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Mensajes - Juan Pablo Sancho

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Si ese es el camino.

\( \displaystyle \sum_{i=1}^{2^{n+1}} \dfrac{1}{2 \cdot i -1} = \sum_{i=1}^{2^{n+1}} \dfrac{1}{2 \cdot i -1} = \sum_{i=1}^{2^n} \dfrac{1}{2i-1} + \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{2i-1} > \dfrac{n+3}{4} + \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{2i-1}  \) tienes que probar que \(  \displaystyle \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{2i-1} > \dfrac{1}{4}  \)
Spoiler
\(  \displaystyle \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{2i-1} > \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{2i} = \dfrac{1}{2} \cdot \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{i} > \dfrac{1}{2} \cdot \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{2^n}    \)
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Álgebra / Re: Probar que mcd(x,y)=mcd(x,y +nx)
« en: 09 Mayo, 2021, 04:29 am »
Para cuestiones nuevas debes poner hilos nuevos.
Sea \( d = mcd(x,y,z)  \) y \( k = mcd(x,mcd(y,z))  \)
Como \( d|y  \) y \( d | z  \) entonces \( d|mcd(y,z)  \) en consecuencia \( d | k  \)

Como \( k|  mcd(y,z) \) tenemos que \( k|y  \) y \( k|z \) entonces \( k|d \).

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Álgebra / Re: Demostración de producto de mcm con mcd
« en: 09 Mayo, 2021, 12:51 am »
Si \( d = mcd(x,y)  \) entonces \( x'= \dfrac{x}{d}  \) y \( y' = \dfrac{y}{d}  \) queda \( mcd(x',y') = 1 \).

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Álgebra / Re: Demostración de producto de mcm con mcd
« en: 09 Mayo, 2021, 12:20 am »
Si \( mcd(x,y) = d  \) tenemos que :
\( |x \cdot y | = (|x'| \cdot d) \cdot (|y'| \cdot d) = (|x'| \cdot |y'| \cdot d) \cdot d = (|x'| \cdot |y'| \cdot d) \cdot mcd(x,y)  \).

Tienes que \(  (|x'| \cdot |y'| \cdot d)  \) es un múltiplo de \( x \) y de \( y \) sea ahora \( m \) otro múltiplo de \( x \) y de \(  y  \)
\( m = x \cdot t  = (x' \cdot d) \cdot t  \) y \( m = y \cdot u  = (y' \cdot d) \cdot u  \)
Como \( mcd(x',y') = 1  \) tenemos que \( y'|t  \) y \( x'|u  \) en el primer caso por ejemplo:
\( m = (x' \cdot d) \cdot t = (x' \cdot d) \cdot (y' \cdot t')  \) entonces \(  (|x'| \cdot |y'| \cdot d) | m  \)   

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Álgebra / Re: Probar que mcd(x,y)=mcd(x,y +nx)
« en: 09 Mayo, 2021, 12:08 am »
Sea \( d = mcd(x,y)  \) y sea \( k = mcd(x , y + n \cdot x)  \)
Si un número \( p \) divide a \(  u  \) y divide a \( t \) entonces divide a cualquier combinación de esos dos por ejemplo\( p|l \cdot \color{red} t \color{black} + q \cdot u  \) nos queda:
\( d | x  \) y \(  d | y  \) obtenemos \(  d | 1 \cdot y + n \cdot x  \) entonces \( d|k \)

También tenemos que \( k|x \) y \( k|y + n \cdot x  \) entonces \( k| 1 \cdot (y+n \cdot x) + (-n) \cdot x = y \)  obtenemos \(  k | d  \) 

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Esto es falso:
\( f'(x) = \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}  \) debería ser \( \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}  \)

Debes usar que si es \( f \) par en un dominio que garantiza lo pedido:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \displaystyle  \lim_{h \to 0} \dfrac{f(-x-h)-f(-x)}{h} =   \displaystyle  \lim_{h \to 0} -\dfrac{f(-x-h)-f(-x)}{-h}  = -f'(-x)  \) 

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Para ver donde no es derivable puedes hacer:
Si \( f \) es derivable en un punto \( a \) entonces es continua en ese punto, nos quedaría que:
\( a^2 = 6 \cdot (a-3) + 9  \) por continuidad , que es lo mismo que \( a^2 = 6 \cdot a -9  \) tenemos que:
\( 0 = a^2 - 6 \cdot a + 9 = (a-3)^2  \) entonces \( a=0 \) haces el contrarreciproco y te queda que si \( a \neq 0 \) entonces no es continua en \( a \).

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Toma:
\(  f_n(x) = \begin{cases} n \cdot x & \text{si} & x \in [0,\dfrac{1}{n}]\\-n \cdot x + 2 & \text{si} & x \in ]\dfrac{1}{n},\dfrac{2}{n}]\\0 & \text{si} & x \in ]\dfrac{2}{n},1] \end{cases}  \) , definida para \( n \geq 3 \)
Toma la sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty} \) definida por \( x_n = \dfrac{1}{n}  \)

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Cálculo 1 variable / Re: Límite Exponencial
« en: 30 Abril, 2021, 09:18 pm »
Si \( f(x) \neq 1 \) puedes poner \( f(x) = 1 + (f(x)-1) = 1+u(x) \) con \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} u(x) = 0  \)

Entonces:
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\log(f(x))}{f(x)-1} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\log(1+u(x))}{u(x)} = \lim_{x \to +\infty} \log(1+u(x))^{\frac{1}{u(x)}} = \log(e) = 1  \)

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Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Ecuación exponencial
« en: 20 Abril, 2021, 02:10 am »
Tienes que:
\( f(x) = 3^{x-3}  \) es estrictamente creciente.
\( g(x) = 5^{x-3} \) es estrictamente creciente.
Entonces \( h(x) = f(x) + g(x)  \)...

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Tienes:

\( \displaystyle \sum_{s = (n+1)+1}^{2n+2} s \cdot 2^{s-(n+1)} = \sum_{s = n+2}^{2n+2} s \cdot 2^{s-(n+1)} =  -(n+1) \cdot 2^{(n+1)-(n+1)} + \sum_{s = n+1}^{2n+2} s \cdot 2^{s-(n+1)} =  \)
\( \displaystyle =  -(n+1) \cdot 2^{s-(n+1)} + \dfrac{1}{2} \cdot \sum_{s = n+1}^{2n} s \cdot 2^{s-n} + (2n+1) \cdot 2^{2n+1 -(n+1)} + (2n+2) \cdot 2^{2n+2-(n+1)} =  \)

\( \displaystyle = -(n+1)  + \dfrac{1}{2} \cdot \sum_{s = n+1}^{2n} s \cdot 2^{s-n} + (2n+1) \cdot 2^{2n+1 -(n+1)} + (2n+2) \cdot 2^{2n+2-(n+1)} = -(n+1) + \dfrac{1}{2} \cdot (2^{n+1} \cdot (2n-1) -2n-2) + (2n+1) \cdot 2^n + (2n+2) \cdot 2^{n+1} =  \)

\(  = \displaystyle -(n+1) + 2^n \cdot (2n-1) -n-1  + (2n+1) \cdot 2^n + (n+1) \cdot 2^{n+2} = -(n+1) + (-n+1) + 2^n \cdot ((2n-1) + (2n+1)) + (n+1) \cdot 2^{n+2} =  \)
\( \displaystyle = -2n + 2^n \cdot (4n) + (n+1) \cdot 2^{n+2} = -2n + 2^{n+2} \cdot n + (n+1) \cdot 2^{n+2} = 2^{n+2} \cdot (2n+1) - 2n = 2^{n+2} \cdot ( 2 \cdot (n+1) -1) - 2(n+1) +2 \)

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Puedes usar :
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116334.msg464969#msg464969

Será \( \displaystyle \lim_{x \to c} f(x)  \) o \( \displaystyle \lim_{c \to x} f(c)  \) supongo.
Es que la definición de límite es más fina y se debe usar lo que te dice Fernando:

Si \( F:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R} \) con \( a \) punto de acumulación de \( A \), \( \displaystyle\lim_{x \to a\; x\in A}{F(x)}=L \) y \( B\subset A \) con \( a \) punto de acumulación de \( B \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to a\; x\in B}{F(x)}=L \).

Entonces, al ser \(  \mathbb Q\subset \mathbb{R} \), \(  (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\subset \mathbb{R} \) y \( a=3 \) punto de acumulación tanto de \( \mathbb{Q} \) como de \( \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \), concluimos que \( f^\prime (3)=6. \)



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Con sucesiones:
Sea \( \{a_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) una sucesión tal que todos sus elementos cumplen:
1.) \( a_n \) es irracional para todo natural.
2.)\( a_n \neq 3 \) para todo natural
3.)\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = 3  \).

Sea \( \{b_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) una sucesión tal que todos sus elementos cumplen:
1.) \( b_n \) es racional para todo natural.
2.)\( b_n \neq 3 \) para todo natural
3.)\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} b_n = 3  \).


\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{f(a_n) - f(3)}{a_n-3}  =\lim_{n \to +\infty} \dfrac{6\cdot(a_n-3) + 9 - 9}{a_n-3} = 6  \)

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{f(b_n)-f(3)}{b_n-3} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{b_n^2 -9}{b_n-3} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{(b_n -3) \cdot (b_n +3)}{b_n-3} = \lim_{n \to +\infty}  b_n + 3 = 6 \)


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Te queda:
\( \displaystyle |\int_n^m \dfrac{\cos(t)}{t^2} \ dt | \leq  \int_n^m \dfrac{|\cos(t)|}{t^2} \ dt \leq \int_n^m \dfrac{1}{t^2} \ dt = \dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{m} < \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{n}  \)

Dado \( \epsilon > 0  \) existe \( n_0 \in \mathbb{N}  \) tal que \( \dfrac{1}{n_0} < \dfrac{\epsilon}{2}  \) y continuar.

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Análisis Matemático / Re: Ejercicio serie de funciones
« en: 09 Abril, 2021, 05:40 pm »
Esto deberías preguntarlo en el hilo de la serie, pero con lo que puso Luis está demostrado que no converge uniformemente.
Toma \( x_n = 1-\dfrac{1}{n}  \)  y analiza \( f_n(x_n) \)

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Análisis Matemático / Re: Ejercicio serie de potencias
« en: 08 Abril, 2021, 09:01 pm »
Quieres ver la divergencia de:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{\log(n+2)}  \)
Con lo que te he puesto:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^m \dfrac{1}{n+2} < \sum_{n=1}^m \dfrac{1}{\log(n+2)}  \)

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Análisis Matemático / Re: Ejercicio serie de potencias
« en: 08 Abril, 2021, 08:56 pm »
\( \log(n+2) < n+2  \) entonces \( \dfrac{1}{n+2} < \dfrac{1}{\log(n+2)}  \)

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Triángulos / Re: Semejanza de triangulos 10
« en: 08 Abril, 2021, 06:21 pm »
El ángulo agudo E es igual al ángulo C y los dos tienes un ángulo recto.

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Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Proposiciones logicas 3
« en: 05 Abril, 2021, 11:29 am »
Entonces rectifico si es como dices y disculpa.
Saludos.

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Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Proposiciones logicas 3
« en: 03 Abril, 2021, 01:14 pm »
Hola, tengo la siguiente duda:

Si hoy está soleado, entonces yo soy el presidente de Bolivia.

Seria una proposición? con valor de verdad falso?

El valor de verdad es a convenir; estas cosas creo que se entienden así.

Además, en este caso, ocurre que puede estar soleado y que el presidente de Boliva se haya apuntado a un curso de lógica en el que, en una prueba de evaluación, aparezca la pregunta. Ocurriría entonces que si el valor de verdad dependiera de la realidad, él tendría que contestar verdadero y los demás falso; y eso no puede ser, la respuesta correcta es la que es, la misma para todos los alumnos, independientemente de su profesión, fama o lo que sea.

Saludos.

Pero depende de las premisas y la conclusión, si sale soleado, ser el presidente de Bolivia es un factor importante aquí.

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