Hola
Gracias
a) Una curva irreducible de grado \( n > 3 \), \( C \), no puede tener ningún punto de multiplicidad \( n \). Si posee algún punto singular de multiplicidad \( n-1 \), ése es su único punto singular.
He comenzado suponiendo que tengo dos puntos con multiplicidad mayor o igual que \( n-1 \) y una recta \( L \) que une esos dos puntos...(llego al absurdo)
Quiero ver que la multiplicidad ese punto \( n-1 \): Supongo que la multiplicidad de ese punto es mayor o igual que \( n \) y tomo \( L \) una tangente a C en ese punto...(llego al absurdo)
Tienes la idea pero no estoy seguro de que lo hayas redactado bien.
Para ver que no puede tener un punto de multiplicidad \( n \). Nota que si lo tuviese unido con otro punto de la curva, formaría una recta que corta a la curva con grado mayor o igual que \( n+1 \). Imposible.
Para ver que si tiene un punto singular de orden \( n-1 \), no tiene más puntos singulares. Si tuviese otro de orden \( 2 \) o superior la recta que los une cortaría a la curva con grado al menos \( n-1+2=n+1 \). Imposible.
b) Una quintica irreducible no puede tener dos puntos triples. Dar un ejemplo de una quintica irreducible con un punto triple y un punto doble.
He comenzado suponiendo que tengo dos puntos con multiplicidad 3 y una recta \( L \) que une esos dos puntos...(llego al absurdo)
¿Con eso bastaría?
Bien.
No sé cómo construir la quintica
Para conseguir un punto singular de orden tres en el cero, basta que la curva deshomogeneizada en \( Z \), tenga como término homogéneo de menor grado uno de grado tres.
Busca entonces una curva de la forma:
\( f(x,y)=x^3+ax^4+by^5+cx^5 \)
e impón que además tenga un punto singular en \( (1,0). \)
Un ejemplo sería:
\( f(x,y)=x^3-2x^4+x^5+y^5 \)
o homogeneizada:
\( f(x,y,z)=x^3z^2-2x^4z+x^5+y^5 \)
Saludos.
