Autor Tema: Demostrar que es insesgado

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05 Febrero, 2010, 02:19 am
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robinharra

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Sean \( X_1,X_2,...,X_n \) muestras aleatoria de la variable aleatoria \( X_i\sim{N(u,1)} \)

Muestre que el estimador \( \theta=\overline{X^2}-1/n \) es insesgado para \( g(u)=u^2 \)

Hasta pronto y gracias.
Colombia, capital mundial del re-busque.

05 Febrero, 2010, 10:37 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Hay que comprobar que \( E[\theta]=u^2 \).

 Supogongo que te refieres a:

\(  \theta=\overline{X}^2-\dfrac{1}{n} \)

 Entonces:

\(  E[\overline{X}^2}=E[\dfrac{(X_1+\ldots+X_n)^2}{n^2}]=E[\dfrac{X_1^2+\ldots+X_n^2+2\displaystyle\sum_{i<j}X_iX_j}{n^2}]) \)

 Utilizando que las variables son independientes queda:

\(  \dfrac{E[X_1^2]+\ldots+E[X_n^2]+2\displaystyle\sum_{i<j}E[X_i]E[X_j]}{n^2} \)  (1)

 Además:

\(  1=Var(X_i)=E[X_i]^2-\mu^2 \)

 de donde susituyendo en (1) queda:

\(  \dfrac{n\mu^2+n+n(n-1)\mu^2}{n^2}=\mu^2+\dfrac{1}{n} \)

Saludos.

05 Febrero, 2010, 12:19 pm
Respuesta #2

robinharra

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