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Mensajes - Nineliv

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De oposición y olimpíadas / Re: Ecuación simétrica: x^y=y^x
« en: 24 Abril, 2008, 08:06 am »
Para hallar una expresión paramétrica de x e y, hago lo que sigue:

Spoiler
Antes de nada, puedo suponer que \( y\geq x \) y que \( x\geq 3 \) (para los negativos es análogo). En la ecuación, divido por \( x^x \) y eso lleva a que
\( x^{y-x}=\Big(\dfrac{y}{x}\Big)^x  \)        (*)
y como el lado izquierdo es entero, el derecho también. Por lo tanto, y es múltiplo de x, i. e. \( y=ax \).
Sustituyendo, en la ecuación (*)obtenemos \( x^{(a-1)x} = a^{x} \) y haciendo la raíz x-ésima obtenemos la expresión para x.

Ahora se trata de ver que \( f(a)=a^{\frac{1}{a-1}} \) es una función decreciente (como mínimo desde a>2) y que está acotada inferiormente por 1. Puesto que f(2)=2, esto impide que tome otro valor entero.

Para probar que es decreciente, estudio la función \( \log f(a) \) y para la acotación, basta comprobar que \( \lim_{x\to \infty}f(a) = 1 \)
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Saludos

2
De oposición y olimpíadas / Re: Ecuación simétrica: x^y=y^x
« en: 23 Abril, 2008, 08:00 am »
Me parece correcta y muy clara.

Mi solución era un poco más engorrosa pero conseguía una expresión paramétrica de las soluciones. Ahora no me da tiempo de escribirlo todo. Lo pongo en el spoiler

Spoiler
\( x=a^{\frac{1}{a-1}};\quad y=a^{\frac{a}{a-1}} \)  con \( a\in (0,+\infty)\setminus \{1\} \)
Si \( a=1 \) los límites laterales valen e y llegamos a la solución x=y=e
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y esta tarde/noche trato de escribirla.
Saludos.

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De oposición y olimpíadas / Ecuación simétrica: x^y=y^x
« en: 22 Abril, 2008, 11:20 pm »
Hola.

Hace tiempo que no pasaba por los foros, con lo cual tengo millones de mensajes sin leer. Hice varias búsquedas entre los hilos y no encontré el siguiente problema que voy a poner. Como es más o menos conocido me imaginaba que muy posiblemente alguien lo habría publicado aquí ya; espero haber buscado bien y que no esté repitiéndolo. Al tema:

Demostrar que \( x^y=y^x \), planteada en los enteros, sólo tiene las soluciones triviales: \( x=y \) y \( (x,y)\in \big\{(2,4),(4,2),(-2,-4),(-4,-2)\big\} \)

Saludos

4
Organiza mejor la información.

Un número (x).... es el triple de otro (y), por lo tanto, x=3y. Y la diferencia de ambos (de x y de y) es 26. [...]

Con eso ya tienes las dos ecuaciones.

Saludos.

5
Gracias por tu corrección, el manco. Ya lo puse en el mensaje original.

6
Hola.

Estas pautas las escribí hace ya tiempo y las tenía por ahí, en un documento.

En general, si tenemos el operador T que va desde el espacio normado \( (A,\|\!\cdot\!\|_A) \) al normado \( (B,\|\!\cdot\!\|_B) \), los pasos a seguir para calcular la norma son:

1. Asegurarse de que T es lineal.
2. Tomando un \( x\in A \) arbitrario, conseguir una acotación del tipo \( \|T x\|_B \leq M \|x\|_A,\, \forall \,x\in A \). Esto prueba ya que T es continuo. Se tendrá \( \|T\| \leq M \) pues la norma de T es el ínfimo de dichas cotas.
3. Encontrar un \( y\in A \) con \( \|y\|_A=1 \) de manera que \( \|T y\|_B = M \). Si esto no es posible, encontrar una sucesión \( (y_n)_{n\in \mathbb{N}} \subseteq A \) con \( \|y_n\|_A \leq 1 \) de manera que \( \lim_{n\to \infty}\|Ty_n\|_B = M \). Así se tendrá \( \|T\|\geq M \) porque \( \|T\| = \sup_{\|x\|=1}\|Tx\|_B. \)
4. Concluir que \( \|T\|=M \).

Veamos.

1. Se supone, de la definición, que T se extiende por linealidad, luego hecho.

2. Sea un \( a=(a_1, \ldots, a_n,\ldots) = \sum a_ne_n \in l^1 \) arbitrario.
\( \displaystyle\|Ta\| = \Big\|\sum a_n(e_{n+1}-e_n)\Big\| \leq \sum |a_n|\|e_{n+1}-e_n\| = 2\|a\| \)

3. Para encontrar el y adecuado podemos hacerlo a ojo, por ejemplo, \( \textcolor{red}{y = (1, 1,0,\ldots)} \) pues
\( \textcolor{red}{\|Ty\| = \|T(e_1 + e_2)\| = \|e_3 -e_1\| = \|(-1,0,1,0,\ldots)\| = 2} \) El elemento elegido es incorrecto, como apunta el manco, ver su mensaje para escoger uno adecuado.

Saludos.

7
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Demostrar determinante
« en: 24 Diciembre, 2007, 10:14 am »
Hola.

Para el segundo determinante
  • Extrae el factor \( a+b+c \) de la primera fila
  • Resta la tercera columna a la primera
  • Te queda un determinante de orden dos muy sencillo. Restando las dos columnas lo diagonalizas.
Vuelve a dar \( (a+b+c)^3 \)

Saludos

8
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Espiral de Arquímedes
« en: 06 Septiembre, 2007, 12:20 pm »
Hola.

En la forma polar el ángulo suele estar medido en radianes. Quizás es eso lo que te extraña.

9
Libros / Re: Teoría de conjuntos y temas afines . Seymour Lipschutz
« en: 04 Septiembre, 2007, 12:30 pm »
El título está en inglés, con lo que debe estar escrito en inglés. De todas formas, no lo he descargado.

Saludos.

10
Cálculo 1 variable / Re: Derivada
« en: 03 Septiembre, 2007, 05:12 pm »
Hola. La derivada de una constante es 0.

11
Cálculo 1 variable / Re: Existencia de la vecindad
« en: 03 Septiembre, 2007, 01:36 pm »
Hola.

Un entorno o vecindad de un punto tiene dentro siempre un intervalo abierto que contine a ese punto. Incluso puedes tomar un intervalo abierto como entorno. Toma tus puntos a y b y escribe intervalos abiertos que los contengan pero que sea lo suficientemente pequeños como para que no tengan puntos en común.

\( |b-a| \) no es más que la distancia que hay entre a y b.

Y sobre todo, como dice millo, haz un dibujo.

Saludos.

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Libros / Re: Teoría de conjuntos y temas afines . Seymour Lipschutz
« en: 03 Septiembre, 2007, 01:27 pm »
Hola.

Los libros están enlazados en la sección de Libros. Me figuro que es el número 325. Mira a ver si te da problemas la descarga. Una vez en la página a que nos remite (que está en ruso, pero no hay problema) hay que esperar 28 segundos (para que nos "de tiempo" a leer la publicidad que tiene la página; verás un contador) y ya aparecerá un enlace con el documento.

Saludos.

13
Otra posibilidad es usar la fórmula ciclotómica (que si no se conoce habría que probarla por inducción), siempre tan útil:
\( \displaystyle a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}=(a-b)(b^{n-1}+ab^{n-2}+\cdots + a^{n-2}b+a^{n-1}) \)
Si hacemos a=9, b=4, tenemos que \( 9^n-4^n \) es igual a 5 por otra cosa.

Saludos

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Cálculo 1 variable / Re: Complejos y rotaciones
« en: 27 Julio, 2007, 12:41 am »
Hola getdan

¿Te acuerdas de que multiplicar por \( i \) equivale a rotar un complejo 90º\( =\pi/2 \) radianes en sentido antihorario alrededor del origen? Y como \( i=\cos (\pi/2) + i\sin (\pi/2) \) un giro de \( \pi/16 \) radianes en sentido horario será multiplicar por el número \( s=\cos (-\pi/16) + i\sin (-\pi/16)= \cos (\pi/16) - i\sin (\pi/16) \).

Por otro lado se puede calcular sin calculadora el coseno y el seno de \( \pi/16 \) pues se trata de hallar las razones trigonométricas de la mitad de la mitad del ángulo \( \pi/4 \); hay fórmulas para eso pero parece un poco trabajoso. Es posible que haya algún otro método pero sólo se me ocurre éste.

Saludos.

15
A veces ocurre; no hay que desanimarse. Es curioso cómo uno, a veces, se empeña en equivocarse en lo mismo una y otra vez. Me sorprende mucho cuando me pasa. Eso no es muy malo, salvo en un examen, en que el tiempo es muy limitado. Siento que suspendieras.

Saludos.

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Hola ZarkGhost.

La idea está bien pero el problema está en un par de detalles. Cuando tienes la expresión \( \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 \) y la sumas te debe salir \( \dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6} \). Si factorizas el numerador se obtiene las raíces que has indicado: -1, -2 y -3/2. Pero al factorizar el polinomio hay que añadirle el coeficiente principal: 2. Así \( 2(k+3/2) = 2k+3 = 2(k+1)+1 \), como debe ser.

Saludos

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Números complejos / Re: Potencias de números complejos
« en: 07 Julio, 2007, 07:31 pm »
Hola, es verdad; lo pasé por alto.  :-\

En ese caso ha sido tiempo perdido.

P.d: entendí bien la pregunta pero en algún momento de los razonamientos te contesté a otra cosa y quedó así de mal.

Saludos.

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Números complejos / Re: Potencias de números complejos
« en: 07 Julio, 2007, 01:38 pm »
Hola.
En realidad la exponencial "arregla" la multivaluación porque es un arreglo de senos y cosenos:

\( e^{w(\ln r + i \theta + i2k\pi)} = e^{w\ln r}e^{i(\theta + 2k\pi)} = e^{w\ln r}(\cos (\theta + 2k\pi) + i\sin(\theta + 2k\pi)) = e^{w\ln r}(\cos \theta + i\sin \theta) = r^w (\cos \theta + i\sin \theta) \)

Y e elevado a un número complejo proporciona un sólo número.
\( e^{a+bi} = e^ae^{ib} = e^a(\cos b + i\sin b) \)

Así no hay problema con la exponenciación aunque recuerdo que hace tiempo calculé \( i^i \) y creo que sí había problemas. Esta tarde, si encuentro un rato, me pongo a ver.
Saludos.

19
Hola.

Definición del logaritmo: \( \log_b(a)=z \) es equivalente a \( b^z=a \).

La función logaritmo sólo se puede aplicar a valores de \( a \) positivos (si queremos quedarnos en los números reales), sin embargo el valor obtenido puede ser de cualquier signo, y también puede ser 0.

Para ver cuándo tiene sentido el logaritmo que expones, Airbag, habrá que determinar, como bien dice el_manco, qué valores de x hacen a \( 16-x^2 \) positivo.

Saludos.

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Problemas y Dudas con LaTeX / Re: ¿Latex en Windows ... ?
« en: 12 Marzo, 2007, 10:55 pm »
Hola.

Es útil tener un editor para que interactúe con MikTeX. Quizá el más conocido (al menos que conozca yo) es WinEdt (de pago) aunque puede usarse sin registrarse si uno se resigna a cerrar de vez en cuando una ventana-recordatorio que nos invita a registrarnos. Hay por ahí, no recuerdo donde, pero se puede mirar en CervanTeX, un diccionario de castellano que está muy bien.

Hay más editores: en esta página se habla un poco de algunos (en inglés); están en la tabla.

Espero que te sirva.
Saludos.

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