[Restituto]

Las álgebras de Lie semisimples tienen tantos elementos invariantes de Casimir(que conmutan con cualquier elemento del álgebra pero no pertenecen al álgebra de Lie sino a un álgebra universal envolvente ) como indique su rango matricial. En este caso \( (so (4)) \) el rango es 2 y por tanto  tendremos 2 invariantes de Casimir. El primero, cuadrático en los generadores es muy fácil de derivar intuitivamente ya que como comentaba en un mensaje anterior los conmutadores del álgebra de \( so(4) \) nos dicen que los generadores pueden representar vectores bajo rotaciones y un invariante de los vectores al ser rotados es su magnitud y por tanto se puede expresar tensorialmente como:\(  \frac{1}{2} J_{\mu\nu}J^{\mu\nu} \)  donde \( J_{\mu\nu} \) es un tensor antisimétrico o usando los vectores espaciales \( J_i \) y \( K_i \) como \( J^2+K^2 \).
No tengo tan claro como derivar el segundo invariante de orden mas alto que cuadrático a partir de estos mismos conmutadores del álgebra, tirando otra vez de intuición creo que sedeberían usar 2 pares de índices y por tanto el tensor de Levi-Civita \( \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \) fijando la relación de producto interno entre 2 vectores   \( J_i \) y \( K_j \) cualquiera en los tensores \( J^{\mu\nu} \) y \( J^{\rho\sigma} \) y en el caso de que \( i=j \) el producto se anula  pero no estoy seguro de estar en el camino correcto.

[geómetracat]

No estoy muy puesto con esto de los Casimires de orden superior, pero yo lo que haría es pasar a la base de \( \mathfrak{so}(4) \cong \mathfrak{so}(3)\oplus \mathfrak{so}(3) \) dada por los elementos \( B_{+,i} = \frac{J_i+K_i}{2} \) y \( B_{-,i} = \frac{J_i-K_i}{2} \) de las que hablábamos en otro hilo. La ventaja de esta base es que cada conjunto por separado forma base de \( \mathfrak{so}(3) \) y además los conmutadores de elementos de conjuntos distintos son cero.
Entonces, tienes un casimir (en el sentido de un elemento del centro del álgebra universal envolvente) en cada factor, dados por \( B_+^2 = B_{+,x}^2+B_{+,y}^2+B_{+,z}^2 \) y \( B_-^2 = B_{-,x}^2+B_{-,y}^2+B_{-,z}^2 \). Si no me equivoco, estos dos elementos te generan todo el centro del álgebra universal envolvente de \( \mathfrak{so}(4) \). Si los sumas, obtienes (esencialmente) el Casimir cuadrático que mencionas, \( B_+^2+B_-^2 = \frac{J^2+K^2}{2} \) (aparece un factor \( 2 \) por ahí), y el Casimir de orden superior en esta base yo diría que es \( B^2_+B^2_- = \sum_{i,j} B^2_{+,i}B^2_{-,j} \).

[Restituto]

No estoy muy puesto con esto de los Casimires de orden superior, pero yo lo que haría es pasar a la base de \( \mathfrak{so}(4) \cong \mathfrak{so}(3)\oplus \mathfrak{so}(3) \) dada por los elementos \( B_{+,i} = \frac{J_i+K_i}{2} \) y \( B_{-,i} = \frac{J_i-K_i}{2} \) de las que hablábamos en otro hilo. La ventaja de esta base es que cada conjunto por separado forma base de \( \mathfrak{so}(3) \) y además los conmutadores de elementos de conjuntos distintos son cero.
Entonces, tienes un casimir (en el sentido de un elemento del centro del álgebra universal envolvente) en cada factor, dados por \( B_+^2 = B_{+,x}^2+B_{+,y}^2+B_{+,z}^2 \) y \( B_-^2 = B_{-,x}^2+B_{-,y}^2+B_{-,z}^2 \). Si no me equivoco, estos dos elementos te generan todo el centro del álgebra universal envolvente de \( \mathfrak{so}(4) \). Si los sumas, obtienes (esencialmente) el Casimir cuadrático que mencionas, \( B_+^2+B_-^2 = \frac{J^2+K^2}{2} \) (aparece un factor \( 2 \) por ahí), y el Casimir de orden superior en esta base yo diría que es \( B^2_+B^2_- = \sum_{i,j} B^2_{+,i}B^2_{-,j} \).

Gracias. Con el primer Casimir está bastante claro y hay bastantes ejempos del Casimir de \( so(3) \) por ahí . Y respecto al segundo la verdad es que me está costando encontrar referencias en internet.  Yo quería expresarlo primero como el otro Casimir de manera covariante independiente de base con el tensor antisimétrico \( J_{\mu\nu} \) de 6 componentes  definidas a partir de las \( J_i \) y \( K_i \) como \( J_1=J_{23}, J_2=J_{31}, J_3=J_{12},K_1=J_{01}, K_2=J_{02}, K_3=J_{03} \) como \( \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}J^{\mu\nu}J^{\rho\sigma} \) creo que con un factor de \( 1/4 \) por ahi y apartir de aquí debería ser posible expresarlo también usando los vectores en la base \( J,K \) como \( J.K \).

Añadido y suprimida frase confusa
No acabo de ver el caso con la base \( B_+,B_- \), teniendo en cuenta que los elementos de Casimir caracterizan por completo las representaciones irreducibles me parece que una vez se separan los 2 \( so(3) \) irreducibles en la suma directa darían simplemente los 2 casimires cuadráticos que ya caracterizan por completo las reps irreducibles en esa base,  en vez de un producto de mayor orden que sí aparece para el segundo casimir usando la base \( J, K \) . Pero tampoco lo aseguraría.

[geómetracat]

No acabo de ver el caso con la base \( B_+,B_- \), teniendo en cuenta que los elementos de Casimir caracterizan por completo las representaciones irreducibles me parece que una vez se separan los 2 \( so(3) \) irreducibles en la suma directa darían simplemente los 2 casimires cuadráticos que ya caracterizan por completo las reps irreducibles en esa base,  en vez de un producto de mayor orden que sí aparece para el segundo casimir usando la base \( J, K \) . Pero tampoco lo aseguraría.

No estoy totalmente seguro de estas cosas, así que tómate lo que diga con precaución.
Pero yo diría que son dos bases distintas. Es decir, por un lado puedes considerar los elementos \( B_+^2 \) y \( B_-^2 \), y eso te da unos generadores del centro del álgebra envolvente de \( \mathfrak{so}(4) \). Con esto ya estás, no necesitas más elementos. Lo que sucede es que ninguno de esos es el Casimir cuadrático de \( \mathfrak{so}(4) \), que es \( B_+^2+B_-^2 \) (quizás salvo una constante multiplicando por ahí).

Por otro lado, por lo que he visto por ahí parece que se puede obtener otro sistema de generadores del centro del álgebra envolvente tomando el casimir cuadrático y casimires de orden superior. Ahí es donde entraría \( B_+^2B_+^2 \). Entonces un sistema de generadores (alternativo al de \( B_+^2, B_-^2 \)) sería \( B_+^2+B_-^2, B_+^2B_-^2 \). Y todavía otro más sería el que se obtuviera usando la base \( J,K \). De hecho, si calculas \( B_+^2B_-^2 \) en la base \( J,K \) te aparece un factor \( (J\cdot K)^2 \) como el que mencionas en tu mensaje.

De todas maneras me gustaría hacer algunos cálculos para acabar de entender todo esto, y quizás ver si conseguimos encontrar el casimir de orden superior directamente en la base \( J,K \), siguiendo las ideas que indicabas.

[Restituto]

Interpreté mal lo que leí en Wikipedia sobre los operadores de orden superior al cuadrático en mis anteriores mensajes, disculpas por la posible confusión creada. La verdad es que el tratamiento algebraico de esto supera por mucho mi  conocimiento de álgebra y no sé  hasta qué punto se puede llegar a los Casimires con intuiciones geométricas.
En cualquier caso los 2 operadores en este caso no tienen porqué ser de orden mayor al cuadrático y de hecho la única referencia  explícita de los casimires de \( so(4) \) que he encontrado es en Hamermesh, al final del capítulo 8 y son ambos cuadráticos y ya los hemos mencionado en el hilo.

Corrección: En la referencia comentada se me pasó por alto al mirarlo rápido que después de los 2 casimires cuadraticos que ya habían sido mencionados  aquí también muestran en la base \( J,K \) un casimir cuadrático y otro de cuarto orden que también habían salido en el hilo.
Por tanto este operador de cuarto orden pero expresado en la base \( B_+,B_- \) como hizo geómetracat  es factible.

[Restituto]

No acabo de ver el caso con la base \( B_+,B_- \), teniendo en cuenta que los elementos de Casimir caracterizan por completo las representaciones irreducibles me parece que una vez se separan los 2 \( so(3) \) irreducibles en la suma directa darían simplemente los 2 casimires cuadráticos que ya caracterizan por completo las reps irreducibles en esa base,  en vez de un producto de mayor orden que sí aparece para el segundo casimir usando la base \( J, K \) . Pero tampoco lo aseguraría.

No estoy totalmente seguro de estas cosas, así que tómate lo que diga con precaución.
Pero yo diría que son dos bases distintas. Es decir, por un lado puedes considerar los elementos \( B_+^2 \) y \( B_-^2 \), y eso te da unos generadores del centro del álgebra envolvente de \( \mathfrak{so}(4) \). Con esto ya estás, no necesitas más elementos. Lo que sucede es que ninguno de esos es el Casimir cuadrático de \( \mathfrak{so}(4) \), que es \( B_+^2+B_-^2 \) (quizás salvo una constante multiplicando por ahí).

Por otro lado, por lo que he visto por ahí parece que se puede obtener otro sistema de generadores del centro del álgebra envolvente tomando el casimir cuadrático y casimires de orden superior. Ahí es donde entraría \( B_+^2B_+^2 \). Entonces un sistema de generadores (alternativo al de \( B_+^2, B_-^2 \)) sería \( B_+^2+B_-^2, B_+^2B_-^2 \). Y todavía otro más sería el que se obtuviera usando la base \( J,K \). De hecho, si calculas \( B_+^2B_-^2 \) en la base \( J,K \) te aparece un factor \( (J\cdot K)^2 \) como el que mencionas en tu mensaje.

De todas maneras me gustaría hacer algunos cálculos para acabar de entender todo esto, y quizás ver si conseguimos encontrar el casimir de orden superior directamente en la base \( J,K \), siguiendo las ideas que indicabas.

Al parecer no hay una construcción canónica de los operadores invariantes de Casimir de orden superior al cuadrático. Y además en este caso particular(en realidad para todo grupo ortogonal propio de dimensión par) hay una modificación a la forma en que se generalizaría el producto a partir del primer Casimir cuadrático debido al tensor completamente antisimétrico al poderse formar el invariante a partir de los generadores con la fórmula que escribí arriba ya que todos los índices son sumados, sin dejar ningún indice libre por lo que llegamos a un escalar que conmuta con los generadores es decir es invariante bajo rotaciones como dictaban las relaciones de conmutación.

Como sabemos por el rango que solo puede haber 2 Casimires algebraicamente independientes el segundo se debe construir de esta forma.

[geómetracat]

Gracias, pero aún no me queda del todo claro cuál es el Casimir de orden superior que obtienes, ¿lo puedes escribir explícitamente?

[Restituto]

Gracias, pero aún no me queda del todo claro cuál es el Casimir de orden superior que obtienes, ¿lo puedes escribir explícitamente?

Claro.
\( C_4=\frac{1}{4}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}J^{\mu\nu}J^{\rho\sigma}= \)J.K

[geómetracat]

Claro.
\( C_4=\frac{1}{4}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}J^{\mu\nu}J^{\rho\sigma}= \)J.K

Lo que sigo sin ver claro ahí es: esto es un operador de Casimir de orden superior? ¿No es también de orden cuadrático? Es decir, si entiendo correctamente esto es \( J_1K_1+J_2K_2+J_3K_3 \), pero esto son sumas de dos productos de elementos de la base.

[Restituto]

Claro.
\( C_4=\frac{1}{4}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}J^{\mu\nu}J^{\rho\sigma}= \)J.K

Lo que sigo sin ver claro ahí es: esto es un operador de Casimir de orden superior? ¿No es también de orden cuadrático? Es decir, si entiendo correctamente esto es \( J_1K_1+J_2K_2+J_3K_3 \), pero esto son sumas de dos productos de elementos de la base.

Eso era lo que me extrañaba a mí también. Se supone que para dimension par siguiendo el patrón del primer Casimir (traza de la matriz antisimétrica de los generadores al cuadrado) se haría con la traza de la matriz a la cuarta potencia  pero para evitar raíces ambiguas y dado que se tiene el tensor alternante de 4 índices se sustituye por la expresión de arriba.
En la representación vectorial el producto es igualmente cero. Tampoco puedo decir que el procedimiento de construcción de este segundo Casimir me quede tan claro como el primero pero no encuentro más claves para justificarlo.