Hola
1) En general, si \( P \) es un punto el haz de rectas pasando por \( P \) corresponde a las rectas polares de los puntos de la recta polar \( r_p \) de \( P. \)
Esta frase no la he entendido bien. En un haz de rectas paralelas no hay ningún punto común a todas. ¿Te refieres a un haz de rectas que pasa por un punto del infinito?
Lo que quiero decir es que el resultado que enuncio ahí es cierto para cualquier haz de rectas pasando por un punto...¡y un haz de rectas paralelas no es más que un caso particular de un haz de rectas pasando por un punto, cuando éste es del infinito!. Es decir proyectivamente no hay diferencia entre rectas paralelas y rectas pasando por un punto; la diferencia aprece cuando "pensamos" afinmente. Pero por eso vale la pena trabajar en geometría proyectiva (consiguiendo resultados más generales) y sólo particularizar a la afín cuando sea necesario.
2) Por otra parte un diámetro es una recta polar de un punto del infinito.
A mí me han definido el diámetro como una recta que pasa por el centro propio. Y el centro como el único punto tal que su variedad polar es la recta del infinito. Supongo que la definición que me has dado es equivalente a la que me han dicho en clase pero ahora mismo no lo veo.
Si la variedad polar del centro es la recta del infinito, por la propiedad uno, como los diámetros serían un haz de rectas pasando por el centro sus polos están en la recta polar del centro, es decir, en la recta del infinito. Es decir, un diámetro es una recta polar de un punto del infinito.
Por cierto esa definición que te han dado del centro, como definición me parece horrible, porque se pierde la intuición geométrica más natural de centro: un centro de una figura es un punto respecto a la cuál es simétrica. Para mi esa es la forma natural de definir centro; a posteriori, partiendo de esa definición, es fácil llegar la "definición" que te dan a ti. Esencialmente está hecho aquí (pág 44):
http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/pdfs/TEORIA4-1.pdfSaludos.
