¿Por el conjunto de funciones continuas en un abierto \( U \), que denota por \( C(U) \), se refiere a las funciones continuas de \( U \) en \( \Bbb R \)? ¿O la imagen es en cualquier \( \Bbb R^n \)?
Lo primero, con conjunto de llegada \( \Bbb R \).
En la condición 3. de la definición, al expresar \( f \in C^\infty(H(U)) \) se refiere a funciones diferenciables en el sentido usual de \( \Bbb R^n \) (en \( \Bbb R \) o en algún \( \Bbb R^m \) en función de la respuesta a mi pregunta anterior), ¿no?
Sí.
Mi conocimiento sobre variedades diferenciables es muy, muy justito y aunque veo similitudes con la definición usual, ¿cómo se relacionan ambas? ¿Son equivalentes en algún sentido? He leído en algunos libros que, en general, pueden definirse las cartas de una variedad de modo que su imagen esté en un espacio de Banach arbitrario, luego supongo que si existe alguna equivalencia con la definición usual, será con esta y no con la que fija la dimensión del espacio de llegada, supongo...
No es exactamente equivalente a la definición habitual en términos de cartas, pero casi. Es equivalente a que \( X \) tenga un atlas compatible, pero faltaría en esta definición imponer las condiciones topológicas: ser Hausdorff y cumplir el segundo axioma de numerabilidad (o paracompacidad, como prefieras). Después de escribir este párrafo he visto que está mencionado como nota en los apuntes.
Sobre el tema de la dimensión, esta definición coincidiría con variedades diferenciables en las que distintas componentes pueden tener dimensiones distintas, pero todas ellas finitas. Lo que mencionas de variedades modeladas en espacios de Banach es más general, pues ahí la dimensión puede ser infinita.
La idea para ver la equivalencia es que la condición \( 3 \) te define un atlas compatible. En efecto, por un lado te dice que cada punto \( x \) tiene una carta dada por \( (U_x, H) \). Y si tienes dos cartas \( (U_x,H), (U_y, H') \) con intersección no vacía, hay que ver que \( \psi := H'\circ H^{-1}|_{H(U_x \cap U_y)} \) es diferenciable (en el sentido usual de funciones entre \( \Bbb R^n \)). Pero de nuevo por 3 aplicado a \( U:= U_x \cap U_y \), para ello basta ver que \( \psi \circ H \in C^\infty(U) \). Pero \( \psi\circ H = H'|_U \in C^\infty(U) \), por una nueva aplicación de 3 con \( f:=id_{H'(U)} \) (como \( id_{H'(U)} \in C^\infty(H'(U)) \) tenemos que \( H'=id_{H'(U)} \circ H'\in C^\infty(U) \)).
Al revés es tomar un atlas compatible en \( X \) y definir las funciones diferenciables en un abierto de \( X \) de la manera habitual en topología diferencial y ver que todo funciona. Si no lo ves claro lo puedo hacer con más detalle.
Si conoces algo de teoría de haces, esta es la definición de estructura diferenciable vía teoría de haces. La idea es que una estructura diferenciable es lo mismo que un haz \( C^\infty(X) \) en \( X \) que cumple que es un subhaz del haz de funciones continuas \( C(X) \) (definición y condiciones 1 y 2) y que localmente es isomorfo al haz de funciones diferenciables en \( \Bbb R^n \) vía un homeomorfismo de un abierto de \( X \) en un abierto de \( \Bbb R^n \) (condición 3).
Si además conoces la definición de esquema en geometría algebraica verás que es esencialmente lo mismo que esto. Solo que allí tienes que el haz estructural de un esquema es localmente isomorfo al haz estructural de un esquema afín (el espectro de algún anillo) y aquí el "haz estructural" de funciones diferenciables en tu espacio es localmente isomorfo al haz de funciones diferenciables en un \( \Bbb R^n \). Vamos, que lo único que cambia es el espacio local que se usa para modelar: en un caso son espectros de anillos con su haz de funciones regulares, y en el otro espacios euclídeos con su estructura diferenciable.
