Hola
A mí se me ocurre otro modo:
\(
\begin{Bmatrix}XZ^2-Y^2(X+Y)=0 \\Z^2(X+3Y)-XY^2=0 \end{matrix} \)
Primer paso: Resolver ese sistema con \( Z=0 \) y consigo el punto \( (0:0:1) \)
Ahí, supongo que querías pone el punto \( (1:0:0) \).
Segundo paso: Deshomogeinizo respecto de \( Y \) (es decir, \( Y=1 \)) y consigo los puntos \( (-3/4:1:\pm{i/\sqrt[ ]{3}}) \)
Tercer paso: Deshomogeinizo respecto de \( Z \) y consigo los puntos \( (\pm{i3\sqrt[ ]{3}}/4:\pm{i\sqrt[ ]{3}}:1) \) (son los mismos que el segundo paso) y \( (0:0:1) \) (el mismo que el primer paso)
Cuarto paso: Deshomogeinizo respecto de \( X \) y consigo los puntos \( (1:-4/3:\pm{i4}/3\sqrt[ ]{3}) \) (que son los mismo que el segundo paso) y \( (1:0:0) \)
Por lo tanto los puntos en los que se cortan las dos curvas son: \( (0:0:1),(-3/4:1:\pm{i/\sqrt[ ]{3}}),(1:0:0) \)
No se me ocurre otra manera...y tampoco sé si está bien...
Lo demás está bien, pero si quiers seguir ese camino es absurdo que trabajes tanto: las soluciones con coordenada \( Z \) nula las calculas al principio. Todas las demás tienen coordenadas \( Z \) no nula y por tanto aparecerán cuando deshomogeinizas respecto de \( Z \).
Es reiterativo que deshomogenices también en \( X \) y en \( Y \).
Por otra parte no entiendo que dificultad encontraste en seguir el camino que te propuse.
Si en la primera ecuación despejas \( Z^2 \) te queda:
\( Z^2=\dfrac{Y^2(X+Y)}{X} \) (*)
(notamos que para que el cociente tenga sentido hemos de suponer que \( X\neq 0 \); el caso \( X=0 \) lo estudiamos al final).
Susituyendo en la segunda ecuación y quitando denomindarores queda:
\( Y^2(X+Y)(X+3Y)-X^2Y^2=0 \)
\( Y^2((X+Y)(X+3Y))-X^2)=0 \)
\( Y^2(4XY+3Y^2)=Y^3(4X+3Y) \)
De donde:
- o bien \( Y=0 \) y entonces en (*) \( Z=0 \). Obtenemos el punto \( (1:0:0) \).
- o bien \( X=-\dfrac{3}{4}Y \). De donde podemos tomar \( Y=1,\quad X=-\dfrac{3}{4} \) y sustituyendo en (*) \( Z=\pm \dfrac{i}{\sqrt{3}} \). Obtenemos los puntos \( (-3/4:1:\pm i/\sqrt{3}) \).
Nos quedaba el caso \( X=0 \). Las ecuaciones quedan:
\( Y^3=0,\qquad Z^2Y=0 \)
de donde \( Y=0 \) y obtenemos el punto \( (0:0:1). \)
Saludos.
