[mg]

buenas,

En mis apuntes me ponen el siguiente ejemplo:

Sea \( F:\mathbb{P}^2\rightarrow{}\mathbb{P}^2 \) una homografía dada por \( F(x_0:x_1:x_2)=(x_0+x_1+x_2:x_1+x_2:x_2) \) se comprueba facilmente que la recta \( x_2=0 \) es fija, pero el único punto fijo de la homografía es (1:0:0).

Sea \( \begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}=A \) la matriz asociada a F. Entonces estudiando la ecuación \( Ax=x \), con x un punto proyectivo genérico, se ve claro que el único punto fijo es (1:0:0), que se saca de la siguiente relación de implícitas:
\( \begin{cases}x_1+x_2=0 \\x_2=0\end{cases} \). Entonces si la recta \( x_2=0 \) es fija también lo será la recta \( x_1+x_2=0 \) no?. Y respecto a esto "se comprueba facilmente", como compruebo que la recta \( x_2=0 \) es fija?

[ancape]

Para comprobar que x_2=0 es una recta fija de la homografía, halla la imagen de dos de sus puntos, por ejemplo (1:0:0) y (0:1:0) cuyas imágenes son respectivamente (1:0:0) y (1:1:0), y luego la recta que determinan. En este caso m·(1:0:0)+n·(1:1:0) = (m+n:n:0) o sea x_2=0.

Por cierto, la recta x_1+x_2=0 no tiene porqué ser fija.
Por ejemplo, (1:1:-1) y (0:1:-1) son dos puntos de esta recta. Sus imágenes son respectivamente (1:0:-1) y (0:0:-1) que generan la recta m·(1:0:-1)+n·(0:0:-1) = (m:0:-n) y en ésta x_1+x_2 no siempre es cero.

[mg]

muchas gracias, ya resolvi el asunto y parece estar todo claro