Buena noche para todos. Tengo el siguiente problema que creo que resolví, pero igual, les agradecería si me dicen si es correcta la demostración.
Mil gracias.
El problema es el siguiente
Sea \( A_{1}, A_{2}, A_{3}, ... \) una secuencia de conjuntos medibles contenidos en la bola \( B(0,1)\subset{\mathbb{R^{n}}} \)
Asuma, que para algún \( \epsilon>0 \) pasa que \( m(A_{k})\geq{\epsilon} \) pruebe que existe algún punto que pertenece a infinitos de los \( A_{k} \)
Mi intento de demostración:
Primero, los \( A_{k} \) no pueden ser todos disjuntos, si así fuese \( m(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k})=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{m(A_{k})} \geq{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\epsilon} } \) y esa serie no converge.
Es más:
Teniendo en cuenta esto, sea N-1, la cantidad de estos conjuntos que pueden ser disjuntos dos a dos.
Ahora, sea \( I=\left \{ N, N+1, ... \right \} \) un conjunto de indices.
Ahora, tenemos que:
\( A_{i}\cap{A_{j}}\neq \emptyset \) para algún i diferente de j, ambos en I.
Ahora, supongamos que no existe ningún \( x \) que pertenezca a infinitos \( A_{i} \) con \( i \in{I} \)
Por * tenemos que, existe un número \( d \) tal que
\( \displaystyle\sum_{i=N}^\infty{m(A_{i})} \leq{dm(\bigcup_{i=N}^{\infty} A_{i})} \)
Buena noche para todos. Tengo el siguiente problema que creo que resolví, pero igual, les agradecería si me dicen si es correcta la demostración.
Mil gracias.
El problema es el siguiente
Sea \( A_{1}, A_{2}, A_{3}, ... \) una secuencia de conjuntos medibles contenidos en la bola \( B(0,1)\subset{\mathbb{R^{n}}} \)
Asuma, que para algún \( \epsilon>0 \) pasa que \( m(A_{k})\geq{\epsilon} \) pruebe que existe algún punto que pertenece a infinitos de los \( A_{k} \)
Mi intento de demostración:
Primero, los \( A_{k} \) no pueden ser todos disjuntos, si así fuese \( m(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k})=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{m(A_{k})} \geq{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\epsilon} } \) y esa serie no converge.
Es más:
Teniendo en cuenta esto, sea N-1, la cantidad de estos conjuntos que pueden ser disjuntos dos a dos.
Ahora, sea \( I=\left \{ N, N+1, ... \right \} \) un conjunto de indices.
Ahora, tenemos que:
\( A_{i}\cap{A_{j}}\neq \emptyset \) para algún i diferente de j, ambos en I.
Hola Luis. Si, ese conjunto I es el conjunto N en adelante.
Y también quiero decir que, para cada i existe al menos un j tal que la intersección entre \( A_{i} \) y \( A_{j} \) es diferente de vacío.
Teniendo en cuenta que podemos escoger los disjuntos cómo \( A_{1}, A_{2}, ..., A_{N-1} \) si no son estos, pues escogemos un reordenamiento del conjunto para que lo sean.
Hola Luis. Encontré esa fuga que tú mencionas en mi argumento.
Pero si quitamos esa imprecisión, el argumento sigue funcionando, no?
Por \( ^{(*)} \) tenemos que, existe un número \( d \) tal que
\( \displaystyle\sum_{i=N}^\infty{m(A_{i})} \leq{dm(\bigcup_{i=N}^{\infty} A_{i})} \)
Si suponemos que \( d \) es el número más grande para el que eso sucede, que existe y existe porque hemos supuesto que no existe ningún x que pertenezca a una cantidad infinita de los \( A_{k} \)
Para ese problema, encontré otra prueba, pero quiero saber si la mía en particular, está bien.
Gracias Carlos. Me gustaría entender tu prueba, pero hemos construido hasta ahora la medida de Lebesgue.
No hemos definido funciones medibles aún.
Sigo pensando en que, cómo dices Luis cada x debe estar en una cantidad finita de ellos, pero según yo, no la puedo hacer tan grande como yo quiera.
Al final, me decante por la prueba que había encontrado antes, que si alguien lo desea la puedo postear aquí.
A mí no se me ha ocurrido otro argumento. Si el que conoces es distinto, puede ser interesante.
Si no se me escapa nada (que últimamente no ando muy fino con las demostraciones que pongo en el foro):