[vukow]

Necesito ayuda, a ver si alguien sabe como acotar la funcion de dentro de la integral para poder aplicar el teorema de la convergencia dominada y permutar el limite con la integral.

\( \displaystyle\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{\infty}x\left(1+\sen \frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}dx \)

Gracias y un saludo.

[Fernando Revilla]

Necesito ayuda, a ver si alguien sabe como acotar la funcion de dentro de la integral para poder aplicar el teorema de la convergencia dominada y permutar el limite con la integral.
lim(n -> \infty ) \displaystyle\int_{a}^{b} x(1+sen(x/n))*(1+(x/n))^-n dx , definida en (0, \infty )

Debes usar LaTeX para las fórmulas según las reglas del foro. Tu enunciado sería:

Hallar \( \displaystyle\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{\infty}x\left(1+\sen \frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}dx \) usando el teorema de la convergencia dominada.

Por favor, copia el código anterior y lo incluyes en tu mensaje original. También debes mostrar lo que has trabajado. Por ejemplo, llamando \( f_n(x)=x\left(1+\sen \frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}dx, \) ¿qué función límite \( f(x)=\displaystyle\lim_{n \to\infty}f_n(x) \) obtienes?

Por otra parte, hay una primera acotación obvia \( \left |{f_n(x)}\right |\le g(x) \)  en \( [0,+\infty] \) ¿cuál es? ¿es suficiente? Veamos que respondes, y te seguimos ayudando.

[vukow]

Gracias por la respuesta, si la he trabajado bastante, he llegado a:

\( \frac{x}{e^{-x}}=\displaystyle\lim_{n \to\infty}f_n(x) \)

He encontrado una acotación para la función, pero no es suficiente, se trata de

\( \left |{f_n(x)}\right |\le g(x)=\frac{2x}{1+x} \)

He visto tambien que:

\( g_n(x)=\left(1+\sen \frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{x}{n}\right)^\frac{-n}{2} \)

esta acotada por un N y en consecuencia

\( \left {f_n(x)}\right \le \frac{N}{(1+\frac{x}{n})^\frac{n}{2}} \)

pero tampoco me sirve

[Fernando Revilla]

Bien, observa que

          \( \left |f_n(x)\right |\le \displaystyle\frac{2x}{\left(1+\dfrac{x}{3}\right)^3}=g(x)\text{ si }n\ge 3 \)

y que \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}g(x)\;dx \) es convergente.

[vukow]

Muchas gracias por la respuesta.

Saludos