[ancape]

Respecto a parametrizar TODO el plano de manera que ambas curvas coordenadas sean elipses, debería de poderse probar que es imposible. Una idea al respecto:

Fijada una elipse de la primera familia, para cada punto de la misma debe de haber una elipse de la segunda familia que sea tangente a ella en ese punto (la única forma de que dos elipses se corten sólo en un punto es que sean tangentes). Esa elipse de la segunda familia o está dentro o está fuera de la elipse original; dado que una elipse divide al plano en dos componentes conexas, por continuidad todas las elipses de la segunda familia debería de estar dentro o fuera de la inicial; por tanto una de las dos partes quedaría sin cubrir.

Saludos.

Hola

Sigo pensando que es imposible parametrizar todo el plano con dos familias de elipses, pero sigo sin ver el razonamiento 'dentro-fuera'.

En primer lugar, no sé a que te refieres con la palabra 'continuidad'. Si es la continuidad de cada elipse, no veo que esto implique el paso de unas elipses a todas. Si la continuidad se refiere a la familia de elipses, podría buscar una parametrización con familias no continuas.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

En primer lugar, no sé a que te refieres con la palabra 'continuidad'. Si es la continuidad de cada elipse, no veo que esto implique el paso de unas elipses a todas. Si la continuidad se refiere a la familia de elipses, podría buscar una parametrización con familias no continuas.

Si; pensaba en parametrizaciones continuas. De todas formas quizá sería bueno que indicases EXACTAMENTE qué estas entendiendo por parametrización.

Si no exigimos continuidad no tengo tan claro que sea imposible, porque podría ser un par de familias de elipses muy extravagantes. Se trataría de estudiar si existen dos familias de elipses (disjuntas en cada familia) de manera que por cada punto del plano pase exactamente una elipse de cada familia.

Saludos.

[ancape]

Si; pensaba en parametrizaciones continuas. De todas formas quizá sería bueno que indicases EXACTAMENTE qué estas entendiendo por parametrización.

Si no exigimos continuidad no tengo tan claro que sea imposible, porque podría ser un par de familias de elipses muy extravagantes. Se trataría de estudiar si existen dos familias de elipses (disjuntas en cada familia) de manera que por cada punto del plano pase exactamente una elipse de cada familia.

Hola

Efectivamente, antes de continuar hablando sobre la existencia o no de determinado tipo de parametrizaciones, es imprescindible definir EXACTAMENTE lo que se entiende por parametrización, no nos vaya a ocurrir como en aquella conferencia de seguridad en el mediterráneo en la que todos los países firmaron un acuerdo condenando el terrorismo pero no fueron capaces de ponerse de acuerdo en su definición.

Si miramos situaciones habituales, ejemplo las coordenadas polares, observamos que si nuestro objetivo es describir el comportamiento de un fenómeno en los puntos de un plano, un cambio de la parametrización inducida por las coordenadas cartesianas a las coordenadas polares es muy interesante si estudiamos fenómenos astronómicos o el simple movimiento de alguien que camina en un tiovivo.

Desde este punto de vista, bastaría con definir una parametrización como una aplicación biyectiva de \( \mathbb{R^2}  \) en \(   \mathbb{R^2} \) que asocia a cada par \( (x.y)\in{R^2} \) un par \( (u,v)\in{R^2} \). Fijo \( u=u_0 \), el conjunto (\( (u_0,v) \) es un subconjunto de \( \mathbb{R^2} \) que depende de un parámetro que llamaremos línea coordenada. Las curvas u=cte y v=cte forman dos familias de curvas, regulares o no, que se llaman líneas coordenadas de la parametrización dada. Observar que no hemos dicho nada respecto a la regularidad de las líneas coordenadas, tanto individualmente como familias de líneas con la topología usual.

Con esta definición, si no se exige ningún tipo de regularidad, es como existiría una parametrización cuyas líneas coordenadas son dos familias de elipses.
En efecto: Una elipse está completamente determinada por 2 focos y un punto. Así el cardinal del conjunto de elipses del plano en el mismo que el de \( \mathbb{R} \). Existe pues una aplicación biyectiva de la familia de elipses del plano dada y \( \mathbb{R} \), esto es, cada \( u\in{R} \) lleva asociada una elipse de la familia y recíprocamente. De la misma forma, dado un par de familias de elipses que llenen individualmente todo el plano, tendremos una aplicación biyectiva que las pone en correspondencia con \( \mathbb{R^2} \).

Creo que hemos demostrado la existencia, pero la construcción gráfica la veo muy difícil.

Si utilizamos las parametrizaciones para cosas que implique operar analíticamente con datos dados. Por ejemplo, si estudiamos velocidades, áreas o cualquier problema que implique derivar, integrar etc. Tendremos que aplicar reglas como la de la cadena que exigirán regularidad a las familias de líneas coordenadas, incluso mas allá de la continuidad. Probablemente se exija diferenciabilidad del orden que se quiera, esto es, \( C^\infty \). En este caso creo que no existirán parametrizaciones cuyas líneas coordenadas asociadas sean familias de elipses aunque el argumento ‘dentro-fuera’ sigo sin verlo.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si miramos situaciones habituales, ejemplo las coordenadas polares, observamos que si nuestro objetivo es describir el comportamiento de un fenómeno en los puntos de un plano, un cambio de la parametrización inducida por las coordenadas cartesianas a las coordenadas polares es muy interesante si estudiamos fenómenos astronómicos o el simple movimiento de alguien que camina en un tiovivo.

Desde este punto de vista, bastaría con definir una parametrización como una aplicación biyectiva de \( \mathbb{R^2}  \) en \(   \mathbb{R^2} \) que asocia a cada par \( (x.y)\in{R^2} \) un par \( (u,v)\in{R^2} \). Fijo \( u=u_0 \), el conjunto (\( (u_0,v) \) es un subconjunto de \( \mathbb{R^2} \) que depende de un parámetro que llamaremos línea coordenada. Las curvas u=cte y v=cte forman dos familias de curvas, regulares o no, que se llaman líneas coordenadas de la parametrización dada.

Bien. Tal como la has definido tendrías:

\( f:\Bbb R^2\times \Bbb R^2\qquad f(x,y)=(u,v) \)

biyectiva y estrictamente las curvas coordenadas serían:

\( \{f^{-1}(u,v_0)|u\in \Bbb R\} \)
\( \{f^{-1}(u_0,v)|v\in \Bbb R\} \)

para cada \( v_0 \) o \( u_0 \) fijos.

Curiosamente una parametrización tan típica como las coordenadas polares estrictamente no encajan en esa definición, porque el cero queda fuera de la parametrización (a no ser que recortemos del domino de manera un tanto artificial) y las circunferencias deben de definirse sobre todo \( [0,2\pi) \) y no sobre todo \( \Bbb R \).

Observar que no hemos dicho nada respecto a la regularidad de las líneas coordenadas, tanto individualmente como familias de líneas con la topología usual.

Bien. Aunque raramente se usan parametrizaciones donde tan siquiera se tenga continuidad, pero no hay problema por eso.

En cualquier caso con esa definición que has dado, lo que si tiene que cumplirse es que dos curvas coordenadas cualquiera se cortan en un único punto:

\( \{f^{-1}(u,v_0)|u\in \Bbb R\}\cap \{f^{-1}(u_0,v)|u\in \Bbb R\}=f^{-1}(u_0,v_0) \)

en otro caso no se tendría la biyectiviad de la aplicación.

Con esta definición, si no se exige ningún tipo de regularidad, es como existiría una parametrización cuyas líneas coordenadas son dos familias de elipses.
En efecto: Una elipse está completamente determinada por 2 focos y un punto. Así el cardinal del conjunto de elipses del plano en el mismo que el de \( \mathbb{R} \). Existe pues una aplicación biyectiva de la familia de elipses del plano dada y \( \mathbb{R} \), esto es, cada \( u\in{R} \) lleva asociada una elipse de la familia y recíprocamente. De la misma forma, dado un par de familias de elipses que llenen individualmente todo el plano, tendremos una aplicación biyectiva que las pone en correspondencia con \( \mathbb{R^2} \).

Creo que hemos demostrado la existencia, pero la construcción gráfica la veo muy difícil.

No. No está bien. Es (creo\( ^{(1)} \)) cierto que puedes parametrizar dos familias una familia de elipses disjuntas dos a dos que cubran cada una de ellas el plano (familia de cardinalidad igual a los reales); pero el problema es garantizar que dos elipses de cada una de las familias se cortan en uno y SÓLO en un punto. Tu idea no lo garantiza.

Saludos
\( ^{(1)} \) Digo "creo" porque tengo ciertas dudas de si realmente podría cubrirse todo el plano. La forma más obvia es tomar elipses concéntricas y ahí el problema está el centro de la misma, que finalmente sólo podría cubrirse con un punto y no con una elipse. Sospecho que esto no tiene solución incluso con elipses en posiciones arbitrarias; porque si pretendemos que la familia sea de elipses disjuntas deben de estar unas dentro de las otras y quedaría dentro un punto no recubierto. Pero esta cuestión la dejo por ahora...

AÑADIDO:

Efectivamente una familia de elipses \( \{E_j\}_{h\in J} \) disjuntas dos a dos NO puede recubrir todo el plano. Por reducción al absurdo. Si así fuese...

1) Por ser disjuntas, dadas \( E_j \) y \( E_k \) distintas una está siempre dentro de la otra.

2) Si consideramos las superficies delimitadas por cada elipse (es decir el contorno de la elipse y su interior), \( \{F_j\} \) de (1) se deduce que también dadas \( F_j \) y \( F_k \) distintas una está siempre dentro de la otra.

3) Por tanto la intersección finita de conjuntos de \( \{F_j\} \) tiene intersección no vacía (sería de hecho la elipse llena más pequeña de ellas).

4) Entonces \( \{F_j\} \) sería una familia de compactos de manera que cualquier intersección finita de ellas tiene intersección no vacía.

5) Pero en un espacio Hausdorff cualquier familia de compactos con las propiedades indicadas en (4) tiene intersección no vacía.

Spoiler

Puedes ver la prueba aquí.

https://math.stackexchange.com/questions/2966338/family-of-compact-sets-as-subset-of-x-wherein-the-finite-intersection-is-non-e

[cerrar]

6) Entonces existe \( x\in \displaystyle\bigcap_{j\in J}F_j \).

7) Pero no puede haber ninguna elipse de la familia original pasando por \( x \). Efectivamente si así fuese, \( x\in E_{j_0} \), dada un punto \( y \) dentro de la elipse \( E_{j_0} \) tendría que existir otra elipse de la familia \( E_{j_1} \) pasando por \( y \); pero entonces \( x\not\in F_{j_1} \) lo cuál contradice 6.

Si algo no te queda claro, indica en que punto tienes dudas.

[ancape]

Hola Luis

Antes de nada, agradecerte la atención que me has prestado en éste como en otros tantos hilos y que me hace confirmar mis conceptos matemáticos anteriores o cambiarlos por otros más razonables. Analizando tu actividad en el foro, me parece increíble que una sola persona sea capaz de atender, y con tanta precisión, tantos frentes abiertos a la vez.

Curiosamente una parametrización tan típica como las coordenadas polares estrictamente no encajan en esa definición, porque el cero queda fuera de la parametrización (a no ser que recortemos del domino de manera un tanto artificial) y las circunferencias deben de definirse sobre todo \( [0,2\pi) \) y no sobre todo \( \Bbb R \).

Estas mirando una parametrización como una aplicación dada por unas ecuaciones analíticas, en ese sentido, si llamamos coordenadas polares a la dadas por x=u Cos v, y=u Sin v, tendremos problemas en (x,y)=(0,0) pues arctg(y/x) no está definido. Pero que yo sepa, las aplicaciones no sólo no están ligadas a una representación analítica (pueden existir muchas) sino que sobrepasan el terreno de los algoritmos analíticos y en algún caso, la única forma de representarlas es detallando una a una la imagen de cada punto.

En el caso de las coordenadas polares he leído en varios textos, de indudable buena reputación, la definición:

Dado el plano \( \mathbb{R^2} \)de coordenadas cartesianas x,y se definen las coordenadas polares de un punto P como el par de números (u,v) dónde u representa el módulo del vector  OP y v su argumento. Se define previamente el argumento del vector 0 como 0.

La definición anterior es una biyección y la única observación que podemos hacer es porqué se ha definido que el argumento del vector 0 es 0. La razón es la misma que cuando se define \( n^0 = 1 \) habiendo definido \( n^m \) como n*n*….*n (m veces)

Bien. Aunque raramente se usan parametrizaciones donde tan siquiera se tenga continuidad, pero no hay problema por eso.

En cualquier caso con esa definición que has dado, lo que si tiene que cumplirse es que dos curvas coordenadas cualquiera se cortan en un único punto:

\( \{f^{-1}(u,v_0)|u\in \Bbb R\}\cap \{f^{-1}(u_0,v)|u\in \Bbb R\}=f^{-1}(u_0,v_0) \)

en otro caso no se tendría la biyectividad de la aplicación.

Si entendemos que cortarse en un único punto significa que para cada punto (x,y) hay una y sólo una elipse de la primera familia y otra y sólo otra de la segunda que lo contiene. De acuerdo. Otra cosa es la interpretación geométrica. Los puntos de corte no podrán ni dibujarse.

No. No está bien. Es (creo\( ^{(1)} \)) cierto que puedes parametrizar dos familias una familia de elipses disjuntas dos a dos que cubran cada una de ellas el plano (familia de cardinalidad igual a los reales); pero el problema es garantizar que dos elipses de cada una de las familias se cortan en uno y SÓLO en un punto. Tu idea no lo garantiza.

Fijemos un punto \( (x_0,y_0)\in{R^2} \). Por tener el mismo cardinal \( \mathbb{R} \) que un conjunto de elipse disjuntas que rellenan el plano, existe una aplicación biyectiva \( f_1:\mathbb{R}\longrightarrow{CE_1} \) donde \( CE_1 \) es un conjunto de elipses disjuntas y que rellenan el plano.
De la misma manera existe un aplicación biyectiva \( f_2:\mathbb{R}\longrightarrow{CE_2} \). La aplicación \( (f_1,f_2)  \) es biyectiva y transforma \( \mathbb{R^2} \) en la familia de elipses {\( CE_1,CE_2 \)} que son las líneas coordenadas de la parametrización en \( \mathbb{R^2} \) , \( (f_1,f_2)  \)

\( ^{(1)} \) Digo "creo" porque tengo ciertas dudas de si realmente podría cubrirse todo el plano. La forma más obvia es tomar elipses concéntricas y ahí el problema está el centro de la misma, que finalmente sólo podría cubrirse con un punto y no con una elipse. Sospecho que esto no tiene solución incluso con elipses en posiciones arbitrarias; porque si pretendemos que la familia sea de elipses disjuntas deben de estar unas dentro de las otras y quedaría dentro un punto no recubierto. Pero esta cuestión la dejo por ahora...

El plano menos un punto sigue siendo un dominio en el que desplegar parametrizaciones. En todo caso el problema puede arreglarse definiendo un punto como la elipse con focos confundidos en él y pasando por dicho punto.

Dirás que abuso de las definiciones, pero si miras en el desarrollo de cualquier concepto en matemáticas, las definiciones iniciales se han ampliado de forma que se verifiquen nuevos resultados importantes SIEMPRE que no varíen cuando se aplican a resultados anteriores.

Efectivamente una familia de elipses \( \{E_j\}_{h\in J} \) disjuntas dos a dos NO puede recubrir todo el plano. Por reducción al absurdo. Si así fuese...

1) Por ser disjuntas, dadas \( E_j \) y \( E_k \) distintas una está siempre dentro de la otra.

E_j elipse de focos (2,0),(8,0) y pasando por el punto (5,3)
E_k elipse de focos (16,0),(22,0) y pasando por el punto (19,5)
Son disjuntas y no están contenidas una en la otra. El resto de puntos se apoyan en este
Se podría decir que E_j y E_k tienen que estar en una familia de elipses disjuntas que recubran todo el plano, pero en ese caso no es EVIDENTE que una esté dentro de la otra.

Los demás puntos se apoyan en éste.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Estas mirando una parametrización como una aplicación dada por unas ecuaciones analíticas, en ese sentido, si llamamos coordenadas polares a la dadas por x=u Cos v, y=u Sin v, tendremos problemas en (x,y)=(0,0) pues arctg(y/x) no está definido. Pero que yo sepa, las aplicaciones no sólo no están ligadas a una representación analítica (pueden existir muchas) sino que sobrepasan el terreno de los algoritmos analíticos y en algún caso, la única forma de representarlas es detallando una a una la imagen de cada punto.

En el caso de las coordenadas polares he leído en varios textos, de indudable buena reputación, la definición:

Dado el plano \( \mathbb{R^2} \)de coordenadas cartesianas x,y se definen las coordenadas polares de un punto P como el par de números (u,v) dónde u representa el módulo del vector  OP y v su argumento. Se define previamente el argumento del vector 0 como 0.

Lo único que he querido apuntar simplemente es que las coordenadas polares NO se corresponden con la definición que has dado de parametrización. NO definen una biyección de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^2 \). Sólo eso. Por supuesto que están perfectamente definidas y utilizadas en la literatura.

Si entendemos que cortarse en un único punto significa que para cada punto (x,y) hay una y sólo una elipse de la primera familia y otra y sólo otra de la segunda que lo contiene. De acuerdo. Otra cosa es la interpretación geométrica. Los puntos de corte no podrán ni dibujarse.

No hay ninguna ambigüedad en el significado de que dos conjuntos (curvas en este caso) se corten en un único punto: que el cardinal de su intersección es uno.

Respecto a que los puntos de corte no podrán ni dibujarse, francamente no se que quieres decir. Desde luego si tenemos bien definidas dos elipses concretas que se cortan en un sólo punto, todo eso puede dibujarse.

No se si te refieres, tal vez, a trabajar con parametrizaciones que no somos capaces de definir explícitamente y en ese sentido no seríamos capaces de dibujar la elipse concreta que corresponde a un valor concreto de \( u \) o \( v \). Pero eso es otra historia.

Fijemos un punto \( (x_0,y_0)\in{R^2} \).

Fijas un punto y no veo que lo uses para nada de lo que haces a continuación.

Por tener el mismo cardinal \( \mathbb{R} \) que un conjunto de elipse disjuntas que rellenan el plano, existe una aplicación biyectiva \( f_1:\mathbb{R}\longrightarrow{CE_1} \) donde \( CE_1 \) es un conjunto de elipses disjuntas y que rellenan el plano.

Tendrías que demostrar que existe un conjunto de elipses disjuntas que llenan el plano. Pero aún así.. de acuerdo... admitamos que existe...

De la misma manera existe un aplicación biyectiva \( f_2:\mathbb{R}\longrightarrow{CE_2} \). La aplicación \( (f_1,f_2)  \) es biyectiva y transforma \( \mathbb{R^2} \) en la familia de elipses {\( CE_1,CE_2 \)}

Pero eso no es una aplicación de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^2 \); lo que has definido ahí es una apliación de \( \Bbb R^2 \) en el producto cartesiano de dos familias de elipses. Es decir a un punto \( (u,v) \) de \( \Bbb R^2 \) le haces corresponde un par de elipses \( f_1(u) \) y \( f_2(v) \); eso no se parece en nada a una parametrización del plano, a no ser que esas dos elipses se corten en un único punto y en realidad lleves \( (u,v) \) en el punto \( f_1(u)\cap f_2(v) \).

Pero entonces necesitamos garantizar que ambas elipses efectivamente se corten en único punto. Cosa que no está en absoluto garantizada.

El plano menos un punto sigue siendo un dominio en el que desplegar parametrizaciones. En todo caso el problema puede arreglarse definiendo un punto como la elipse con focos confundidos en él y pasando por dicho punto.

Bien; podríamos admitir un punto como un caso degenerado de elipse. Pero esto exigiría una vez más retocar la definición que has dado de parametrización porque un punto no puede ser una curva coordenada que en tu definición tendría que estar formada por infinitos puntos distintos.

Quizá podría retocarse el asunto y permitir ciertos huecos en el plano.

Dirás que abuso de las definiciones, pero si miras en el desarrollo de cualquier concepto en matemáticas, las definiciones iniciales se han ampliado de forma que se verifiquen nuevos resultados importantes SIEMPRE que no varíen cuando se aplican a resultados anteriores.

Sobre esto no digo nada; me parece una observación muy general. Es mejor valorar en cada caso cuanto se están "estirando" las definiciones.

E_j elipse de focos (2,0),(8,0) y pasando por el punto (5,3)
E_k elipse de focos (16,0),(22,0) y pasando por el punto (19,5)
Son disjuntas y no están contenidas una en la otra. El resto de puntos se apoyan en este
Se podría decir que E_j y E_k tienen que estar en una familia de elipses disjuntas que recubran todo el plano, pero en ese caso no es EVIDENTE que una esté dentro de la otra.

Si. Evidentemente hay elipses disjuntas que no están contenidas una dentro de otra. Tenía una idea en la cabeza y me pase de frenada con ella.

Pero la cuestión sigue funcionando. Si entendemos que existe una familia de elipses disjuntas cubriendo el plano tendríamos lo siguiente.

Dada une elipse \( E_1 \) por su centro debería de pasar otra elipse \( E_2 \) de la familia, ahora si contenida en ella, y es fácil ver que el área de la segunda es menos de la mitad del área de la primera. Y así sucesivamente: por el centro de \( E_2 \) tendremos una elipse \( E_3 \) contenida en ella y de área menos de la mitad de la anterior.

De esta forma se tiene una familia de elipses \( \{E_n\} \) cada una dentro de la anterior y de área \( area(E_n)/2^{n-1} \).

Razonando como dije en mi anterior mensaje, existe un punto en el interior de todas ellas. Por ese punto debería de exisitir una elipse \( E \) de la familia pero tiene que estar dentro de todas las elipses de \( \{E_n\} \) y por tanto tener menor área que cualquiera de ellas. Pero el área de estas elipses tiende a cero y por tanto nuestra elipse \( E \) tendría área cero: no sería une elipse.

Saludos.