[Hauss]

Hola que tal, podría ayudarme con el siguiente ejercicio por favor:

Suponga que \( P \) es un polı́gono regular de \( n \) lados y que cada lado tiene longitud \( l \). Demostrar que el polígono que se obtiene al unir los puntos medios de las aristas de \( P \) también es regular y calcular las longitudes de sus lados en términos de \( l \).

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Suponga que \( P \) es un polı́gono regular de \( n \) lados y que cada lado tiene longitud \( l \). Demostrar que el polígono que se obtiene al unir los puntos medios de las aristas de \( P \) también es regular y calcular las longitudes de sus lados en términos de \( l \).

Observa el dibujo. Los ángulos internos del polígono miden:

\( \alpha=\dfrac{\pi(n-2)}{n} \)

Por el Teorema del coseno, el lado \( L' \) del nuevo polígono cumple:

\( L'^2=(L/2)^2+(L/2)^2-2(L/2)^2cos(\alpha)=\dfrac{L^2}{2}(1-cos(\alpha)) \)

Termina...

Saludos.

[sugata]

Con el dibujo de Luis Fuentes y Geometría sintética.
Todos los triángulos como el que ha dibujado Luis, son iguales. Al tener los lados exteriores iguales, el lado interior será igual en todos los triángulos.

[Hauss]

Con el dibujo de Luis Fuentes y Geometría sintética.
Todos los triángulos como el que ha dibujado Luis, son iguales. Al tener los lados exteriores iguales, el lado interior será igual en todos los triángulos.

¿Eso es para argumentar que el polígono que se forma también es regular?

[sugata]

Justo eso. Todos los lados son iguales. De la misma forma que los ángulos formados, ergo, es regular.