[S.S]

Hola a todos.

Estoy leyendo Manfredo do Carmo, Geometría diferencial de curvas y superficies y me encontré con lo siguiente (Ejemplo 5 seción 3.3, aplicación de Gauss en coordenadas locales):

En este ejemplo el considera la superficie \( S \) como el gráfico de una función \( z=h(x,y) \) y llega las siguiente expresion para la segunda forma fundamental

\( h_{x,x}(0,0)x^{2} + h_{x,y}(0,0)xy+ h_{yy}(0,0) y^{2} \)

Mi question es que quisé aplicar este proceso para la esfere unitaria, mas me encontre que Manfredo dice que para hacer el proceso debo escoger los ejes de \( \mathbb{R}^{3} \) de forma que el origen de las coordenadas sea \( p \) y que el eje \( z \) este en la direccion normal positiva de \( S \) en \( p \).

Por ejemplo: Quise tomar a \( p= (0,1,0) \), luego de trasladar el centro de la esfera por ejemplo a \( (0,-1,0) \), no conseguí que el eje \( z \) estuviera en la dirección normal del punto deseado.

Y pensse, bueno, pues hagamos el proceso con la esféra centrada en el punto \( (0,0,1) \) a ver que sucede, mas para despejar \( z \) de ahí me lie bastante y conseguí nada.    .

Gracias de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

Por ejemplo: Quise tomar a \( p= (0,1,0) \), luego de trasladar el centro de la esfera por ejemplo a \( (0,-1,0) \), no conseguí que el eje \( z \) estuviera en la dirección normal del punto deseado.

Es que no tiene sentido que lo apliques en ese punto, porque ahí el vector normal está en la dirección del eje \( OY \). La forma de conseguir que sea el eje \( Z \) girar la esfera; pero al final eso es equivalente a trabajar en el polo norte \( (0,0,1) \).

Y para llevarlo al origen centras la esfera en el punto \( (0,0,-1) \). Su ecuación es:

\( x^2+y^2+(z+1)^2=1 \)

Y despejando \( z \),

\( z=h(x,y) \) con \( h(x,y)=-1+\sqrt{1-x^2-y^2} \)

Saludos.