Hola
La distancia \( D(x,B) \) de un punto a un subconjunto no vacío de \( (X,d) \) está definida como : \( D(x,B) = inf_{b \in B} d(x,b) \)
Pruebe que para cualquier \( x,y \in X \), \( \vert D(x,B) - D(y,B)\vert \leq d(x,y) \)
Alguna sugerencia con este problema. Gracias
Ten en cuenta que para todo \( b\in B \):
\( D(x,B)\leq d(x,b)\leq d(x,y)+d(y,b) \)
Ahora por definición de ínfimo dado \( \epsilon>0 \) existe \( b\in B \) tal que \( d(y,b)\leq D(y,B)+\epsilon \).
Combinado con lo anterior:
\( D(x,B)\leq d(x,b)\leq d(x,y)+d(y,b)\leq d(x,y)+D(y,B)+\epsilon \) para todo \( \epsilon>0 \)
Se concluye que:
\( D(x,B)-D(y,B)\leq d(x,y) \)
Análogamente:
\( D(y,B)-D(x,B)\leq d(x,y) \)
Saludos.