[Santos]

Hola, buenas!

El otro día, resolviendo la inversa de una función me agarró una de esas dudas inútiles que a nadie importan y por alguna razón no te dejan dormir  .

Según algunos apuntes, la regla general sería despejar "x" y cambiarla por  "\( f^{-1}(x) \)"; y cambiar "f(x)" por "x". Ahora mi pregunta es: ¿No sería un abuso de notación este cambio? ¿No debería, en principio, ser "f(x)" reemplazada con otra variable arbitraria que se asigne al conjunto de llegada?

Se que no van a poder dormir después de esto pero alguien lo tenía que decir (chiste).
Saludos!

[manooooh]

Hola

Está muy bien que te preguntes estas cosas, todo suma .

En realidad si uno escribe \( x=f(x) \) diría "la variable equis depende de sí misma", y se interpreta como algo recursivo pienso yo. De cualquiera manera esto no es una función "normal", tiene otras propiedades.

En cambio, la manera correcta es cambiar el nombre de una variable, por ejemplo \( y=f(x) \). Aquí sí es una función, ya que relaciona un conjunto de salida con uno de entrada.

Con esto en mente, para hallar la inversa generalmente se intercambian la \( x \) por \( y \) y se trata de despejar, nuevamente, \( y \). Para esto llamamos \( y=f^{-1}(x) \).

Saludos

[feriva]

Hola, buenas!



Según algunos apuntes, la regla general sería despejar "x" y cambiarla por  "\( f^{-1}(x) \)"; y cambiar "f(x)" por "x". Ahora mi pregunta es: ¿No sería un abuso de notación este cambio?

Por qué; ¿si no está despejada a un lado del signo igual ya no es la misma cosa?

Saludos.

[sugata]

Esta noche no duermo.....

[Luis Fuentes]

Hola

 No estoy seguro de exactamente cuál es la duda.

 Vaya por delante: en matemáticas se hacen abusos de notación o relajaciones de notación constantemente y son bienvenidos (permiten "hacer cuentas" con soltura) mientras no jueguen en terrenos donde puedan llevar a confusiones.

 Además (y esto ni siquiera es un abuso de notación) suele decirse que las variables son "mudas". Es decir estas expresiones representan la misma función:

\( f(x)=2x+1 \) (*)
\( f(y)=2y+1 \)
\( f(pepe)=2\cdot pepe+1 \)

 Incluso a veces se escribe otra variable para la imagen:

\(  y=2x+1 \) (**)
\(  z=2y+1 \)
\(  luis=2\cdot pepe+1 \)

 El método que indica Santos para hallar la inversa de (*) es despejar \( x: \)

\( x=\dfrac{f(x)-1}{2} \)

 y luego donde pone \( x \) cambiar por \( f^{-1}(x) \) y donde pone \( f(x) \) cambiar por \( x \):

\( f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2} \)

 ¿Está bien? Si. ¿Hay abuso de notación? Psss … casi diría que no..o mínimamente. Lo que usamos es un "método" para hallar la inversa y luego simplemente lo reescribimos con la notación usual que es llamar \( f^{-1} \) a la función inversa y \( x \) a la variable entrada de la misma.

 También podría por ejemplo (y es como yo suelo hacerlo) despejar en (**):

\( x=\dfrac{y-1}{2} \)

y luego escribir:

\( f^{-1}(y)=\dfrac{y-1}{2} \)

ó

\( f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2} \)

 Todo correcto y no veo que pueda llevar a confusión alguna.

Saludos.

[Santos]

Claro, lo que te dicen es que, por ejemplo, para la función:
  f(x) = 2x- 4

despejes la x y te queda:
x = (f(x) + 4)/2

Después cambies la x por \( f^{-1}(x) \) y f(x) por x y te queda:

\( f^{-1}(x) = \displaystyle\frac{x + 4}{2} \)

Pero \( x = f^{-1}(f(x)) \), entonces te queda para la expresión original:

\( f^{-1}(f(x)) = \displaystyle\frac{f(x) + 4}{2} \)

¿No debería cambiarse f(x) por una variable que sea representativa del conjunto de llegada en vez de x que estás usando para el conjunto de partida  ?


\( [color=red]El mensaje lo escribí antes de ver que habían respondido. Todo aclarado. Saludos.[/color] \)

[Santos]

Gracias!! Me quedó claro. 

[feriva]

Hola, Santos. Añado mi punto de vista aunque ya lo tengas claro.


La cuestión es de concepto. Si tú tienes una función f(x) o la que sea despejada, aislada, podrás dar valores a la “x” y obtener valores para f(x); si no, pues no, primero habrá que despejar por una cuestión práctica (no teórica). No cambia el concepto aunque “muevas” las cosas con pasos algebraicos (si están bien relacionadas esas cosas y tiene sentido la cuenta) porque si las variables  que sean van a depender del sitio en que estén... menudo lío

Saludos.