[sstp]

Buenas, tengo el siguiente ejercicio, pero aun no se como empezar a desarrollarlo y es el siguiente:

Sea $$H$$ un espacio de Hilbert y $$T:H \longrightarrow H$$
$$T(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left< x,e_{n+1} \right>e_{n}$$
donde $$\left\{ e_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$$ es una base ortonormal de $$H$$. Demuestre que:
$$a) \left|\lambda\right| \leq 1, \forall \lambda \in \sigma (T)$$
$$b) \hspace{1.5mm} Si, 0<\lambda<1 \Rightarrow \lambda \in \sigma_{p}(T)$$

Agradezco el apoyo de todos.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas, tengo el siguiente ejercicio, pero aun no se como empezar a desarrollarlo y es el siguiente:

Sea $$H$$ un espacio de Hilbert y $$T:H \longrightarrow H$$
$$T(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left< x,e_{n+1} \right>e_{n}$$
donde $$\left\{ e_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$$ es una base ortonormal de $$H$$. Demuestre que:
$$a) \left|\lambda\right| \leq 1, \forall \lambda \in \sigma (T)$$
$$b) \hspace{1.5mm} Si, 0<\lambda<1 \Rightarrow \lambda \in \sigma_{p}(T)$$

Agradezco el apoyo de todos.

Para (a) comprueba que \( \|T\|\leq 1 \) y utiliza que \( \lambda\leq \|T\| \) para todo \( \lambda\in \sigma(T) \).

Para (b), dado \( \lambda\in (0,1) \)  considera:

\( x=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\lambda^ne_n \) (comprueba que converge)

y observa que:

\( T(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\lambda^{n+1}e_n=\lambda x \)

Saludos.