[pramirez]

Hola a todos,

Resulta que me dieron el problema de abajo en el cual calculé el perímetro y el área de un triángulo equilátero. La consulta viene que no puedo hacer el punto C y D ya que no se el valor aproximado, solo el exacto que calculé yo. ¿Cómo debería resolver los puntos c y d sin saber el valor absoluto para aplicar las fórmulas de valor relativo y relativo porcentual?, ¿yo debería suponer algún valor?.

Cualquier ayuda es bienvenida.

Gracias.


Un observador que mide con una regla en la que se pude apreciar hasta el milímetro, obtiene para la base y la altura de un triángulo equilátero los siguientes valores: h= 4 cm y b= 10 cm. Determine:

a) El área del triángulo

R: Área: \( (b.h)/2 = (4.10)/2 = 40/2 = 20 \) 〖cm〗

b) El perímetro del triángulo

R: Tenemos un triángulo equilátero (3 lados iguales), solo tenemos la altura que es h= 4 cm. La altura divide el lado a la mitad o sea que la mitad de un lado vale x y el lado completo vale 2x. Sabiendo esto puedo aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo interno que el cuadrado de la hipotenusa es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado que para nuestro caso sería:

\( ax^2=b^2+c^2 \)

\( (2x)^2=4^2+x^2 \)

\( X = 2,30 cm \)

Ahora que sabemos cuánto vale x podemos saber el valor de los lados reemplazo x, si el lado completo es 2x, reemplazamos quedando 2x(2,30) = 4,6 cm valor del lado.

Ahora podemos calcular el perímetro con su fórmula:

\( P = 3.l = 3.(2,3) = 6,9  \) cm

C) El error relativo y porcentual del área. Desarrolle las reglas de propagación para el área.

D)El error relativo y porcentual del perímetro. Desarrolle las reglas de propagación para el perímetro.

[delmar]

Hola

Los valores que has calculado en a)  y en b) no son exactos, por que parten de mediciones. Me explico :

La altura h=4 cm y la base b=10 cm, son mediciones y en consecuencias tienen un error, en este caso es igual a la precisión del instrumento (regla), la cuál es igual a la mínima medida del instrumento es decir \( 1 \ mm=0.1 \ cm \). Entonces la manera correcta de expresar ambas medidas es : \( h=4 \ cm \pm{0.1 \ cm} \) y \( b=10 \ cm \pm{0.1 \ cm} \)

Ahora sí, puedes desarrollar los apartados a) y b) y obtener el área A y el perímetro P, con sus errores absolutos respectivos. A partir de ahí puedes obtener los errores relativos. Un dato adicional importante la base del triángulo, b es el lado del triángulo equilátero.


Saludos

[pramirez]

Hola

Los valores que has calculado en a)  y en b) no son exactos, porque parten de mediciones. Me explico :

La altura h=4 cm y la base b=10 cm, son mediciones y en consecuencias tienen un error, en este caso es igual a la precisión del instrumento (regla), la cuál es igual a la mínima medida del instrumento es decir \( 1 \ mm=0.1 \ cm \). Entonces la manera correcta de expresar ambas medidas es : \( h=4 \ cm \pm{0.1 \ cm} \) y \( b=10 \ cm \pm{0.1 \ cm} \)

Ahora sí, puedes desarrollar los apartados a) y b) y obtener el área A y el perímetro P, con sus errores absolutos respectivos. A partir de ahí puedes obtener los errores relativos. Un dato adicional importante la base del triángulo, b es el lado del triángulo equilátero.


Saludos

Hola gracias por responder.  Sí entendí bien lo que me indicas tendría la siguiente información:

\( e_x=\pm 0.1 \)cm
\( h=4 cm±0.1 cm  \)
\( b=10 cm±0.1 cm \)

Como mencionaste estos valores son aproximados y mi valor exacto va a estar dentro de un rango. ¿Como debería calcular los puntos a y b?, es decir, se que la variación es de 0.1 cm +  o - pero ¿como obtengo el valor exacto para poder restarlo?,mi valor exacto va a estar entre el rango [19.9,20.1] pero ¿como lo averiguo para poder obtener valor absoluto?.

[pramirez]

 

[robinlambada]

Hola:

Si A\( =\displaystyle\frac{b\cdot{}h}{2} \)  el error relativo del área \( \varepsilon (A)=\varepsilon (b)+\varepsilon(h) \)

Esto viene de: \( \Delta A=\frac{{\partial A}}{{\partial h}}\Delta h+\frac{{\partial A}}{{\partial b}}\Delta b=\displaystyle\frac{b}{2}\Delta h+\frac{h}{{2}}\Delta b \)

Entonces: \( \varepsilon (A)=\displaystyle\frac{\Delta A}{A}=\displaystyle\frac{\Delta h}{h}+\displaystyle\frac{\Delta b}{b}=\varepsilon (h)+\varepsilon(b) \)

Teniendo los valores y sus errores absolutos calculamos los relativos.

Para el perímetro \( \Delta p=3 \Delta b \) con b la base (lado del triángulo).

P.D.: No necesitas Pitágoras para nada.

[robinlambada]

La verdad, no se como midió el observador la base y la altura, pues:

\( \sqrt[ ]{10^2-5^2}\approx{8,66\neq{4}} \)

Parece ser que el observador no fue observador.

[pramirez]

Hola:

Si A\( =\displaystyle\frac{b\cdot{}h}{2} \)  el error relativo del área \( \varepsilon (A)=\varepsilon (b)+\varepsilon(h) \)

Esto viene de: \( \Delta A=\frac{{\partial A}}{{\partial h}}\Delta h+\frac{{\partial A}}{{\partial b}}\Delta b=\displaystyle\frac{b}{2}\Delta h+\frac{h}{{2}}\Delta b \)

Entonces: \( \varepsilon (A)=\displaystyle\frac{\Delta A}{A}=\displaystyle\frac{\Delta h}{h}+\displaystyle\frac{\Delta b}{b}=\varepsilon (h)+\varepsilon(b) \)

Teniendo los valores y sus errores absolutos calculamos los relativos.

Para el perímetro \( \Delta p=3 \Delta b \) con b la base (lado del triángulo).

P.D.: No necesitas Pitágoras para nada.

Hola,

Gracias por responder. Voy a poner valores a ver si entendí mejor el tema. Para el calculo del área tengo que emplear un método de medidas indirectas y propagación de errores. Esto sería:

\( \Delta A=\frac{{\partial A}}{{\partial h}}\Delta h+\frac{{\partial A}}{{\partial b}}\Delta b=\displaystyle\frac{b}{2}\Delta h+\frac{h}{{2}}\Delta b=\displaystyle\frac{10}{2}(0.1)+\frac{4}{{2}}(0.1)= 0,5 + 0,2 = 0,7 cms^2  \)

\( \Delta A= 0,7 cms^2 \)

\( A= (20 \pm{0,7}) cms^2 \)

Ahora el calculo del error relativo basado en la propagación de errores sería.

\( b= 10\pm{0.1} \)
\( h= 4\pm{0.1} \)

En ambos casos el error absoluto sería \( \pm{0.1} \)

\( ε(A)=ε(b)+ε(h) = 0.1 + 0 .1 = 0.2 \)

\(  (b) + (h) = 10 + 4 = 14 \)

\(  ε = \displaystyle\frac{e}{X}= \displaystyle\frac{0.2}{14} = 0.014 \)

Ahora que sé el valor relativo puedo calcular el error relativo porcentual:

\( ε = ε *100 = 0.014*100 = 1,4 \)%

¿Vengo bien?

[robinlambada]

Gracias por responder. Voy a poner valores a ver si entendí mejor el tema. Para el calculo del área tengo que emplear un método de medidas indirectas y propagación de errores. Esto sería:

\( \Delta A=\frac{{\partial A}}{{\partial h}}\Delta h+\frac{{\partial A}}{{\partial b}}\Delta b=\displaystyle\frac{b}{2}\Delta h+\frac{h}{{2}}\Delta b=\displaystyle\frac{10}{2}(0.1)+\frac{4}{{2}}(0.1)= 0,5 + 0,2 = 0,7 cms^2  \)

\( \Delta A= 0,7 cms^2 \)

\( A= (20 \pm{0,7}) cms^2 \)

Hasta aquí correcto y ninguna objeción. Otra forma de calcularlo sería con

\( ε(A)=ε(b)+ε(h)= \displaystyle\frac{\Delta b}{b}+\displaystyle\frac{\Delta h}{h}=\displaystyle\frac{0,1}{10}+\displaystyle\frac{0,1}{4}=0,035 \)

Como \( ε(A)=\displaystyle\frac{\Delta A}{A}=0,035\Rightarrow{}\Delta A=0,035\cdot{}20=0,7 \)

Ahora el calculo del error relativo basado en la propagación de errores sería.

\( b= 10\pm{0.1} \)
\( h= 4\pm{0.1} \)

En ambos casos el error absoluto sería \( \pm{0.1} \)

\( ε(A)=ε(b)+ε(h) = 0.1 + 0 .1 = 0.2 \)

Mal , el error absoluto es el que es el mismo 1 milímetro \( \pm{}0,1\,cm \)
Para el error relativo , hay que dividir por el valor de la medida, es decir entre 10 y 4

\( ε(A)=ε(b)+ε(h)= \displaystyle\frac{\Delta b}{b}+\displaystyle\frac{\Delta h}{h}=\displaystyle\frac{0,1}{10}+\displaystyle\frac{0,1}{4}=0,001+0.025=0,035 \)

\(  (b) + (h) = 10 + 4 = 14 \)

\(  ε = \displaystyle\frac{e}{X}= \displaystyle\frac{0.2}{14} = 0.014 \)

Aquí sinceramente no se que has hecho.

Recuerda que \( \Delta b \) , significa error absoluto y \( \varepsilon ( b) \) es \(  error \,relativo=\displaystyle\frac{error\, absoluto}{valor\ real} \). El porcentual como ya sabes es solo multiplicar por 100 el relativo.

Para el perímetro solo tienes que aplicar: \( \Delta p=3\cdot{} \Delta b \) porque \( P=3\cdot{b} \)


Saludos.

[pramirez]

Gracias por responder. Voy a poner valores a ver si entendí mejor el tema. Para el calculo del área tengo que emplear un método de medidas indirectas y propagación de errores. Esto sería:

\( \Delta A=\frac{{\partial A}}{{\partial h}}\Delta h+\frac{{\partial A}}{{\partial b}}\Delta b=\displaystyle\frac{b}{2}\Delta h+\frac{h}{{2}}\Delta b=\displaystyle\frac{10}{2}(0.1)+\frac{4}{{2}}(0.1)= 0,5 + 0,2 = 0,7 cms^2  \)

\( \Delta A= 0,7 cms^2 \)

\( A= (20 \pm{0,7}) cms^2 \)

Hasta aquí correcto y ninguna objeción. Otra forma de calcularlo sería con

\( ε(A)=ε(b)+ε(h)= \displaystyle\frac{\Delta b}{b}+\displaystyle\frac{\Delta h}{h}=\displaystyle\frac{0,1}{10}+\displaystyle\frac{0,1}{4}=0,035 \)

Como \( ε(A)=\displaystyle\frac{\Delta A}{A}=0,035\Rightarrow{}\Delta A=0,035\cdot{}20=0,7 \)

Ahora el calculo del error relativo basado en la propagación de errores sería.

\( b= 10\pm{0.1} \)
\( h= 4\pm{0.1} \)

En ambos casos el error absoluto sería \( \pm{0.1} \)

\( ε(A)=ε(b)+ε(h) = 0.1 + 0 .1 = 0.2 \)

Mal , el error absoluto es el que es el mismo 1 milímetro \( \pm{}0,1\,cm \)
Para el error relativo , hay que dividir por el valor de la medida, es decir entre 10 y 4

\( ε(A)=ε(b)+ε(h)= \displaystyle\frac{\Delta b}{b}+\displaystyle\frac{\Delta h}{h}=\displaystyle\frac{0,1}{10}+\displaystyle\frac{0,1}{4}=0,001+0.025=0,035 \)

\(  (b) + (h) = 10 + 4 = 14 \)

\(  ε = \displaystyle\frac{e}{X}= \displaystyle\frac{0.2}{14} = 0.014 \)

Aquí sinceramente no se que has hecho.

Recuerda que \( \Delta b \) , significa error absoluto y \( \varepsilon ( b) \) es \(  error \,relativo=\displaystyle\frac{error\, absoluto}{valor\ real} \). El porcentual como ya sabes es solo multiplicar por 100 el relativo.

Para el perímetro solo tienes que aplicar: \( \Delta p=3\cdot{} \Delta b \) porque \( P=3\cdot{b} \)


Saludos.

Tenes razón, en la cita 2 me equivoque feo. En la cita 3 lo que hice fue aplicar la formula de propagación de errores en donde sumo los dos errores y por otro lado sumo la base con la altura. Luego divido la suma de los errores por X barra.

¿El perímetro solo sería esto?:

\( \Delta p=3\cdot{} \Delta b = 3.(0.1) = 0.3  \) error relativo del perímetro y el error porcentual \( ε = ε *100 = 0.3*100 = 30 \)%

[robinlambada]

¿El perímetro solo sería esto?:

\( \Delta p=3\cdot{} \Delta b = 3.(0.1) = 0.3  \) error relativo del perímetro y el error porcentual \( ε = ε *100 = 0.3*100 = 30 \)%

No. Sigues confundiendo error absoluto con relativo.

\( \Delta p=\pm{}0,3\,cm \) es el error absoluto en el perímetro.

El error relativo no tiene unidades y como te dije es: \( \varepsilon(p)=\displaystyle\frac{\Delta p}{p}=\displaystyle\frac{0,3}{3\cdot{}10}=0,01 \)

y ahora el error relativo porcentual es: \( \varepsilon(p)_\text{%}=\varepsilon(p)\cdot{}100=1\text{ %} \)

Saludos.