[cristianoceli]

Hola tengo duda

Tengo entendido que  si cualquier espacio topologico es primero numerable es tambien secuencialmente compacto. Pero al reves no se cumple. No me equeda muy claro pero no veo ningún ejemplo

[Carlos Ivorra]

Un ejemplo de espacio sucesionalmente compacto que no cumple el primer axioma de numerabilidad es \( [0,\omega_1] \), el conjunto de los ordinales menores o iguales que \( \omega_1 \) con la topología del orden.  No sé si estás familiarizado con los espacios de ordinales. Si es así, te puedo dar más detalles. Si no, sería un poco largo.

[geómetracat]

Supongo que falta algo en la frase:

Tengo entendido que  si cualquier espacio topologico es primero numerable es tambien secuencialmente compacto.

¿Querías decir que si cualquier espacio topológico compacto es primero numerable entonces es también secuencialmente compacto? Porque es claramente falso que cualquier espacio topológico primero numerable sea sucesionalmente compacto (por ejemplo, \[ \Bbb R \] con la topología usual es primero numerable pero no sucesionalmente compacto).

Las implicación contraria es falsa, e igualmente que un espacio sea secuencialmente compacto ni implica que sea primero numerable (el ejemplo de Carlos), ni implica que sea compacto (por ejemplo una variante del ejemplo de Carlos: \[ [0,\omega_1) \] con la topología del orden, que además sí es primero numerable).

[cristianoceli]

Muchas gracias a ambos.

Ahora lo entiendo.

Saludos