[athairdos]

Hola; tengo la duda sobre si el siguiente argumento es correcto.

Suponiendo en \( \mathbb{R^3} \) un plano por el origen de ecuación \( ax+by+cz=0 \), y dados los elementos del mismo como conjunto de combinaciones lineales de los vectores \( (c, 0, -a) \) y \( (0, -c, b) \); es decir \( x(c, 0, -a)+y(0, -c, b) \); entonces interpretando dicho plano como recta proyectiva \( \mathbb{P^1} \); la pregunta es si el punto del infinito de la recta podría tomarse como el punto \( (-c/a, c/b, 0) \) (ó, escribiendolo como clase de equivalencia: \( \lambda(-c/a, c/b, 0) \), perteneciente al plano \( z=0 \) (establecido como Recta del infinito de \( \mathbb{P^2} \), para el plano afín \( z=1 \)).

Gracias de antemano. Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Suponiendo en \( \mathbb{R^3} \) un plano por el origen de ecuación \( ax+by+cz=0 \), y dados los elementos del mismo como conjunto de combinaciones lineales de los vectores \( (c, 0, -a) \) y \( (0, -c, b) \); es decir \( x(c, 0, -a)+y(0, -c, b) \); entonces interpretando dicho plano como recta proyectiva \( \mathbb{P^1} \); la pregunta es si el punto del infinito de la recta podría tomarse como el punto \( (-c/a, c/b, 0) \) (ó, escribiendolo como clase de equivalencia: \( \lambda(-c/a, c/b, 0) \), perteneciente al plano \( z=0 \) (establecido como Recta del infinito de \( \mathbb{P^2} \), para el plano afín \( z=1 \)).

Si; si \( a,b,c\neq 0 \). Esa excepción se evita si como representante del punto del infinito se toman las coordenadas homogéneas \( (-b,a,0) \). En ese caso la única excepción sería cuando \( a=b=0 \). En ese caso todos los puntos de la recta proyectiva dada son del infinito porque... ¡la ecuación dada sería la de la recta del infinito!.

Saludos.

[athairdos]

Gracias por la respuesta! Por ahora, me sobrepasa un poco. Mi pregunta apuntaba a si el punto del infinito para una recta proyectiva dada por una ecuación \( ax+by+cz=0 \), con valores de \( a \), \( b \) y \( c \), en efecto, todos distintos de cero, se podía calcular como diferencia de los puntos de intersección de los vectores ortogonales (al vector normal \( (a, b, c) \)) con el plano \( z=1 \).

Por el momento ignoro qué ocurre al tomar como ecuación de un plano por el origen a una ecuación como la anterior, pero conteniendo algún valor de \( a \), \( b \) ó \( c \) igual a \( 0 \): en particular, ignoro si aún se puede tomar como plano afín al plano \( z=1 \) (siendo uno o ambos de los vectores ortogonales al vector normal del plano, vectores con coordenada z=0... ).

Si la ecuación del plano es \( z=0 \), es decir, dada por un vector normal \( (0, 0, 1) \), entiendo (o creo entender) que se trataría de una recta impropia (para cualquier base, pienso, además).

Por último, entiendo que multiplicar \( (-c/a, c/b, 0) \) por \( \lambda=(ab)/c \) daría el punto \( (-b, a, 0) \)...pero (y según lo que he escrito antes), me sobrepasa por ahora el sentido (geométrico ó analítico) de ello...

Bueno, cualquier aclaración es bienvenida. Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias por la respuesta! Por ahora, me sobrepasa un poco. Mi pregunta apuntaba a si el punto del infinito para una recta proyectiva dada por una ecuación \( ax+by+cz=0 \), con valores de \( a \), \( b \) y \( c \), en efecto, todos distintos de cero, se podía calcular como diferencia de los puntos de intersección de los vectores ortogonales (al vector normal \( (a, b, c) \)) con el plano \( z=1 \).

Esto no tiene sentido. ¿Qué son los puntos de intersección de los vectores ortgonales al vector normal con el plano?.

Calcular el punto del infinito de esa recta no tiene ciencia ninguna. Por definición es el punto con coordenada \( z=0 \), luego se obtiene haciendo \( z=0 \) en la ecuación y resolviendo:

\( ax+by+\color{red}c\cdot 0\color{black}=0\quad \Rightarrow{}\quad (x,y)=\lambda(-b,a) \) para cualquier \( \lambda \)

Por el momento ignoro qué ocurre al tomar como ecuación de un plano por el origen a una ecuación como la anterior,

No entiendo esa frase.

pero conteniendo algún valor de \( a \), \( b \) ó \( c \) igual a \( 0 \): en particular, ignoro si aún se puede tomar como plano afín al plano \( z=1 \) (siendo uno o ambos de los vectores ortogonales al vector normal del plano, vectores con coordenada z=0... ).

Me sigue costando entenderte. ¿Si se puede tomar como plano afín \( z=1 \), para qué?.

Si la ecuación del plano es \( z=0 \), es decir, dada por un vector normal \( (0, 0, 1) \), entiendo (o creo entender) que se trataría de una recta impropia (para cualquier base, pienso, además).

Hablas como si tuvieras que adivinar las cossa. ¿Has estudiado una teoría concreta del espacio proyectivo?. Si lo haces no debe de quedarte ninguna duda en todo lo que preguntas; es seguir al pie de la letra unas definiciones.

Por último, entiendo que multiplicar \( (-c/a, c/b, 0) \) por \( \lambda=(ab)/c \) daría el punto \( (-b, a, 0) \)...pero (y según lo que he escrito antes), me sobrepasa por ahora el sentido (geométrico ó analítico) de ello...

Pues si no entiendes eso, no se que idea tienes en la cabeza del plano proyectivo y su representación mediante coordenadas homogénas.

La idea es que el plano proyectivo es el conjunto de rectas del espacio que pasan por el origen; cada recta representa un punto del plano proyectivo y las coordenadas homogéneas de ese punto son las de cualquier vector director de la recta correspondiente. Por eso coordenadas homogéneas proporcionales definen el mismo punto.

Esta equivalencia recta del espacio por el origen-punto del plano se explicita si "colocas" un plano a la altura \( z=1 \) y cortas con el tales rectas.

La idea está representada aquí:

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/afinampliado.html

En general, me cuesta mucho ayudarte porque no acabo de entender de que conocimientos previos partes; es como si estuvieses abriendo un libro por en medio en lugar de por el principio; como si hablases de "oídas". Pero hasta que no te decidas a concretar, a fijar el formalismo, estás haciendo castillos en el aire. Es mi opinión.

Saludos.

CORREGIDO

[athairdos]

Gracias!

Hare 2 preguntas, para no enredar tanto:

1-Si dado un plano en \( \mathbb{R^3} \) por la ecuación \( ax+by+cz=0 \) se tomaran los vectores \( (-c, 0, a) \) y \( (-b, a, 0) \), por un lado; o los vectores \( (-b, a, 0) \) y \( (0, -c, b) \), alternativamente: luego, se podría tener una recta proyectiva \( \mathbb{P^1} \) cuyo punto del infinito sería perteneciente a los planos \( x=0 \) y \( y=0 \); respectivamente (en el primer y segundo caso)?

2-Si, según el planteo del primer mensaje (el mensaje inicial), el punto del infinito podría tomarse (para el par de vectores de \( \mathbb{R^3} \) ya especificado allí para la recta \( \mathbb{P^1} \)...) como punto \( (-c/a, c/b, 0) \), por un lado (lo he obtenido, o.creído obtener, de la diferencia entre \( (-c/a, 0, 1) \) y \( (0, -c/b, 1) \)); y, además, se tiene que el punto del infinito en dicho contexto puede especificarse (en coordenadas homogéneas) como \( (-b, a, 0) \), luego, cómo se puede establecer la relación entre ambos (el producto interno de ambos no es nulo, por ejemplo...)?

Mi conocimiento de geometría proyectiva es muy escaso; comprendo algunas cuestiones de un modo no muy profundo (por ejemplo, la especificación de la proyectividad entre 2 rectas \( \mathbb{P^1} \) o entre 2 planos \( \mathbb{P^2} \)...en el primer caso...obteniéndose como transformación asociada a una matriz regular n+1 (para la recta proyectiva, una matriz de 2x2 de rango 2)en la forma:

\( \begin{pmatrix}{y_1}&{y_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{ax_1+bx_2}&{cx_1+dx_2}\end{pmatrix} \).

Ello conduce a la expresión, en coordenadas no homogéneas:

\( \frac{y_1}{y_2}=\frac{ax_1+bx_2}{cx_1+dx_2} \); es decir, a la forma:

\( y'=\frac{ax'+b}{cx'+d} \); etc.

El problema es que hay cuestiones de geometría básica que apenas domino (o no domino en absoluto) todavía, y también en los diferentes matices (geométrico, analítico, etc.) que puede tomar el.enfoque, dejando más cuestiones abiertas aún para un principiante, digamos.

Saludos y gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

1-Si dado un plano en \( \mathbb{R^3} \) por la ecuación \( ax+by+cz=0 \) se tomaran los vectores \( (-c, 0, a) \) y \( (-b, a, 0) \), por un lado; o los vectores \( (-b, a, 0) \) y \( (0, -c, b) \), alternativamente: luego, se podría tener una recta proyectiva \( \mathbb{P^1} \) cuyo punto del infinito sería perteneciente a los planos \( x=0 \) y \( y=0 \); respectivamente (en el primer y segundo caso)?

La pregunta no tiene sentido. El punto del infinito no tiene nada que ver con que escojas esos vectores. El punto del infinito tiene que ver con que recta del infinito (plano vectorial) escoges. El punto del infinito de una recta es su intersección con la recta del infinito. Normalmente se toma \( z=0 \); pero puedes tomar \( x=0 \) ó \( y=0 \) o en realidad cualquier recta proyectiva.

2-Si, según el planteo del primer mensaje (el mensaje inicial), el punto del infinito podría tomarse (para el par de vectores de \( \mathbb{R^3} \) ya especificado allí para la recta \( \mathbb{P^1} \)...) como punto \( (-c/a, c/b, 0) \), por un lado (lo he obtenido, o.creído obtener, de la diferencia entre \( (-c/a, 0, 1) \) y \( (0, -c/b, 1) \)); y, además, se tiene que el punto del infinito en dicho contexto puede especificarse (en coordenadas homogéneas) como \( (-b, a, 0) \), luego, cómo se puede establecer la relación entre ambos (el producto interno de ambos no es nulo, por ejemplo...)?

La relación entre \( (-c/a,c/b,0) \) y \( (-b,a,0) \) es que son proporcionales:

\( (-b,a,0)=ab(-c/a,c/b,0) \)

Igualmente sería correcto decir que el punto del infinito tiene coordenadas homogéneas \( (-100b,100a,0). \)
 

Mi conocimiento de geometría proyectiva es muy escaso; comprendo algunas cuestiones de un modo no muy profundo (por ejemplo, la especificación de la proyectividad entre 2 rectas \( \mathbb{P^1} \) o entre 2 planos \( \mathbb{P^2} \)...en el primer caso...obteniéndose como transformación asociada a una matriz regular n+1 (para la recta proyectiva, una matriz de 2x2 de rango 2)en la forma:

Esto es lo que no acabo de entender. Si tus conocimientos de geometría proyectiva son escasos debes de tomar un libro o notas de referencia para estudiar y preguntar dudas sobre ellos. No me queda claro que lo estés haciendo. Y es fundamental.

Saludos.

[feriva]

Hola, athairdos.

No estudié en matemáticas el espacio proyectivo, lo muy poco que conozco de él lo aprendí a través del dibujo artístico. Tuve una época de dibujar y pintar mucho, me compré además unos cuantos libros y vídeos. En uno de esos vídeos (y en libros) se analizaba la perspectiva del cuadro de la última cena de Leonardo y algún otro cuadro ya un poco más complicado. Sobre el óleo se trazaba un haz de rectas que salían de un punto y cortaban a la recta del techo, luego otro haz cortaba a las rectas de las paredes... Se hablaba de una razón (tipo teorema de Tales) que era la misma para las rectas del haz y los puntos de la recta cortada... Iba entiendo todo (pues yo ya dibujaba en perspectiva desde muy niño, casi intuitivamente a partir de unas nociones que me dio mi padre) y de repente me di cuenta de que, a partir de cierto momento, ya no entendía bien, no asimilaba; tuve que parar el vídeo, dibujar, pensar lo que decían...

Aunque ya digo que no estudié el espacio proyectivo en álgebra lineal (porque en físicas de la UNED nos quitaron del temario eso, también los tensores, la programación lineal... y además casi no nos exigían teoría en otros asuntos... todo era muy descafeinado) aunque no vi ese tema, decía, creo que en matemáticas viene a ser igual que en la pintura; sólo que formalizado y aumentado, imagino. Así que, si para entender la cuestión en el dibujo hay que detenerse, dejar de leer y parar para pensar, pues supongo que en álgebra más todavía (en otras cosas no pasa tanto esto, se pueden leer más de corrido, pero el espacio proyectivo es una materia para detenerse con calma).
 Si no calan bien los conceptos básicos, después no se entiende lo que sigue; hay que parar justo donde ya no se entiende; y si no puedes dilucidarlo analizándolo tú, entonces, ya sí, pregunta concretamente sobre ese aspecto que no te deja continuar estudiando.

Empieza entendiendo desde el espacio afín; ten en cuenta que una transformación lineal corriente (no afín) transforma, por ejemplo, una recta que pasa por el origen de coordenadas en otra que también pasa por el origen (es un giro sobre sí misma, sin desplazarse) mientras que en el espacio afín no tienen por qué pasar por el origen, con lo que las ecuaciones llevan un término independiente distinto de cero (o no en todas es cero) y de ahí que los puntos en \( \mathbb{R}^{2}  \) necesiten una coordenada más para mostrar esas “proyecciones” (entre comillas) al mover las rectas no sobre sí mismas o no sólo sobre sí mismas.

Saludos.

[athairdos]

Gracias por sendas respuestas! Me ayudan bastante (aunque a veces me demoro un tanto en comprender algo...).

Es correcto el siguiente argumento?

Dados dos vectores l.i en \( \mathbb{R^3} \), por ejemplo \( (2, 1, 5) \) y \( (3, 0, 2) \) y, tomando como una recta proyectiva \( \mathbb{P^1} \) el plano (por el origen) que engendran, entonces:

El punto de coordenadas \( (\frac{3}{2}, -1) \) sería punto del infinito, perteneciente a la recta del infinito dada por el plano \( x=0 \); y el punto de coordenadas \( (-1, \frac{5}{2}) \) sería punto del infinito perteneciente a l recta impropia dada por el plano \( z=0 \)?

Saludos y gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias por sendas respuestas! Me ayudan bastante (aunque a veces me demoro un tanto en comprender algo...).

Es correcto el siguiente argumento?

Dados dos vectores l.i en \( \mathbb{R^3} \), por ejemplo \( (2, 1, 5) \) y \( (3, 0, 2) \) y, tomando como una recta proyectiva \( \mathbb{P^1} \) el plano (por el origen) que engendran, entonces:

El punto de coordenadas \( (\frac{3}{2}, -1) \) sería punto del infinito, perteneciente a la recta del infinito dada por el plano \( x=0 \); y el punto de coordenadas \( (-1, \frac{5}{2}) \) sería punto del infinito perteneciente a l recta impropia dada por el plano \( z=0 \)?

¡Buf!. Supongo que quieres decir que \( (\frac{3}{2}, -1) \) son las coordenadas de un vector en la base \( \{(2,1,5),(3,0,2)\} \) correspondiente a la recta vectorial que representa el punto del infinito de la recta proyectiva dada, cuando se toma como recta del infinito la de ecuación \( x=0 \).

Estrictamente eso es correcto. Pero no se usa ese tipo representación. Igualmente valdrían en esa línea las coordenadas \( (3000,-2000) \).

Perdona que insista. Me gustaría que respondieses. ¿Estás siguiendo algún libro o apuntes concreto para estudiar geometría proyectiva? En caso negativo, ¿por qué no la haces?.

No quiero sonar duro y lo que te voy a decir es sólo mi opinión: pero me parece que estás perdiendo el tiempo. O como decía un profesor que tuve años atrás, estás aprendiendo mal, que es peor que no aprender. Te lo digo intentado ser constructivo: me parece fundamental que busques unas notas de referencia.

Saludos.

[athairdos]

Gracias por la respuesta; lo que comentas es cierto, he de reconocer; se ve que para.estudiar este tema se necesita un buen grado de dominio de algebra y geometría. Yo carezco de ambos, de ahí que mis preguntas de algun modo mezclan varias cuestiones. Tengo 2 libros q tratan el tema; en el libro de Birkhoff, por ejemplo, se tratan los temas de geometria afin y proyectiva en no mas de 5 páginas (se nota que se trata de presentaciones muy compactas, probablemente para personas de nivel mas o menos avanzado); otro libro es de Santaló, y es extenso pero tampoco es para principiantes. Parecería necesaria una especie de orientación del algebra a los temas específicos; sin embargo, en el libro de algebra que tengo la presentación del.algebra es mas genérica, por así decir (a veces, algo de esa especificación puede encontrarse en las secciones de ejercicios de los capítulos de un libro).
 
Saludos