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Mensajes - Masacroso

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Hola.

Corrección: originalmente había definido todo utilizando \( r_1 \) y \( r_2 \) en vez de \( r_1^2 \) y \( r_2^2 \), pero eso no nos dejaría el resultado buscado.

¿No? ¿No nos dejaría el resultado correcto? Entonces lo que dije aquí no está bien, ¿verdad?

Yo buscaría un polinomio de tercer grado \[ g(x) =ax^3+bx^2+cx+d \] tal que:

\[ g'(r_1)=g'(r_2)=g(r_2)=0 \]
\[ g(r_1)=1 \].

De cada una de las cuatro condiciones debes sacar una ecuación lineal en \[ a, b, c, d \]. Resuelves el sistema y tomas \[ f(x) =g(|x|)  \].

Lo que pasa es que debo estar espeso porque no veo por qué...

Gracias. Un saludo.

Me refería a mi respuesta original, porque había escrito \( r_k \) en vez de \( r_k^2 \) (para \( k=1,2 \)) habiendo definido \( f(x):=\|x-x_0\|^2 \). Tu propuesta también funciona, claro, la única diferencia es que la función \( g(x):=\|x-x_0\| \) no es diferenciable en \( x_0 \) pero en este caso es irrelevante ya que \( r_1>0 \).

Añadido: bueno,  en el ejercicio no se especifica que \( r_1>0 \) ahora que miro, habría que ver qué pasa cuando \( r_1=0 \), aunque me parece que da igual y funciona también. Soy demasiado vago para hacer cálculo alguno :D

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1) No sé si el \( g(x) \) encontrado es el correcto.

No he hecho los cálculos pero la cosa sería así: hallas un polinomio \( p:\Bbb R\to \mathbb{R} \), de tercer grado vale en este caso es suficiente, que tome máximos relativos en \( r_1^2 \) y \( r_2^2 \), que sea monótono en \( [r_1^2,r_2^2] \) y que \( p(r_1^2)=0 \) y \( p(r_2^2)=1 \). Ahora modificas \( p \) con funciones constantes a los lados de \( r_1^2 \) y \( r_2^2 \), es decir definimos

\( \displaystyle{
q(t):=\begin{cases}
p(t),& t\in[r_1^2,r_2^2]\\
0,& t<r_1^2\\
1,& t>r_2^2
\end{cases}
} \)


Ahora compones \( q \) con la función \( f(x):=\|x-x_0\|^2=\langle x-x_0,x-x_0 \rangle \) la cual es continuamente diferenciable, et voilá!

Citar
2) ¿Por qué tomar \( g(\left |{x}\right |) \) y no \( g(x) \)?

La función \( g \), si es una función real, no puede tomar vectores como argumento, tendrás que componerlo con otra función \( \mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \) para que tenga sentido.

Citar
3) ¿Cómo paso del caso \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) al caso  \( f:\mathbb{R^n}\rightarrow{\mathbb{R}} \)?

Creo que con la descripción de antes te habrá quedado claro. Para ver que la función \( q\circ f \) es válida comprueba que se ajusta a lo pedido.

Corrección: originalmente había definido todo utilizando \( r_1 \) y \( r_2 \) en vez de \( r_1^2 \) y \( r_2^2 \), pero eso no nos dejaría el resultado buscado.

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Probabilidad / Re: Ejercicio variables aleatoridas discretas
« en: 08 Mayo, 2021, 11:00 pm »
Ahi subi la imagen  del ejercicio !!

Eliminé la imagen enlazada ya que edité y puse la pregunta directamente en \( \LaTeX \). Si sobre cualquier fórmula de \( \LaTeX \) pulsas el segundo botón del ratón te saldrá un menú desplegable, donde una de las primeras opciones es mostrar, en otra ventana del explorador, el código en \( \LaTeX \) que ha generado aquello sobre lo que has clickeado.

Sobre el ejercicio: utiliza la definición de esperanza matemática, que para una variable aleatoria discreta cuyo codominio sea \( \mathbb{N} \) es

\( \displaystyle{
\operatorname{E}[X]=\sum_{k=0}^{\infty }k P(X=k)
} \)

Ahora, en base a eso, la varianza viene dada por la fórmula \( \operatorname{Var}[X]=\operatorname{E}[X^2]-(\operatorname{E}[X])^2 \).

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Hola ¿qué tal?

          ¿Me podrían ayudar a encontrar una función para el siguiente ejercicio por favor?

Suponga que \( x_0 \) \( \in{\mathbb{R^n}} \)  y que \( 0\leq{r_1}<r_2 \). Demuestre que hay una función \( C^1 \) \( f: \mathbb{R^n}\rightarrow{\mathbb{R}} \), tal que \(  f(x)=0 \)  para \(  r_2\leq{\left\|{x-x_0}\right\|} \);  \(  0<f(x)<1 \) para  \(  r_1<\left\|{x-x_0}\right\|<r_2 \); y  \( f(x)=1 \) para \(  \left\|{x-x_0}\right\|\leq{r_1} \).  (Ayuda: Aplique un polinomio de tercer grado con \(  g(r_1^2)=1  \)  y   \( g(r_2^2)=g'(r_2^2)=g'(r_1^2)=0 \)  para \( \left\|{{x-x_0}}\right\|^2 \)  cuando \( r_1<\left\|{x-x_0}\right\|<r_2 \)). El enunciado estaba en

inglés, si es necesario lo escribo tal cual.



Muchísimas gracias.


A ver si esta imagen te da una pista más clara que la del ejercicio:



Edición: se me adelantó martiniano.

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Probabilidad / Re: Ejercicio variable aleatoria
« en: 08 Mayo, 2021, 08:37 pm »
Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar fuera del 1% ¿cuál es la probabilidad de que el número
de partes a reprocesar en una muestra sea mayor que su media más 3 desvíos estándar?

No se como sacar el desvio estandar ??

Una muestra son 20 piezas, y nosotros estamos modelando cada pieza como si fuese una variable aleatoria con distribución de Bernoulli con parámetro \( p \), que en el primer ejercicio era \( p=4\% \) y ahora es \( p=1\% \), es decir, si cada \( X_k \) representa una pieza de una muestra de 20 y \( X_k=1 \) cuando hay que reprocesarla y cero en otro caso, entonces \( Y:=X_1+X_2+\ldots +X_{20} \) es la variable aleatoria que representa la cantidad de piezas a reprocesar de una muestra cualquiera, cuya distribución es binomial (cuando las \( X_k \) son independientes) de media \( 20p \) y varianza... eso es lo que tienes que calcular, la varianza \( \sigma ^2 \) de \( Y \), y luego \( \Pr [Y>20p+3\sigma ] \).

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Probabilidad / Re: Ejercicio variable aleatoria
« en: 08 Mayo, 2021, 08:19 pm »
Puedo preguntar otra cosa sobre el mismo problema??
Claro, pregunta.

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Yo juntaría las clases de gimnasia con las de matemáticas, por ejemplo, se pueden ir haciendo cuentas mientras uno corre o juega al voleibol. Mejoras en matemáticas a la velocidad de la luz, para evitar tropezones, caídas o pelotazos en la cara :D

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Probabilidad / Re: Ejercicio variable aleatoria
« en: 08 Mayo, 2021, 06:20 pm »
Entonces deberia usar el modelo binomial para encontrar esa probabilidad? Porque me dio 0,9884 . No se si esta bien usando ese modelo

Sí, hay que asumir que la probabilidad de que una pieza sea defectuosa no influye en que otra lo sea, de ahí tienes un modelo binomial para la probabilidad de que \( k \) piezas de 20 sean defectuosas.

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Probabilidad / Re: Ejercicio variable aleatoria
« en: 08 Mayo, 2021, 05:53 pm »
Es que me confunde mucho cuando me dice sobre un periodo de tiempo ! No se como plantearlo sinceramente

Olvida el tiempo, tienes una muestra de 20 piezas y te piden que digas cuál es la probabilidad de que de esas 20 piezas al menos una pieza sea reprocesada, sabiendo que la probabilidad de reprocesar una pieza es del 4%. Dime si con esto que acabo de escribir te aclaras y consigues resolverlo o no.

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Probabilidad / Re: Ejercicio variable aleatoria
« en: 08 Mayo, 2021, 05:37 pm »
Hola chicos , como va? Queria consultarles sobre este ejercicio :

 De un proceso de producción se toma cada hora una muestra de 20 partes.
Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar es del 4% ¿cuál es la probabilidad de que de una
muestra haya que reprocesar más de una unidad?

No se que modelo de distribucion  usar para este ejercicio !

Gracias

Si del total, sea el que sea y en el periodo de tiempo que sea, se considera que un 4% de lo producido hay que reprocesarlo eso significa que la probabilidad de cada pieza de ser reprocesada es del 4%, ya que es la probabilidad de que esa pieza pertenezca al conjunto de piezas reprocesadas. Con eso creo que ya puedes plantear el problema y resolverlo.

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Los profesores de Matemáticas están en alerta. Temen que como ha sucedido este curso en comunidades como la valenciana, su asignatura se fusione con otras en primero de la ESO y su contenido “se diluya”. Les preocupa que la corriente del trabajo por ámbitos, o mezcla de asignaturas, que ya siguen países punteros en educación como Portugal, derive en una “simplificación de las Matemáticas” que deje fuera del temario la parte más abstracta, esa que solo puede enseñarse a través de un razonamiento puramente matemático y que no se puede correlacionar con otras materias. En plena transformación del modelo pedagógico en España, los matemáticos piden que les dejen reinventarse solos, sin tener que ir de la mano de otras asignaturas.

En la mayoría de los centros valencianos, los equipos directivos ―que tienen libertad para elegir qué materias fusionan―, han decidido que para cumplir el objetivo de reducir el número de asignaturas se den de forma conjunta Matemáticas, Biología y Tecnología. En otros se han mezclado Matemáticas y Biología. Y unos pocos han optado por continuar dando las Matemáticas en solitario (y han de reducir asignaturas con otras medidas). La intención de la Generalitat es que esta fórmula se mantenga: el próximo curso volverá a ser obligatorio que los centros reduzcan el número de asignaturas en primero de la ESO y será voluntario en segundo para aquellos centros que estén interesados

Frente a esta visión, un argumento de peso de los profesores es que las matemáticas constituyen en sí mismas un lenguaje, el de la ciencia, y por eso necesitan su propio espacio. Luis Rodríguez, presidente de la comisión de educación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME), ejemplifica: “Pasa como con la Lengua, que las otras asignaturas necesitan que haya una buena base para construir un discurso, por ejemplo, para expresarse bien en Historia es importante saber qué hay detrás de una frase, su estructura gramatical. Las Matemáticas vehiculan el lenguaje científico, creo que tenemos argumentos suficientes para considerarlas especiales”.


¿Qué os parece?

Fuente: https://elpais.com/educacion/2021-05-04/los-matematicos-se-rebelan-contra-el-plan-de-fusionar-su-asignatura-con-otras.html

Pues no sé qué pensar, la verdad. La educación generalista tiene cada vez más y más problemas, y es por eso: por ser general en vez de adaptada a cada alumno. Con las posibilidades de hoy en día debería ser más y más individualizada, obviamente excepto en las actividades propiamente sociales.

No sé a qué viene el cambio y qué lo justifica.

Añado: el nivel de matemáticas de la ESO no es especialmente duro, me parece básico pero básico, álgebra básico, entender lo que es una función, cosas así. No sé qué van a enseñar si eliminan contenido.

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2) El mero hecho de que una modificación de las soluciones ofertadas, dote de sentido o no a la pregunta, es lo que la convierte en paradójica (o chocante, si no te gusta la palabra paradójica). Es decir realmente no creo que esté en desacuerdo contigo. Es vital para entendendernos saber a que estás llamando algo paradójico, lo que yo defiendo es que este problema, sin entrar en honduras,  tiene el mismo nivel de paradoja que "esta frase es falsa". Si estás de acuerdo en eso, poco queda que discutir.

Bueno, sí, pero eso pasa con cualquier pregunta en la que se oferten respuestas, dependiendo de lo que se oferte tendrá sentido o no lo tendrá. En este caso es más llamativo que de normal porque las respuestas que se ofertan son "del mismo tipo", es decir, probabilidades, unas probabilidades entran en conflicto con el esquema de lo que se pregunta y otras no. El mecanismo es una autorreferencia cruzada, dependiendo de cómo se crucen puede tener sentido o no, no es tan raro después de todo si uno lo visualiza como una serie de engranajes: dependiendo de cómo enganches las piezas los engranajes giran o no.

De todas formas por explorar más tu idea otra pregunta. ¿Y si las respuestas ofertadas fuesen 10% 35% 45% 95%?. ¿Cómo lo ves?.

Saludos.

En este caso la probabilidad de acertar sería nula ya que el evento \( \{\Pr [X=0]=0\} \) es válido.

Aunque eso me hace pensar que debería modificar el modelo que puse en mi anterior respuesta, es decir \( X:\Omega \to \mathbb{R} \) sería la variable aleatoria que muestra el valor de la pregunta elegida al azar. En ese caso \( \Pr [X=r]=0 \) si \( r \) nunca se muestra. Eso hace que al modelo de mi respuesta anterior haya que añadir un montón de eventos nulos, en concreto todos los eventos \( \{\Pr [X=r]=0\} \) para \( r\in \mathbb{R}\setminus \{0,1/4,1/2\} \).

Para completar el modelo tenemos que definir la segunda medida de probabilidad, la que se lleva a cabo en el espacio de probabilidad de los eventos de la forma \( \{\Pr [X=a]=b\} \), y ésta se puede definir como \( \Pr _2[\{\Pr [X=x]=x\}]=x \) cuando \( x\in[0,1] \) y cero en cualquier otro caso. En ese caso la pregunta que da origen al hilo daría lugar a un espacio de medida que no es un espacio de probabilidad ya que tendríamos que \( \Pr _2[\Omega ]=0 \).

En cualquier caso si la pregunta tuviese sentido o no lo tuviese siempre habría un modelo que lo reflejase, por eso digo que las paradojas no existen, es decir, son la ilusión de algo que parece tener sentido pero en verdad no lo tiene.

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No tiene nada que ver, ahí la probabilidad de acertar es cero porque preguntar por la capital de un país es una pregunta con sentido al existir tal capital. Si España no tuviese capital, por ejemplo si no fuese un país, entonces la pregunta anterior no tendría sentido y la respuesta no sería cero. Es el mismo ejemplo del color del número pi que te he puesto antes.

No lo entiendo. En general no entiendo cuando dices que la probabilidad no existe. Estamos hablando de elegir al azar a,b,c ó d (olvídate por un momento del significado de cada opción). Es un experimento aleatorio perfectamente definido.

Qué va, no está bien definido, para nada, ya que se pregunta por la probabilidad de algo que no es un suceso, es decir, que no pertenece a ningún espacio de probabilidad. Por eso no existe respuesta alguna.

Es decir, tenemos que \( \Pr [X=0]=\Pr [X=1/2]=1/4 \) y \( \Pr [X=1/4]=1/2 \) de un primer espacio de probabilidad, y se pide ahora hallar \( \Pr [\{\Pr [X=x]=x\}] \) de un segundo espacio de probabilidad donde \( \Omega =\{\{\Pr [X=0]=1/4\},\{\Pr [X=1/2]=1/4\},\{\Pr [X=1/4]=1/2\}\} \), es decir, el evento sobre el que se pide hallar una probabilidad en verdad no es un evento porque no es ningún subconjunto del espacio de probabilidad.

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Lo discutible en todo caso es si existe el suceso "acertar la respuesta correcta" y es ahí donde entramos en el vértigo de lo chocante desde el punto de vista intuitivo.

Por ejemplo si las opciones fuesen (a) 0%, (b) 25%, (c) 50% y (d) 75%. ¿Estarías de acuerdo con que la opción correcta es la (b)?.

Saludos.

Claro, porque ahí el evento \( \{\Pr [X=x]=x\} \) si formaría parte del espacio de probabilidad.

Aclaro: por \( \{\Pr [X=x]=x\} \) entiendo un único evento de la forma dada para un \( x \) determinado. En el caso de (a) 0%, (b) 25%, (c) 50% y (d) 75% tenemos que \( \{\Pr [X=25\%]=25\%\} \) es el evento buscado.

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Hola

Yo niego rotundamente que exista paradoja alguna, por existir me refiero a que realmente exista como fenómeno más allá de una confusión lingüística, ni en la pregunta que da origen al hilo ni en la frase que acabas de poner. Para que haya paradoja debe haber sentido, y en, por ejemplo "esta frase es falsa" no existe el sentido ya que una frase no puede ser falsa ni verdadera, en todo caso podríamos calificar de verdadero o falso su significado, pero primero hay que dotarle de tal significado. Una vez dado significado entonces ya podemos empezar a discutir cosas sobre él, pero no antes.

La cosa es que no hay una definición 100% objetiva de que es una paradoja. La mayor parte de las paradojas famosas, simplemente se "resuelven" o dejan de ser paradojas (dejan de ser chocantes desde el punto de vista lógico) si establecemos de manera clara o reformulamos "las reglas del juego".

Si para ti "esta frase es falsa", que es en esencia la Paradoja de Rusell, no es una paradoja. Simplemente pues le llamas paradoja a otra cosa. ¿A qué?.

No, hablamos de lo mismo, pero he dicho que las paradojas no existen más allá de ser una confusión lingüística, que su dimensión es esa, no otra.

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En el caso de la pregunta que da enunciado al tema estamos en las mismas: la probabilidad no existe ya que por lo que se pregunta no es algo posible, es decir, no es un suceso y por tanto no se le puede adjudicar probabilidad alguna, ni siquiera cero. Es decir: al no haber respuesta correcta posible no tiene sentido preguntar por la probabilidad de acertar.

Cuál es la capital de España: (a) Bélgica (b) Paris (c) Londres. Probabilidad de acertar si se elige una de las tres: cero. ¿No tiene sentido eso? No veo porqué (no sé si te refieres a un problema técnico de que no haya ningún suceso con probabilidad no nula  :D).

No tiene nada que ver, ahí la probabilidad de acertar es cero porque preguntar por la capital de un país es una pregunta con sentido al existir tal capital. Si España no tuviese capital, por ejemplo si no fuese un país, entonces la pregunta anterior no tendría sentido y la respuesta no sería cero. Es el mismo ejemplo del color del número pi que te he puesto antes.

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En esencia es una paradoja como la típica de: "Esta frase es falsa" (si es verdadera... es falsa; pero si es falsa.. es verdadera... y lío círcular...). También puede ser que le llames "recreaciones matemáticas o juego" a lo que normalmente se les llama paradojas   :D

Saludos.

Yo niego rotundamente que exista paradoja alguna, por existir me refiero a que realmente exista como fenómeno más allá de una confusión lingüística, ni en la pregunta que da origen al hilo ni en la frase que acabas de poner. Para que haya paradoja debe haber sentido, y en, por ejemplo "esta frase es falsa" no existe el sentido ya que una frase no puede ser falsa ni verdadera, en todo caso podríamos calificar de verdadero o falso su significado, pero primero hay que dotarle de tal significado. Una vez dado significado entonces ya podemos empezar a discutir cosas sobre él, pero no antes.

En el caso de la pregunta que da enunciado al tema estamos en las mismas: la probabilidad no existe ya que por lo que se pregunta no es algo posible, es decir, no es un suceso y por tanto no se le puede adjudicar probabilidad alguna, ni siquiera cero. Es decir: al no haber respuesta correcta posible no tiene sentido preguntar por la probabilidad de acertar. Para aclararlo: la pregunta que da inicio al tema es equivalente a preguntar cuál es la probabilidad de que el número pi sea verde. Lo que pasa es que la pregunta de inicio del tema está hecha de tal manera que su sinsentido no sea tan evidente sino más bien que parezca que tiene sentido.

Resumiendo: si uno se encuentra una paradoja entonces puede empezar a dar saltos de alegría porque son justamente las paradojas y contradicciones aquello que hace avanzar el conocimiento. Precisamente en un vídeo de Javier Santaolalla éste explicaba cómo había cierta ilusión por los resultados de un experimento reciente, precisamente porque contradecía el modelo estándar y, por tanto, tenía la facultad de hacer avanzar nuestro conocimiento sobre el universo.

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osea que en este caso seria mi funcion en mi caso base  f(n) +(n+1)...=n.(n+1) ?

No logre mucho interpretarlo asi



No entiendo qué quieres decir. Arriba en mi primera respuesta \( f \) es una función recursiva que calcula los factoriales empezando por el valor de \( 0!=1 \).

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Hola chicos queria saber como definir recursivamente para n!

Muchas Gracias

Por ejemplo definiendo \( f(n+1):=(n+1)\cdot f(n) \) y \( f(0)=1 \).

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Teoría de números / Re: Divisibilidad
« en: 05 Mayo, 2021, 09:43 pm »
. Sean a y b enteros no nulos. Probar que a divide a b+3a si y sólo si a divide a b.

Bien en este ejercicio podemos decir:  \( a \mid (b+3a) \iff a\mid b \)

como puedo seguir para probar eso?  AYUDA POR FAVOR! :o :banghead:

Desde la administración te escribimos la expresión en Latex




Tienes que probar primero que \( a\mid (b+3a)\implies a\mid b \) y después que \( a\mid b\implies a\mid (b+3a) \). La segunda es inmediata, la que tiene más complicación es la primera. Para probar la primera podemos utilizar el contrarrecíproco, es decir que

\( \displaystyle{
(a\mid (b+3a)\implies a\mid b)\iff (a\nmid b \implies a\nmid (b+3a))
} \)

que significa que si probamos cualquiera de las cosas a los lados del símbolo \( \iff \) entonces la otra también es verdadera. Eso es debido a que la tabla de verdad de la implicación \( A\implies B \) es la misma que la de \( \lnot B\implies \lnot A \).

Entonces volviendo al ejercicio, si demostramos que si \( a \) no divide a \( b \) entonces tampoco puede dividir a \( b+3a \) ya hemos terminado. Te lo dejo así planteado a ver si ya con eso puedes resolverlo, inténtalo y comenta a ver cómo te ha ido.

Añado: bueno, pensándolo mejor quizá sea más sencillo demostrar \( a\mid (b+3a)\implies a\mid b \) que el contrarrecíproco. Igualmente ahora tienes dos vías para poder hacer la demostración, una demostración directa o una demostración a través del contrarrecíproco.

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Sí, yo lo veo bien. Supongo que no lo has visto nunca porque en los desarrollos usuales de la geometría diferencial no se suelen usar multivectores (elementos de \[ \bigwedge^k TM \]).

Me alegro que tenga tu visto bueno, porque esta forma de interpretar que he descubierto hoy de casualidad me parece, de lejísimos, la forma más intuitiva de entender la integración de formas diferenciales que conozco hasta la fecha, o de entender las formas diferenciales en sí mismas, ya que la noción de multivector como una forma abstracta de volumen me parece bastante intuitiva de por sí.

Es como trasladar la abstracción de las formas diferenciales (y en cierto sentido "eliminar" esa abstracción al verlos como funcionales) a una abstracción de multivectores en el espacio tangente, que es una idea geométrica cercana al álgebra de Clifford y, al menos para mí, muy intuitiva. Igualmente voy a intentar pulir esa idea intentando ver, formalmente, la integral como una suma de escalares con esa forma.

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Leyendo un libro sobre álgebra exterior y otros tipos de álgebras "similares" vi unos pasajes que me dieron algunas ideas, y es que si tenemos un espacio vectorial \( V \) de dimensión \( n \) entonces si \( \omega \in \bigwedge^k V^* \) entonces esta forma multilineal antisimétrica induce un funcional lineal en \( \bigwedge^k V \), es decir que \( \omega(x_1,\ldots ,x_k) \) puede entenderse como un funcional lineal \( \omega(x_1\wedge x_2\wedge \ldots \wedge x_k) \).

Entonces si tenemos una carta \( (\varphi ,U) \) en una variedad diferencial \( M \) de dimensión \( n \), una forma de entender la integral de una forma diferencial es como una "función de densidad" que a cada vector-volumen \( x\in \bigwedge^n TM \) le asigna un valor escalar. Entonces al ser \( \partial \varphi_1,\ldots ,\partial \varphi _n  \) un frame local en \( TM \) la integral \( \int_U \omega=\int_{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^*\omega   \) puede entenderse como la "suma" de los valores \( \omega(\partial \varphi_1\wedge \partial \varphi _2\wedge  \ldots \wedge \partial \varphi _n) \), lo cual es muy intuitivo siempre que entendamos \( \partial \varphi_1\wedge \partial \varphi _2\wedge  \ldots \wedge \partial \varphi _n \) como una noción de vector-volumen en \( \bigwedge^n TM \).

¿Os parece esta forma de entender la integración de formas diferenciales suficientemente correcta? Lo pregunto porque no lo he visto en ninguna parte.

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