[mss]

Buenas tardes.
Escribo ya que me ha surgido una duda en uno de los ejercicios.

Sea A un espacio afín tal que A = (E,V, AP) donde E = {\( (x,y,z)\in{R^3}/x^2+y^2= z \)}, V = \( R^2 \), AP(PQ) = AP((x,y,z),(x',y',z')) = (x'-x, y'-y).

Nos preguntan cómo son las rectas (subespacio de dimensión 1), y demostrarlo.

Aquí me asalta la duda de por qué rectas pregunta, ya que en este caso estamos tratando con un paraboloide, y está formado por curvas. Había pensado que podía tratarse de las numerosas rectas tangente que la forman, que se cortarían en un punto, pero no estoy muy segura. Y si es así, cómo empezaría demostrando algo así, ya que lo que tengo es un paraboloide, y no un plano o algo así.

Muchas gracias por adelantado

[Fernando Revilla]

Sea A un espacio afín tal que A = (E,V, AP) donde E = {\( (x,y,z)\in{R^3}/x^2+y^2= z \)}, V = \( R^2 \), AP(PQ) = AP((x,y,z),(x',y',z')) = (x'-x, y'-y). Nos preguntan cómo son las rectas (subespacio de dimensión 1), y demostrarlo.

Sugerencia. Dado un punto genérico \( P_0(x_0,y_0,x_0^2+y_0^2) \) del paraboloide, cualquier otro punto de una recta que pasa por \( P_0 \) ha de ser de la forma \( P(x,y,x^2+y^2) \) con \( (x-x_0,y-y_0)=\lambda (u,v) \) y \( (u,v)\ne (0,0). \)

[mss]

Sea A un espacio afín tal que A = (E,V, AP) donde E = {\( (x,y,z)\in{R^3}/x^2+y^2= z \)}, V = \( R^2 \), AP(PQ) = AP((x,y,z),(x',y',z')) = (x'-x, y'-y). Nos preguntan cómo son las rectas (subespacio de dimensión 1), y demostrarlo.

Sugerencia. Dado un punto genérico \( P_0(x_0,y_0,x_0^2+y_0^2) \) del paraboloide, cualquier otro punto de una recta que pasa por \( P_0 \) ha de ser de la forma \( P(x,y,x^2+y^2) \) con \( (x-x_0,y-y_0)=\lambda (u,v) \) y \( (u,v)\ne (0,0). \)

Quiere decir entonces esto que los vectores de nuestras rectas no tienen dirección respecto al eje 0Z (por ello nuestro subespacio es \( R^2 \)), y podría demostrarlo haciendo las ecuaciones paramétricas y pasando a forma implícita, ¿no es así?

Muchísimas gracias por la ayuda

[Fernando Revilla]

Quiere decir entonces esto que los vectores de nuestras rectas no tienen dirección respecto al eje 0Z (por ello nuestro subespacio es \( R^2 \)), y podría demostrarlo haciendo las ecuaciones paramétricas y pasando a forma implícita, ¿no es así?

En realidad, sí. Cada recta \( r \) del espacio afín dado que pasa por el punto del paraboloide \( P_0(x_0,y_0,z_0) \) y con dirección el subespacio de dimensión \( 1 \), \( U=L[(u,v)]\subset \mathbb{R}^2 \) es la curva \( r \) contenida en el paraboloide:

        \( r:\begin{cases}x=x_0+\lambda u\\y=y_0+\lambda v\\z=(x_0+\lambda u)^2+(y_0+\lambda v)^2\end{cases}\quad (\lambda\in\mathbb{R}). \)

P.D. Sería interesante que supieras dar un interpretación geométrica de lo anterior.

[Luis Fuentes]

Hola

 Una ayuda. Puedes mover los puntos rojos:

 
Saludos.

[Fernando Revilla]

Excelente ayuda Luis. 

[mss]

Muchísimas gracias a ambos