Hola. Estoy intentando probar un ejercicio del libro "Classical Fourier Analysis" de Grafakos.
Ejercicio. Sean \( \varphi, f\in S \) (el espacio de Schwartz). Dado \( \epsilon>0 \), sea \( \varphi_{\epsilon}(x)=\epsilon^{-n}\varphi(\epsilon^{-1}x). \)
Entonces \( \varphi_{\epsilon}*f\to bf \) en S donde b es la integral de \( \varphi.
\)
La definición de convergencia en \( S \) que estoy usando es:
\( f_k\to f \) si \( \lim_{k\to\infty} \sup_{x\in R^n}|x^{\alpha}\partial^{\beta}(f_k-f)(x)|=0 \)para todo \( \alpha,\beta \) multi-índices.
Solo tengo:
\(
b = \int_{\mathbb{R}^n} \varphi(y) dy= \int_{\mathbb{R}^n} \varepsilon^{-n} \varphi(y/\varepsilon) dy
\)
Así
\( \varphi_\varepsilon \ast f(x) - b f(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \varepsilon^{-n} \varphi(y/\varepsilon) f(x-y) dy - \int_{\mathbb{R}^n} \varepsilon^{-n} \varphi(y/\varepsilon) f(y) dy \\
= \int_{\mathbb{R}^n} \varepsilon^{-n} \varphi(y/\varepsilon) [ f(x-y) - f(y)] dy.
\).
Entonces debería probar que\( \lim_{\epsilon\to 0} \sup_{x} |x^{\alpha}\partial^{\beta}\int_{\mathbb{R}^n} \varepsilon^{-n} \varphi(y/\varepsilon) [ f(x-y) - f(y)] dy=0 \)
Actualización 1:
\( \begin{align*}\left|\varphi_\varepsilon \ast f(x) - b f(x)\right| &= \left|\int_{\mathbb{R}^n} \varepsilon^{-n} \varphi(y/\varepsilon) f(x-y) dy - \int_{\mathbb{R}^n} \varepsilon^{-n} \varphi(y/\varepsilon) f(y) dy \right|\\
&= \left|\int_{\mathbb{R}^n} \varepsilon^{-n} \varphi(y/\varepsilon) [ f(x-y) - f(y)] dy\right|\\
&\leq \left|\int_{\mathbb{R}^n} \varepsilon^{-n} \varphi(y/\varepsilon) |f(x-y) - f(y)| dy\right|
\end{align*} \)
Si \( f\in S \) entonces \( f \) es uniformemente continua. Así, para \( |y|\leq \delta \) algún \( \delta>0 \) se tiene que \( |f(x-y)-f(y)|<\epsilon \)
Por lo tanto,
\( \begin{align*}
\sup_{|x|\leq \delta} \left| x^{\alpha}\partial^{\beta}[ \varphi_{\epsilon}*f(x)-bf(x)]\right|
&=\sup_{|x|\leq \delta}\left| x^{\alpha} [\varphi_{\epsilon}*\partial^{\beta}f(x)-b\partial^{\beta}f(x)]\right|\\
&=\sup_{|x|\leq \delta}\left| x^{\alpha} [\varphi_{\epsilon}*g(x)-bg(x)]\right|\\
&\leq \sup_{|x|\leq \delta}\left| x^{\alpha} \int_{R^n}\epsilon^{-n}\varphi({y/\epsilon})|[g(x-y)-g(y)]|dy\right|\\
&\leq \delta^n\int_{R^n}\epsilon^{-n}\varphi(y/\epsilon)\epsilon dy\\
&=\delta^n\left\|\varphi\right\|_{1} \epsilon\to 0
\end{align*} \)
donde\( g(x)=\partial^{\beta}f(x),\ g\in S \)
¿Cómo se podría probar para \( |x|>\delta? \)?
Actualización 2. Lo anterior estaba mal escrito.
\begin{align*} &\sup_{x\in R^n} \left|x^{\alpha} \partial^{\beta}(\varphi_{\epsilon}*f-bf)(x)\right|\\
&=\sup_{x\in R^n} \left|x^{\alpha} (\varphi_{\epsilon}*\partial_{x}^{\beta}f-b\partial_{x}^{\beta}f)(x)\right|\\
&=\sup_{x\in R^n}\left|x^{\alpha}(\varphi_{\epsilon}*g-bg)(x)\right|,\quad g=\partial_{x}^{\beta}f\in S\\
&\leq \sup_{x\in R^n} \left|x^{\alpha}\int_{R^n}\varphi_{\epsilon}(y)|g(x-y)-g(x)|dy\right|\\
&=\sup_{x\in R^n}\left|x^{\alpha}\left[\int_{|y|>\delta} \varphi_{\epsilon}(y)|g(x-y)-g(x)|dy+\int_{|y|\leq \delta} \varphi_{\epsilon}(y)|g(x-y)-g(x)|dy\right]\right|
\end{align*}
No se me ocurre como continuar. Por lo que he visto, debería usar los siguientes hechos: \( \lim_{\epsilon\to 0}\int_{|x|>\delta}\varphi_{\epsilon}(x)dx=0 \) para todo \( \delta>0 \)
y \( f\in S\rightarrow g:=\partial_{x}^{\beta}f\in S \) entonces \( g \) es uniformemente continua. Pero, no se me ocurre como "matar" ese \( x^{\alpha}. \)
