Rincón Matemático
Matemática => Geometría y Topología => Topología (general) => Mensaje iniciado por: Facoquero en 09 Enero, 2022, 06:26 pm
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Hola, buenas tardes. Les traigo un problema de topología que me ha dado muchas dudas.
En primer lugar, nos dan la siguiente propiedad:
Se dice que dos seudométricas \[d_1\], \[d_2\] sobre un mismo conjunto X son equivalentes si cumplen las siguientes condiciones:
1. \[\forall \epsilon_1 >0\], existe \[\epsilon_2 >0\] tal que \[\forall x \in X\] se tiene \[B_{d_2}(x;\epsilon_2) \subset B_{d_1}(x;\epsilon_1)\]
2. \[\forall \epsilon_2 >0,\] existe \[\epsilon_1 >0\] tal que \[\forall x \in X\] se tiene \[B_{d_1}(x;\epsilon_1) \subset B_{d_2}(x;\epsilon_2)\]
El ejercicio es el siguiente:
Sea \[X=\left\{{\frac{1}{n}}\right\}_{n \in \mathbb{N}};\] definamos \[d_1\] y \[d_2\] métricas del siguiente modo:
\[d_1(\displaystyle\frac{1}{n},\displaystyle\frac{1}{m})=\left |{n-m}\right |\] y \[d_2(\displaystyle\frac{1}{n},\displaystyle\frac{1}{m})=\left |{\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{m}}\right |\]
Demuestra que:
1. \[T(d_1)\] y \[T(d_2)\] son ambas la topología discreta, es decir, \[T(d_1) = T(d_2) = T_d\], y por tanto \[d_1\] y \[d_2\] son topológicamente equivalentes.
2. Se cumple la condición 2, pero no la 1.
Se que en la topología discreta se cumple que \[d(x,y)=1\] si \[x\neq y\] y \[d(x,y)=0\] si \[x=y\].
Y es claro que \[d_1(\displaystyle\frac{1}{n},\displaystyle\frac{1}{m})=\begin{cases}{1}&\text{si}& \displaystyle\frac{1}{n}\neq\displaystyle\frac{1}{m}\\0 & \text{si}& \displaystyle\frac{1}{n}=\displaystyle\frac{1}{m}\end{cases}\]
Lo mismo con \[d_2\].
No se como continuar. Muchas gracias de antemano.
La topología discreta es una topología, es decir, no depende de ninguna función distancia. Se caracteriza porque todos los conjuntos de la forma \( \{x\} \) son abiertos y cerrados, es decir, tal topología coincide con el conjunto potencia. Entonces te basta demostrar que las topologías que inducen \( d_1 \) y \( d_2 \) en \( X \) tienen esta propiedad.
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Hola
Por continuar lo apuntado por Mascacroso...
Con lo dicho por él, tendrías probado 1. Luego te piden ver que:
- Se cumple:
2. \[\forall \epsilon_2 >0,\] existe \[\epsilon_1 >0\] tal que \[\forall x \in X\] se tiene \[B_{d_1}(x;\epsilon_1) \subset B_{d_2}(x;\epsilon_2)\]
Para ello ten en cuenta que:
\( d_2(1/n,1/m)=\left|\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}\right|=\dfrac{|n-m|}{|nm|}\leq |n-m|=d_1(1/n,1/m) \)
por tanto basta que tomes \( \epsilon_1=\epsilon_2 \).
- No se cumple:
1. \[\forall \epsilon_1 >0\], existe \[\epsilon_2 >0\] tal que \[\forall x \in X\] se tiene \[B_{d_2}(x;\epsilon_2) \subset B_{d_1}(x;\epsilon_1)\]
Para ello si tomas \( \epsilon_1=1 \), ten en cuenta que \( B_{d_1}(x,\epsilon_1)=\{x\} \) para cualquier \( x \).
Pero para cualquier \( \epsilon_2>0 \) tomando \( n \) suficientemente alto y \( m=2n \):
\( d_2(1/n,1/m)=\dfrac{|n-m|}{|nm|}=\dfrac{1}{2n}<\epsilon_2 \)
y por tanto \( 2n\in B_{d_2}(n;\epsilon_2) \).
Saludos.
P.D. El ejercicio muestra que dos métricas pueden ser topológicamente equivalentes, pero sin embargo no ser métricas equivalentes.
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Vale, perfecto. Muchas gracias por la ayuda. Sigo teniendo dudas con el primer apartado. He hecho lo siguiente y no se si es correcto.
Para ver que la topología que induce \[d_1\] coincide con la topología discreta, basta con comprobar que todo punto de X es abierto. Para ello tomo \[\left\{{\displaystyle\frac{1}{n}}\right\}=(\displaystyle\frac{1}{n-1},\displaystyle\frac{1}{n+1}) \cap X\] y así veo que todo punto de X es abierto.
Pero si tomo \[A=X \cup \left\{{0}\right\}\], la topología relativa en A ya no es la discreta ya que cualquier abierto que contenga a cero, contiene alguna fracción de X.
Mi duda es si esto es correcto y como puedo mejorarlo y si se hace de forma análoga para \[d_2\]. Muchas gracias.
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Hola
Vale, perfecto. Muchas gracias por la ayuda. Sigo teniendo dudas con el primer apartado. He hecho lo siguiente y no se si es correcto.
Para ver que la topología que induce \[d_1\] coincide con la topología discreta, basta con comprobar que todo punto de X es abierto. Para ello tomo \[\left\{{\displaystyle\frac{1}{n}}\right\}=(\displaystyle\frac{1}{n-1},\displaystyle\frac{1}{n+1}) \cap X\] y así veo que todo punto de X es abierto.
Pero ahí parece que estás tomando un intervalo y pensando en una topología relativa. Olvídate de eso. Tienes que tomar bolas con la métrica (en tu caso con \( d_1 \)) con la que trabajas. Y trabajas en el conjunto \( X \). No existe nada fuera de ahí. Lo que tienes es que:
\( B(1/n,1)=\{1/m|d_1(1/n,1/m)\}=\{1/m||n-m|<1\}=\{1/m|m=n\}=\{1/n\} \)
Es decir esa bola es el propio punto \( 1/n \) y por tanto los puntos son abiertos.
Saludos.
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Vale genial. Muchas gracias y un saludo.