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Matemática => Álgebra => Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) => Mensaje iniciado por: javier m en 29 Julio, 2011, 08:13 pm

Título: det(A.B)=det(A).det(B), necesito demostrar esto.
Publicado por: javier m en 29 Julio, 2011, 08:13 pm
hola, necesito demostrar que el determinate de un producto de matrices es igual al producto del determinante de cada matriz (\( |A.B|=|A||B| \))

la verdad no se me ocurre ni por donde empezar, así que si quieren darme una ayuda, o darme un link o un libro que tenga la demostración, se los agradecería.
Título: Re: det(A.B)=det(A).det(B), necesito demostrar esto.
Publicado por: Máthêma en 29 Julio, 2011, 08:32 pm
Hola,

Puedes verla acá: http://www.proofwiki.org/wiki/Determinant_of_Matrix_Product (http://www.proofwiki.org/wiki/Determinant_of_Matrix_Product).

Saludos.
Título: Re: det(A.B)=det(A).det(B), necesito demostrar esto.
Publicado por: Tanius en 29 Julio, 2011, 08:33 pm
En el libro de álgebra lineal de Friedberg viene la demostración en la parte de "propiedades de los determinantes". Es un tanto engorrosa porque necesitas demostrar primero que una matriz invertible se descompone como producto de matrices elementales.

Se me adelantó Máthêma  :)
Título: Re: det(A.B)=det(A).det(B), necesito demostrar esto.
Publicado por: javier m en 30 Julio, 2011, 02:58 am
gracias a los 2.
Título: Re: det(A.B)=det(A).det(B), necesito demostrar esto.
Publicado por: Fernando Revilla en 30 Julio, 2011, 04:28 pm
Existe otra manera más elegante, pero usa los conceptos de forma n-lineal alternada y de determinante de una aplicación lineal.
Título: Re: det(A.B)=det(A).det(B), necesito demostrar esto.
Publicado por: Máthêma en 31 Julio, 2011, 07:35 am
Hola,

Existe otra manera más elegante, pero usa los conceptos de forma n-lineal alternada y de determinante de una aplicación lineal.

¿Podrías darnos un enlace o hacer un esbozo de la demostración? Gracias y saludos.
Título: Re: det(A.B)=det(A).det(B), necesito demostrar esto.
Publicado por: feriva en 31 Julio, 2011, 09:56 am
Hola. Partiendo de que el término independiente del polinomio característico de una matriz es el determinante de la matriz, quizá se podría demostrar (asumiendo que esto está demostrado o demostrándolo previamente).  Una vez hecho esto, está claro que el producto de los polinomios característicos de dos matrices tiene como término independiente el producto de los determinantes de esas matrices; puesto que es el término independiente de lambda no puede ser de otra manera, por lo que tal cosa no requiere más demostración. A partir de aquí, utilizando alguna recurso más, como pudiera ser el teorema de Hamilton-Cayley o algún otro, tal vez se podría hacer una demostración no muy larga (es sólo una sugerencia por si alguien quiere intentarlo, no lo he pensado con papel y lápiz).

Saludos.
Título: Re: det(A.B)=det(A).det(B), necesito demostrar esto.
Publicado por: Luis Fuentes en 31 Julio, 2011, 11:27 am
Hola

 Aquí viene una prueba:

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/101/pdfs/teoria4.pdf

Saludos.
Título: Re: det(A.B)=det(A).det(B), necesito demostrar esto.
Publicado por: Fernando Revilla en 31 Julio, 2011, 12:01 pm
Hola. Partiendo de que el término independiente del polinomio característico de una matriz es el determinante de la matriz, quizá se podría demostrar (asumiendo que esto está demostrado o demostrándolo previamente). 

El problema es que para \( A\in\mathbb{K}^{n\times n} \) sabemos que \( \det (A)=\chi_A(0) \), pero no conocemos las relaciones entre \( \chi_A,\chi_B \) y \( \chi_{AB} \).
Título: Re: det(A.B)=det(A).det(B), necesito demostrar esto.
Publicado por: feriva en 31 Julio, 2011, 12:37 pm
Hola. Partiendo de que el término independiente del polinomio característico de una matriz es el determinante de la matriz, quizá se podría demostrar (asumiendo que esto está demostrado o demostrándolo previamente). 

El problema es que para \( A\in\mathbb{K}^{n\times n} \) sabemos que \( \det (A)=\chi_A(0) \), pero no conocemos las relaciones entre \( \chi_A,\chi_B \) y \( \chi_{AB} \).

Hola, Fernando. Y partiendo de la hipótesis \( |A||B|\neq|AB| \) para después entrar en la consideración del producto de sus polinomios característicos, ¿no se podría concluir de alguna manera que la hipótesis es falsa?

 Saludos.
Título: Re: det(A.B)=det(A).det(B), necesito demostrar esto.
Publicado por: Fernando Revilla en 31 Julio, 2011, 06:24 pm
Hola, Fernando. Y partiendo de la hipótesis \( |A||B|\neq|AB| \) para después entrar en la consideración del producto de sus polinomios característicos, ¿no se podría concluir de alguna manera que la hipótesis es falsa?

A priori estaríamos en la mismas, no conocemos las relaciones que mencioné.
Título: Re: det(A.B)=det(A).det(B), necesito demostrar esto.
Publicado por: feriva en 31 Julio, 2011, 07:51 pm
Hola, Fernando. Y partiendo de la hipótesis \( |A||B|\neq|AB| \) para después entrar en la consideración del producto de sus polinomios característicos, ¿no se podría concluir de alguna manera que la hipótesis es falsa?

A priori estaríamos en la mismas, no conocemos las relaciones que mencioné.

Ya veo, la dificultad sigue siendo ésa, el polinomio característico de \( AB \) no está conformado necesariamente igual que el producto del polinomio de  \( A \) por el polinomio de \( B \); luego únicamente con el teorema de Hamilton no se puede hacer nada.
 Lo que yo andaba conjeturando es que, como las matrices que tienen el mismo determinante tienen el mismo término independiente para sus polinomios (el valor del determinante) por muy distintos que éstos sean en cuanto a coeficientes e incluso en cuanto a grado, parece que, con esta idea, quizá pudiera existir una vía para asegurar que, al menos, el término independiente del polinomio de  \( AB \) sí va a coincidir siempre con el del polinomio resultante del producto del polinomio de  \( A \) por el polinomio de \( B \); y llegar así a concluir que la hipótesis del anterior comentario es falsa.
Pero era sólo una intuición, una corazonada, ya veo que no es tan fácil.

Saludos.