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Mensajes - cristianoceli

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1
Muchas gracias a ambos.

Saludos

2
Hola

a) Muestre que \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{f_n(x_n)=f(x)} \) para toda sucesión \( x_n \) de puntos en \( M \) tal que \( x_n \longrightarrow{x} \) en \( M \)

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Lo que he hecho:

a) \( |f_n(x_n) - f(x)|
= |\left( f_n(x_n)-f(x_n) \right) + \left( f(x_n) - f(x) \right)|
\leq |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n) - f(x)| \)

No puedes usar valor absoluto. Tienes que usar la distancia \( d \). Por la convergencia uniforme, dado \( \epsilon>0 \) existe un \( n_0 \) tal que:

si \( n\neq n_0 \) entonces \( d(f_n(y),f(y))<\epsilon \) para cualquier \( y\in M \)

Además el límite uniforme de funciones continuas es continua. Por tanto secuencialmente continua: \( f(x_n)\to f(x) \) y asi existe un \( n_1 \) tal que:

 si \( n\geq n_1 \) entonces  \( d(f(x_n),f(x))<\epsilon \)

Ahora si \( n\geq max(n_0,n_1): \)

\( d(f_n(x_n),f(x))\leq d(f_n(x_n),f(x_n))+d(f(x_n),f(x))<\epsilon+\epsilon \)

Saludos.

Vale entiendo muchas gracias.

Saludos

3
Hola tengo dificultades con este ejercicio

 Sea \( Q \) el grupo cuaternionico y \( V_4 \) \( el \; Klein \; 4 \), (esto es \( V_4 \cong Z_2 \times Z_2 \) )

Pruebe que  \( Q/Z(Q) \cong V_4 \) , donde \( Z(Q) \) es el centro de \( Q \)

No se me ocurre como atacarlo.

Saludos



4
Muchas gracias la parte a como la puedo complementar no se me ocurre como seguir.


Saludos

5
Estructuras algebraicas / Re: Homomorfismo de grupo
« en: 04 Mayo, 2021, 06:03 am »
Muy claro gracias a ambos.

Saludos

6
Estructuras algebraicas / Homomorfismo de grupo
« en: 03 Mayo, 2021, 02:12 am »
Hola necesito una pista para la siguiente demostración

Sea \( N \) un subgrupo normal del grupo \( G \) y \( f : G \longrightarrow{} H \) un homomorfismo de grupos tal que la restricción de \( f  \)a \( N \) es un isomorfismo \( N \cong H \). Muestre que \( G \cong N \times  K \) donde \( K \) es el núcleo de \( f \)

De antemano gracias

Saludos

7
Hola tengo dificultades con este ejercicio

Sea \( f_n  \)  una sucesión de funciones continuas en un espacio métrico \( (M, d) \) que converge uniformemente a una función \( f \)

a) Muestre que \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{f_n(x_n)=f(x)} \) para toda sucesión \( x_n \) de puntos en \( M \) tal que \( x_n \longrightarrow{x} \) en \( M \)

b) Muestre un ejemplo de una sucesión \( \{ f_n \} \) de funciones continuas en \( [0, 1]  \)que converge puntualmente a una función continua \( f \) y una sucesión de puntos \( \{ x_n \} \) en \( [0, 1] \) que converge a algún punto \( x_0 \in [0, 1] \) de modo que \( f_n(x_n) \) no converja a \( f(x_0) \)

Lo que he hecho:

a) \( |f_n(x_n) - f(x)|
= |\left( f_n(x_n)-f(x_n) \right) + \left( f(x_n) - f(x) \right)|
\leq |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n) - f(x)| \)

b) No se me ocurre ningún ejemplo

De antemano gracias
Saludos

8
Geometría y Topología / Re: Probar que es de Hausdorff
« en: 03 Mayo, 2021, 01:48 am »
Estuve tratando de hacerlo por la idea que me diste:

No se si la formalidad sea la correcta:

Sean: \( x \in X, y \in X \smallsetminus \{x\} \),  \( a = f(y) \).  Observe que \( a \neq 0 \) ya que \( y \not\in f_x^{-1}(0) \). 

- Si \( a < 0 \),

$$  a - |a|/3 < a + |a|/3 < -|a|/3 < |a|/3  \text{,}  $$

- Si \( a > 0 \),

$$  -|a|/3 < |a|/3 < a - |a|/3 < a + |a|/3  \text{.}  $$

Así \( I' = (-|a|/3 , |a|/3) \) y \( J' = (a - |a|/3, a + |a|/3) \) son abiertos disjuntos en \( \Bbb{R} \).  Sea \( I = f_x^{-1}(I') \) y \( J = f_x^{-1}(J'). \)

¿Como se te ocurrio tomar \( f_x^{-1}((a-|a|/3,a+|a|/3)) \) , y \( f_x^{-1}((-|a|/3,|a|/3)) \) ?

Saludos

9


No solo eso, si quieres usar la definición topológica de continuidad lo que tienes que probar es que de todo recubrimiento por abiertos (suspones que existe un tal recubrimiento) puede extraerse un subrecubrimiento finito.

Intentaré hacerlo como tu dices si me surgen dudas preguntaré.

Saludos

10
Análisis Matemático / Re: Demostrar que T es continua
« en: 02 Mayo, 2021, 09:48 pm »
Hola estaba estudiando análisis y quede pegado con este ejercicio

Sea \( T:C[0,1] \rightarrow{\mathbb{C}} \) definida por \( T(f)=f(0), f \in C[0,1] \). Muestre que \( T \) es continua

Se que básicamente va a existir un \( c \in  [0,1] \) tal que \( f(c)=0 \)

¿Qué métrica estás usando en \( C[0,1] \)?. Para la continuidad en un punto (función) \( f_0\in C[0,1] \) tienes que probar que dado \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que:

\( \|f-f_0\|<\delta \quad \Rightarrow{}\quad |T(f)-T(f_0)|\epsilon \) (es decir \( |f(0)-f_0(0)|<\epsilon \))

Si en \( C[0,1] \) estás considerando por ejemplo la métrica del supremo:

\( \|f-g\|_\infty=\displaystyle\sup_{[0,1]}\{f(x)-g(x)\} \)

basta que tomes \( \delta=\epsilon \).

Saludos.

Lo voy a intentar.
Saludos

11
Análisis Matemático / Demostrar que un conjunto es compacto
« en: 02 Mayo, 2021, 08:10 pm »
Hola tengo dificultades en demostrar el siguiente ejercicio:

Muestre que el conjunto \( A:= \{ x=(x_n)_n \in l^2 : \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{n^2{x^2}_n \leq{1}} \} \) es compacto en \( l^2 \)

Básicamente tengo que probar que el conjunto esta contenido en la unión de intervalos abiertos pero no se me ocurre como probare esto ultimo

Saludos


12
Análisis Matemático / Demostrar que T es continua
« en: 02 Mayo, 2021, 07:57 pm »
Hola estaba estudiando análisis y quede pegado con este ejercicio

Sea \( T:C[0,1] \rightarrow{\mathbb{C}} \) definida por \( T(f)=f(0), f \in C[0,1] \). Muestre que \( T \) es continua

Se que básicamente va a existir un \( c \in  [0,1] \) tal que \( f(c)=0 \)

DE antemano gracias

Saludos

13
Posiblemente entiendas mejor la siguiente demostración. Si tienes alguna duda, pregunta.


Teorema. Todo espacio metrizable es normal.
 
Demostración. Sea \( X \) metrizable con distancia \( d. \) Sean \( A,B \) subconjuntos cerrados disjuntos de \( X. \)
Para cada \( a\in A \) elijamos una bola \( B(a,\epsilon_a) \) tal que \( B(a,\epsilon_a)\cap B=\emptyset. \) Esta bola existe pues \( X-B \)
es abierto. De la misma manera para cada \( b\in B \) elijamos una bola \( B(b,\epsilon_b) \) tal que \( B(b,\epsilon_b)\cap A=\emptyset. \)
Denotemos

        \( \displaystyle G=\bigcup_{a\in A}B(a,\epsilon_a/2),\quad H=\bigcup_{b\in B}B(b,\epsilon_b/2). \)

Los conjuntos \( G \) y \( H \) son abiertos tales que \( A\subset G \) y \( B\subset H. \) Veamos que \( G\cap H=\emptyset \) lo cual demostrará
que \( X \) es normal. En efecto, si existiera \( c\in G\cap H \) entonces

        \( c\in B(a,\epsilon_a/2)\cap B(b,\epsilon_b/2) \)

para algún \( a\in A \) y algún \( b\in B. \) Usando la desigualdad triangular,

        \( d(a,b)\le d(a,c)+d(c,b) < \dfrac{\epsilon_a+\epsilon_b}{2}. \)

Si \( \epsilon_a\le \epsilon_b \) entonces \( d(a,b) < \epsilon_b. \) Si ocurriera esto, \( a\in B(b,\epsilon_b). \) Si \( \epsilon_b\le \epsilon_a \) entonces \( d(a,b) < \epsilon_a \) con lo cual
\( b\in B(a,\epsilon_a). \) Ninguna de las dos situaciones anteriores es posible pues \( B(a,\epsilon_a)\cap B=\emptyset \) y \( B(b,\epsilon_b)\cap A=\emptyset \).

Sí muchas gracias logré comprenderlo.

Saludos

14
Geometría y Topología / Re: Determinar la clausura
« en: 01 Mayo, 2021, 09:47 pm »
Bien con eso me basta gracias Luis Fuentes.


Saludos

15
Si lo propusieron. Intentaré entenderlo.


Saludos

16
Sea \( (X,d) \) un espacio metrico y \( F,G \) dos cerrados disjuntos de \( X \). Pruebe que hay dos abiertos  \( U,V  \) tal que  \( F\subset{U} , G \subset{V} \) y \( U\cap{V} = \emptyset \)

Básicamente se ocurre los complemento de \( F, G \) serán abiertos pero no se como demostrar lo que me piden

De antemano gracias

17
Geometría y Topología / Re: Probar que es conexo
« en: 28 Abril, 2021, 12:27 am »
Si \[ n=1 \], \[ (-\infty, P) \] y \[ (P,\infty) \] forman una partición de \[ X \] por conjuntos abiertos, luego \[ X \] no es conexo.

Para \[ n>1 \] puedes probar que es conexo por caminos. Dados \[ x,y \in X \], hay que ver que se puedeb unir por un camino. Si \[ P \] no está en el segmento de recta que une \[ x \] con \[ y \] ya estamos. En caso contrario toma \[ z \] un punto no colineal con \[ x,y \] y considera el camino formado por el segmento de recta que une \[ x \] con \[ z \] seguido del que une \[ z \] con \[ y \].

Vale entiendo muy claro.

Saludos

18
Geometría y Topología / Re: Probar que es de Hausdorff
« en: 27 Abril, 2021, 11:58 pm »
Hola

Hola tengo problemas en demostrar este ejercicio

Sea \( X \) un espacio topológico tal que  para cada \( x \in{X} \) existe una función continua:

$$f_x : X \longrightarrow{\mathbb{R}}$$

Tal que \( f_x(0)^{-1} = \{ x \}  \). Probar que \( X \) es \( Hausdorff \)

Tengo entendido que es de Hausdorff si dos puntos cualquiera admiten vecindades disjuntas.

Dado \( y\neq x \), si \( f_x(y)=a \) comprueba que \( f_x^{-1}((a-|a|/3,a+|a|/3)) \) y\(  f_x^{-1}((-|a|/3,|a|/3)) \) son abiertos disjuntos que separan \( x \) e \( y \).

Saludos.

Entiendo lo que hay que comprobar pero por que tomar esos puntos.

EDITO YA ME DI CUENTA

Saludos

19
Geometría y Topología / Probar que es conexo
« en: 27 Abril, 2021, 11:31 pm »
Hola no me sale esta demostración

Sea \( p \in {\mathbb{R}}^n, n \geq{1} \) . \( Probar \; que \; X= {\mathbb{R}}^n - \{P \} \) es conexo si y solo si \( n \neq 1 \)

Tengo entendido que no existe una partición ya que es conexo
De antemano gracias



20
Geometría y Topología / Determinar la clausura
« en: 27 Abril, 2021, 11:22 pm »
Hola como puedo determinar la clausura en este ejercicio:

Sea \( X= \prod_{1}^\infty  \mathbb{R} \) y \( Y=\prod_{I=1}^\infty A_I \neq 0 \) solo para cantidad finita de \( i \} \) Determine \( \overline{Y} \)

Saludos

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