Para Ernesto
Gráfica de \( f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{x-2} \)
Resolución esquemática. El dominio es \( D(f)=\mathbb{R}\setminus \left\{{2}\right\} \). No existen simetrías. Tenemos \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}f(x) \) no finito, luego no hay asíntotas horizontales. La recta \( x=2 \) es asíntota vertical. \( m=\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{f(x)/x}=1 \) y \( n=\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}(f(x)-mx)=2 \), luego \( y=x+2 \) es asíntota oblicua.
\( f^\prime (x)=\ldots=\displaystyle\frac{x(x-4)}{(x-2)^2} \). En \( (-\infty,0) \) es creciente, en \( (0.2) \) decreciente, en \( (2,4) \) decreciente y en \( (4,+\infty) \) creciente. Tenemos pues máximo local en \( (0,0) \) y mínimo local en \( (4,8). \)
\( f^{\prime\prime} (x)=\ldots=\displaystyle\frac{8}{(x-2)^3} \), luego es cóncava hacia abajo en \( (-\infty,2) \) y cóncava hacia arriba en \( (2,+\infty) \). El único punto de corte con los ejes es \( (0,0) \).
Se puede ver
aquí su gráfica.
