Hola.
Estudiando las variedades desde un punto de vista geométrico y algebraico, me he encontrado en dos libros distintos con las siguientes definiciones y construcciones, que me han dejado absolutamente confundida.
En ambos se define el plano afín de la misma forma, conjunto de puntos en un cuerpo \( K \), denotado por \( \mathbb{A} \).
Por comodidad, pondré las definiciones para una dimensión.
LIBRO 1
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Sea \( K [X] \) el anillo de polinomios de polinomios sobre el cuerpo \( K \). Entonces \( V\subseteq{\mathbb{A}} \) es un conjunto algebraico si existe un conjunto \( M \in{K[X]} \) tal que
\( V(M)=\left\{{P\in{\mathbb{A}}} | f(P)=0 \forall{f\in{M}} \right\} \).
Sea un cuerpo \( K \) y un conjunto algebraico \( V \). El conjunto de polinomios que se anulan en \( V \) forman un ideal y se denomina ideal de \( V \):
\( I(V)=\left\{{f \in{K [X]} | f(P)=0 \forall{P\in{V}}}\right\} \).
Sea \( K \) un cuerpo. Se denomina variedad \( V \) a un conjunto algebraico que es irreducible, es decir, que no se puede escribir como unión de dos conjuntos algebraicos más pequeños.
A partir de aquí, desarrolla toda la teoría, maravillosa donde ideales maximales son puntos, ideales primos variedades irreducibles, etc.
LIBRO2
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La definición de variedad y de ideal es exactamente la misma. Pero ahora, introduce el concepto de anillo de coordenadas y subvariedad.
Sea \( K \), \( X \) una variedad. definimos el anillo cociente llamado anillo de coordenadas de la siguiente forma:
\( A(X)=K[X]/I(X) \)
que no es más que la clase de residuos de los polinomios por un ideal.
Ahora dice:
Los ideales de variedades definidos anteriormente (como en el libro 1), están contenidos en el anillo de todos los polinomio \( K[X] \). Para hacer una interpretación geométrica de los ideales de forma más general, vamos a coger los polinomios del anillo de coordenadas, es decir:
Sea \( S\subset{A(X)} \) donde \( X \) es una variedad, definimos entonces:
\( V(S)=\left\{{x\in{X}} | f(x)=0 \forall{f\in{S}} \right\}\subset{X} \).
\( I(Y)=\left\{{f \in{A[X]} | f(x)=0 \forall{x\in{Y}}}\right\} \), el conjunto de todos los polinomios en \( X \) que se anulan en \( Y \).
A \( V(S) \) se le denomina \( subvariedad \) de \( X \).
Y a partir de aquí, desarrolla exactamente la misma teoría de ideales primos, maximales, etc....relacionándolos con sus objetos geométricos.
Según lo veo yo, en el libro 1 se definen las variedades como conjuntos algebraicos irreducibles, por lo que en el libro 2, éstas serían los mismos conjuntos algebraicos, pero usando polinomios del anillo de coordenadas en lugar de polinomios en el anillo completo \( K[X] \).
Son las variedades (conjuntos algebraicos irreducibles) del libro 1, las subvariedades del definidas en el libro 2?.
Si es así, quiere decir esto que las variedades que se obtienen de los polinomios del anillo de coordenadas, son siempre irreducibles?.
Qué relación hay entre las definiciones de los dos libros?.
Besos.
