)=f'(t)=\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t) \);

para \( n=1 \), \( F'(t)=f'(t)+(x-t)f''(t)-f'(t)=\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t) \)

Paso de inducción:

Si \( n=k \) es verdadero, veamos para \( n=k+1 \):

\( F(t)=\displaystyle\sum_{k=1}^{k+1}{\dfrac{(x-t)^{k+1}}{(k+1)!}f^{(k+1)}}(t)\Longrightarrow{F'(t)=\displaystyle\sum_{k=1}^{k+1}{\dfrac{(x-t)^{k+1}}{(k+1)!}f^{(k+2)}}(t)} \)

¿Correcto?

¡Un saludo!

PS: No sé si está bien, pero lo peor es que, aunque así fuera, ya no sé en qué punto estoy  :banghead:

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Aplica el Teorema del Valor medio a:

\( F(t) = f(t) + (x - t)f'(t) + \dots + \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n)}(t) \)

en el intervalo \( [a,x] \) o \( [x,a] \) (según sea \( a<x \) ó \( x<a \))

Sería:

\( F(x)-F(a)=F'(\epsilon)(x-a) \)


Comprueba que \( F(x)-F(a) \) es precisamente la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor. Después calcula \( F'(\epsilon) \).


Estimado Rincón, ahí va:

(i) Aplico el Teorema del Valor Medio a \( F(t) = f(t) + (x - t)f'(t) + \dots + \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n)}(t) \) en el intervalo \( [a,x] \) (supongo que \( a<x \), es decir, me aproximo por la derecha a la función).

(ii) \( F(x)-F(a)=F'(\xi)(x-a) \).

(iii) \( F(a) \) es \( P_{n}(x) \), es decir, el polinomio de Taylor de orden \( n \) para \( F(x) \) en \( x=a \).

(iv) Teorema de Taylor
Si la derivada de orden \( n+1 \), \( f^{(n+1)}(t) \), existe para todo \( t \) en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), y si \( P_{n}(x) \) es el polinomio de Taylor de orden \( n \) para \( f \) alrededor de \( a \), entonces el error, o resto de Lagrange, \( E_n(x)=f(x)-P_{n}(x) \) en la aproximación \( f(x)\approx{P_{n}(x)} \) se expresa como

\( E_n(x)=\displaystyle\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \)
, siendo \( s \), ó \( \xi \), un número entre \( a \) y \( x \).

(v)

1-\( F(x)-F(a)=f(x)-P_{n}(x)=E_n(x) \)
2-\( F(x)-F(a)=F'(\xi)(x-a) \)
3-\( E_n(x)=F'(\xi)(x-a) \)
\( \therefore{F'(\xi)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot{\dfrac{(x-a)^{n+1}}{(x-a)}}=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^n} \)

(vi) \( R_n(x) \), ó \( E_n(x) \), no sería \( R_n(x)=(x- a)\dfrac{(x-\xi)^n}{n!}f^{(n+1)}(\xi) \), sino \( R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \)

En resumen: debo estar equivocándome, pero no sé en qué.

¡Un saludo!

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