Autor Tema: Sistema de ecuaciones

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18 Abril, 2021, 09:43 am
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leandroalvarez

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Hola! Que tal? Me podrían dar una mano hallando la solución a este problema? Tengo dos ecuaciones con dos incógnitas K y L, mientras que a,P,w,e son todas constantes.

\begin{cases}{aP L^{a-1} K^{a}-w=0}&\text{}& \\aP L^{a} K^{a-1}-r=0 & \text{}& \end{cases}

Por supuesto, la solución queda en términos genéricos, lo único relevante es despejar las variables K y L en función de las constantes. No se en que me estoy equivocando, trate de despejar "a" de ambas ecuaciones y luego igualarlas pero el sistema no conduce a nada. ¿Me podrán ayudar? Gracias!

18 Abril, 2021, 10:07 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola! Que tal? Me podrían dar una mano hallando la solución a este problema? Tengo dos ecuaciones con dos incógnitas K y L, mientras que a,P,w,e son todas constantes.

\begin{cases}{aP L^{a-1} K^{a}-w=0}&\text{}& \\aP L^{a} K^{a-1}-r=0 & \text{}& \end{cases}

Por supuesto, la solución queda en términos genéricos, lo único relevante es despejar las variables K y L en función de las constantes. No se en que me estoy equivocando, trate de despejar "a" de ambas ecuaciones y luego igualarlas pero el sistema no conduce a nada. ¿Me podrán ayudar? Gracias!

Nota: asumo que todos los elementos de las ecuaciones son números reales, es decir que no son matrices u otra cosa.

Supongamos que \( ap\neq 0 \), de otro modo el sistema estaría indefinido, o no tendría solución si \( w \) o \( r \) fuesen distintos ambos de cero. Ahora bien, si defines \( c_1:=\frac{w}{aP} \) y \( c_2:=\frac{r}{aP} \) entonces el sistema se puede re-escribir como

\( \displaystyle{
L^{a-1}K^a=c_1,\quad L^aK^{a-1}=c_2\tag1
} \)

De ahí deducimos que si \( c_1 \) es igual a cero entonces o bien \( L \) o \( K \) son siempre cero y necesariamente \( c_2=0 \) también, y viceversa, por tanto \( c_1=0\Leftrightarrow c_2=0 \). Por tanto supongamos que \( c_1\neq 0 \) por tanto \( c_2\neq 0 \) también de la equivalencia anterior, entonces de (1) tenemos que

\( \displaystyle{
c_1^{-1}L^{a-1}K^a=1,\quad c_2^{-1}L^aK^{a-1}=1\implies c_1^{-1}L^{a-1}K^a=c_2^{-1}L^aK^{a-1}\implies \frac{c_2}{c_1}K=L\tag2
} \)

A partir de ahí puedes sustituir \( L \) por \( \frac{c_2}{c_1}K \) en las ecuaciones originales y hallar el valor de \( K \), y finalmente usando la identidad al final de (2) hallar el valor de \( L \).

18 Abril, 2021, 11:30 am
Respuesta #2

feriva

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Hola! Que tal? Me podrían dar una mano hallando la solución a este problema? Tengo dos ecuaciones con dos incógnitas K y L, mientras que a,P,w,e son todas constantes.

\begin{cases}{aP L^{a-1} K^{a}-w=0}&\text{}& \\aP L^{a} K^{a-1}-r=0 & \text{}& \end{cases}

Por supuesto, la solución queda en términos genéricos, lo único relevante es despejar las variables K y L en función de las constantes. No se en que me estoy equivocando, trate de despejar "a" de ambas ecuaciones y luego igualarlas pero el sistema no conduce a nada. ¿Me podrán ayudar? Gracias!

También así puedes, si no me equivoco:

La primera ecuación se puede escribir como

\( a\dfrac{PL^{a}}{L}K^{a}-w=0
  \)

de donde

\( PL^{a}=\dfrac{wL}{aK^{a}}
  \)

Entrando en la segunda ecuación y sustituyendo

\( a(\dfrac{wL}{aK^{a}})K^{a-1}-r=0\Rightarrow
  \)

\( (\dfrac{wL}{K})=r
  \)

\( L=\dfrac{r}{w}k
  \)

Creo que eso es lo que quieres (si las constantes fueran conocidas nos queda una incógnita en función de otra y entrando en una de las ecuaciones tendríamos la solución; si no me he equivocado).


Saludos.

18 Abril, 2021, 11:59 am
Respuesta #3

leandroalvarez

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Hola! Que tal? Me podrían dar una mano hallando la solución a este problema? Tengo dos ecuaciones con dos incógnitas K y L, mientras que a,P,w,e son todas constantes.

\begin{cases}{aP L^{a-1} K^{a}-w=0}&\text{}& \\aP L^{a} K^{a-1}-r=0 & \text{}& \end{cases}

Por supuesto, la solución queda en términos genéricos, lo único relevante es despejar las variables K y L en función de las constantes. No se en que me estoy equivocando, trate de despejar "a" de ambas ecuaciones y luego igualarlas pero el sistema no conduce a nada. ¿Me podrán ayudar? Gracias!

Nota: asumo que todos los elementos de las ecuaciones son números reales, es decir que no son matrices u otra cosa.

Supongamos que \( ap\neq 0 \), de otro modo el sistema estaría indefinido, o no tendría solución si \( w \) o \( r \) fuesen distintos ambos de cero. Ahora bien, si defines \( c_1:=\frac{w}{aP} \) y \( c_2:=\frac{r}{aP} \) entonces el sistema se puede re-escribir como

\( \displaystyle{
L^{a-1}K^a=c_1,\quad L^aK^{a-1}=c_2\tag1
} \)

De ahí deducimos que si \( c_1 \) es igual a cero entonces o bien \( L \) o \( K \) son siempre cero y necesariamente \( c_2=0 \) también, y viceversa, por tanto \( c_1=0\Leftrightarrow c_2=0 \). Por tanto supongamos que \( c_1\neq 0 \) por tanto \( c_2\neq 0 \) también de la equivalencia anterior, entonces de (1) tenemos que

\( \displaystyle{
c_1^{-1}L^{a-1}K^a=1,\quad c_2^{-1}L^aK^{a-1}=1\implies c_1^{-1}L^{a-1}K^a=c_2^{-1}L^aK^{a-1}\implies \frac{c_2}{c_1}K=L\tag2
} \)

A partir de ahí puedes sustituir \( L \) por \( \frac{c_2}{c_1}K \) en las ecuaciones originales y hallar el valor de \( K \), y finalmente usando la identidad al final de (2) hallar el valor de \( L \).

Muy inteligente el cambio de variable, partiendo de esa idea y tras aplicar mucha algebra llegué a los resultados correctos. Mil gracias  ;D ;D

18 Abril, 2021, 12:03 pm
Respuesta #4

leandroalvarez

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Hola! Que tal? Me podrían dar una mano hallando la solución a este problema? Tengo dos ecuaciones con dos incógnitas K y L, mientras que a,P,w,e son todas constantes.

\begin{cases}{aP L^{a-1} K^{a}-w=0}&\text{}& \\aP L^{a} K^{a-1}-r=0 & \text{}& \end{cases}

Por supuesto, la solución queda en términos genéricos, lo único relevante es despejar las variables K y L en función de las constantes. No se en que me estoy equivocando, trate de despejar "a" de ambas ecuaciones y luego igualarlas pero el sistema no conduce a nada. ¿Me podrán ayudar? Gracias!

También así puedes, si no me equivoco:

La primera ecuación se puede escribir como

\( a\dfrac{PL^{a}}{L}K^{a}-w=0
  \)

de donde

\( PL^{a}=\dfrac{wL}{aK^{a}}
  \)

Entrando en la segunda ecuación y sustituyendo

\( a(\dfrac{wL}{aK^{a}})K^{a-1}-r=0\Rightarrow
  \)

\( (\dfrac{wL}{K})=r
  \)

\( L=\dfrac{r}{w}k
  \)

Creo que eso es lo que quieres (si las constantes fueran conocidas nos queda una incógnita en función de otra y entrando en una de las ecuaciones tendríamos la solución; si no me he equivocado).


Saludos.

Muchas gracias, aplique esa ecuación ultima para hallar el valor L*, habiendo encontrado previamente la solución K* que queda en función de las constantes a,P,w,r. Gracias de nuevo!

18 Abril, 2021, 01:14 pm
Respuesta #5

Masacroso

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Hola! Que tal? Me podrían dar una mano hallando la solución a este problema? Tengo dos ecuaciones con dos incógnitas K y L, mientras que a,P,w,e son todas constantes.

\begin{cases}{aP L^{a-1} K^{a}-w=0}&\text{}& \\aP L^{a} K^{a-1}-r=0 & \text{}& \end{cases}

Por supuesto, la solución queda en términos genéricos, lo único relevante es despejar las variables K y L en función de las constantes. No se en que me estoy equivocando, trate de despejar "a" de ambas ecuaciones y luego igualarlas pero el sistema no conduce a nada. ¿Me podrán ayudar? Gracias!

También así puedes, si no me equivoco:

La primera ecuación se puede escribir como

\( a\dfrac{PL^{a}}{L}K^{a}-w=0
  \)

Eso está bien siempre y cuando asumas que \( L\neq 0 \). Si \( L=0 \) de las ecuaciones originales tendrías que no tiene solución si \( w \) o \( r \) son alguno de ellos distintos de cero, y en el caso de que \( w=r=0 \) entonces \( K \) puede tomar cualquier valor.

P.D.: a todo esto, también hay que asumir que \( a> 1 \). Si \( a=1 \) el sistema es trivial, y si \( a<1 \) entonces no cabe la posibilidad de que \( K \) o \( L \) valgan cero.