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Buenas, no acabo de ver claro por qué si \( p \) es primo entonces \( a^p\equiv{a} \) (mod p) \( \forall{a\in{\mathbb{N}}} \), pero si \( p \) es compuesto entonces puede que sean congruentes o puede que no.

Me cuesta entender esto de forma intuitiva o hacer pruebas con valores concretos, ya que para valores relativamente grandes de \( p \) se complican bastante los cálculos (ni siquiera me salen con la calculadora XD)

Hay alguna forma, más o menos intuitiva (los que me conocéis un poco ya sabéis que mi nivel de mates es bastante justito :laugh:) de entender esto sin necesidad de hacer cálculos interminables, etc..?

Saludos.

2
Álgebra y Aritmética Básicas / Ejercicio de simplificación
« en: 12 Marzo, 2021, 03:04 pm »
Simplificar:

\( \displaystyle\frac{x^3 - 19x - 30}{x^3 - 3x^2 - 10x} \)



Buenas. Esto es lo que he hecho.

Operando con el numerador:

\( x^3 - 19x - 30 = 0 \)

\( (-2)^3 - 19(-2) - 30 = 0 \)

\( x^3 - 19x - 30 = (x + 2)(x^2 + bx - 15) \)

Con \(  b = -2 \):

\( x^3 - 2x^2 - 15x + 2x^2 - 4x - 30 = x^3 - 19x - 30  \)

Así que el polinomio se puede factorizar como: \(  (x + 2)(x^2 - 2x - 15) \)

Factorizando ahora el polinomio de segundo grado:

\( x^2 - 2x - 15 = (x + 3)(x - 5) \)

Con lo que el numerador queda:

\( x^3 - 19x - 30 = (x + 2)(x + 3)(x - 5) \)

Operando ahora con el denominador:

\( x^3 - 3x^2 - 10x = x(x^2 - 3x - 10) \)

\( x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5) \)

Y la fracción queda:

\( \displaystyle\frac{(x + 2)(x + 3)(x - 5)}{x(x + 2)(x - 5)} = \displaystyle\frac{x + 3}{x} \)

Aunque el resultado creo que está bien, no estoy muy seguro de si esta es la mejor forma de proceder, la forma de obtener la primera factorización del numerador creo que es un pelín chapucera, pero es lo único que se me ocurrió. :laugh:

Cualquier consejo o critica es bienvenid@.

Saludos.

3
Matemáticas Generales / Probabilidad de factorización
« en: 17 Febrero, 2021, 01:03 pm »
Buenas. Se me ha ocurrido un problema que no sé si tiene solución.

Sea \(  P(n)  \) un polinomio de la forma: \( an^2 + bn + c \), con \( a \), \( b \) y \( c \leq{10} \) (y \( \geq{1} \) se entiende).

¿Cuál es la probabilidad de que un polinomio de esta forma (con los coeficientes elegidos al azar) se pueda factorizar por completo?

¿Podría obtenerse una solución general? (si en vez de \( 10 \) la cota de los coeficientes fuera \( x \))

PD. Con \( a \), \( b \) y \( c \) \( \in{\mathbb{N}} \).

Saludos.

4
Buenas. Me preguntaba si esto tiene algún nombre concreto (de ahí que entrecomille lo de "monomios/polinomios"  ;D), ya que si no estoy equivocado, la definición de monomio o polinomio sólo vale para exponentes naturales.

El caso es que estaba intentando resolver un problema de límites, en el que después de varias operaciones y simplificaciones aparecieran expresiones con raíces cuadradas en el numerador (que daban el máximo "grado" de este) y un polinomio de grado 1 en el denominador. Y al intentar justificar (con palabras, se entiende) que ese límite tenía que ser cero, me quedé un buen rato pensando cómo expresar esto de forma correcta.

¿Sería correcto simplemente decir "el grado del numerador es menor al del denominador? (sin entrar en si son polinomios o no) ¿puede hablarse de "grados" para expresiones con exponentes no naturales? Si es así, ¿qué palabra se utilizaría para referirse a una expresión con máximo exponente no natural? (el grado de "qué cosa" quiero decir)

Porque en este caso me salvó (si es que me salvó XD) la coletilla del numerador, pero ahora mismo no sabría qué palabra utilizar para referirme a esa misma expresión sin ningún denominador. ;D

PD. Sorry si el hilo es un poco chorra, pero la verdad es que a veces me cuesta encontrar las palabras adecuadas para algunas cosas, y pierdo incluso más tiempo intentando encontrarlas que resolviendo los problemas en sí (que en este caso por ejemplo era relativamente sencillo XD)..

Saludos.

5
Tutoriales y fórmulas con LaTeX / Sobre el displaystyle
« en: 10 Febrero, 2021, 05:35 pm »
Buenas. Me preguntaba si hay alguna forma rápida (o algo más rápida al menos) de usar este comando, sin necesidad de escribirlo cada vez.

Es que entre que es algo que se suele usar bastante y que el nombrecito no es precisamente corto, a veces se hace un poco pesado tener que escribirlo cada vez.

Aclaro que suelo escribir en Latex con el movil y directamente en el foro, así que me interesa poder hacerlo sin necesidad de usar el ordenador o algún software adicional, etc.. (si es que esto es posible  :laugh:).

Saludos.

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Foro general / Sobre el método inductivo
« en: 25 Enero, 2021, 11:06 am »
Buenas, estaba leyendo sobre el método inductivo y me surgieron algunas dudas. En concreto, hay conjeturas o teoremas que se sabe seguro que no se pueden demostrar por inducción?

Me refiero a conjeturas o teoremas que involucren una generalización de un caso particular a un caso general claro. En concreto estaba pensando en conjeturas/teoremas que involucran números primos, o en conjeturas tipo Collatz, etc..

Saludos.

7
Matemáticas Generales / Sobre números irracionales
« en: 13 Enero, 2021, 12:20 am »
Buenas. Estaba pensando en algo que a lo mejor es una tontería pero que me resulta un tanto paradójico. Según la definición de número irracional (la que yo conozco al menos) sería un número que no puede ser expresado como una fracción de enteros, o un número con infinitas cifras decimales no periódicas.

Entonces me pregunto, podría un número, con infinitas cifras decimales, pero con sólo dos dígitos diferentes ser irracional?

Algo como \( 1,001000110111 \).. Es decir, con una distribución "aleatoria" de ceros y unos, de modo que no pudiera hayarse ningún período, ni ninguna fracción de enteros que diera eso.

O el hecho de que un número sea irracional implica que no puede asegurarse que esté conformado sólo por dos (o \( x \)) digitos?

Saludos.

8
Buenas. Estaba viendo un video sobre la demostración del producto de Euler (la original de Euler) para la función zeta y me pareció tan bonita y original que decidí abrir este post.

No se trata de argumentar nada (aunque se pueda) en plan qué ha sido más o menos relevante para las matemáticas, sino simplemente de poner demostraciones, teoremas, identidades, etc.. que por la razón que sea (sencillez, originalidad..) os hayan parecido bonit@s o llamado la atención.

En mi caso me quedo con la que comentaba de Euler, por parecerme tremendamente "sencilla" y original al mismo tiempo (sencilla en el sentido de que es fácil de entender, y no en el sentido de que sea fácil darse cuenta de esa conexión, que de hecho me parece dificilísimo).

Da igual el nivel de la demostración, teorema, etc.. o el nivel que tengáis de matemáticas (el mío por ejemplo es bastante bajo jeje), como si queréis poner el teorema de Pitágoras XD (de hecho a mi me parece un teorema bastante bonito :)).

PD. También podéis poner cosas más complejas eh, es sólo para que nadie se sienta intimidado a participar. :)

Saludos.

9
Buenas. Me gustaría saber si se puede afirmar esto:

Sea \(  f(n) = (an - 1)(an + 1) \) con \(  a \in{\mathbb{N}} \) entonces \( \forall{a} > 2 \) la serie:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{f(n)} \)

converge a un número irracional.

PD: Sorry si utilicé una notación extraña o poco convencional, pero creo que se entiende.. XD

Saludos.

10
Matemáticas Generales / Sobre símbolos matemáticos
« en: 27 Diciembre, 2020, 03:29 pm »
Buenas. Cuanto más leo en el foro más me doy cuenta de la cantidad de símbolos y expresiones matemáticas que desconozco. Es un tema que, al ser un simple aficionado, me dificulta mucho el poder entender algunas cosas.

El asunto es que no sé muy bien cómo buscar estas cosas en google (por razones obvias, ya que no sé ni cómo escribir los símbolos, etc.. XD). Recuerdo que hace un tiempo llegué, no sé muy bien cómo, a una página donde se podía practicar con este tema (salían x símbolos y definiciones, y tenías que emparejarlos), pero como digo ya no me acuerdo como llegué ahí.

Conocéis alguna página o aplicación por el estilo? (donde se pueda practicar y salgan cuantos más mejor, los que salen en la wiki o similares más o menos ya me los aprendí, pero diría que son bastante pocos..)

Preguntaría por aquí pero creo que no acabaría nunca, y tendría que abrir tropecientos hilos por cada símbolo o expresión que desconozco XD

Saludos.

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Ecuaciones diferenciales / Verificar soluciones
« en: 18 Diciembre, 2020, 01:38 pm »
Buenas. Antes de nada decir que es mi primer ejercicio de ecuaciones diferenciales (no sé prácticamente nada), así que espero que no seáis muy duros conmigo XD

El enunciado dice:

\( y' = xy^2 \)

¿La función \( y = \displaystyle\frac{2}{9 + x^2} \) es solución de la ecuación anterior?



Lo que he hecho es simplemente derivar la función \( y \):

\( y' = \displaystyle\frac{4x}{(9 + x^2)^2} \)

Ahora

\( xy^2 = x\displaystyle\frac{4}{(9 + x^2)^2} \)

Con lo que concluyo que sí es una solución. Pero me sale que la respuesta es incorrecta (es un ejercicio de una aplicación online) ¿Qué es lo que he hecho mal?

Saludos.

12
en los enteros, reales? (tipo \( \mathbb{Z_4} \),\(  \mathbb{R_2} \), etc..)

He intentado buscarlo en google pero no sé como ponerlo :laugh: Es que lo he visto varias veces en el foro, como si fuera algo requetesabido pero yo aún no sé qué significa XD

Saludos.

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Análisis Matemático / Duda sobre límite en menos infinito
« en: 25 Noviembre, 2020, 07:54 am »
Encuentra el límite conforme x tiende a infinito negativo menos infinito.

\( \displaystyle\frac{x^5 + 4x^2}{\sqrt[ ]{x^{10} + 8x^7}} \)



Buenas. Esto es lo que he hecho:

Dividiendo el numerador y el denominador por \( x^5 \):

Num: \( \displaystyle\frac{1}{x^5} (x^5 + 4x^2) = 1 + \displaystyle\frac{4}{x^3} \)

Den:

\( \displaystyle\frac{1}{x^5} \sqrt[ ]{x^{10} + 8x^7} = \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{x^{10}}}  \sqrt[ ]{x^{10} + 8x^7} =  \)

\( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{x^{10}}{x^{10}} + \displaystyle\frac{8x^7}{x^{10}}} = \sqrt[ ]{1 + \displaystyle\frac{8}{x^3}}  \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{} \displaystyle\frac{1 + \displaystyle\frac{4}{x^3}}{ \sqrt[ ]{1 + \displaystyle\frac{8}{x^3}}}
 \)

Y aquí es dónde me surgen las dudas (si no me equivoqué con algo..). Sé que en \( \pm{\infty}  \) las fracciones tienden a cero. Pero no tengo claro entonces si el resultado debería ser \( 1 \) o \(  -1 \), ya que no se deduce ningún signo de esa expresión (o en todo caso sería positivo, por no haber ya ninguna variable).

¿Cómo se debe razonar aquí?

Saludos.

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Foro general / Sobre IA y matemáticas
« en: 23 Noviembre, 2020, 09:03 am »
Buenas. A veces me pregunto hasta qué punto puede llegar todo esto de la inteligencia artificial, etc.. y en concreto  en relación al campo de las matemáticas o de la ciencia..

Viendo que cada vez hay más aplicaciones capaces de resolver problemas relativamente complejos en (muy) poco tiempo, o programas de Ajedrez capaces de dejar en evidencia al mismísimo Magnus Carlsen..

Me pregunto, ¿podría llegar una IA a crear teoremas matemáticos, resolver conjeturas, unificar teorías en fisica, crear terminators o ultrones y provocar la extinción de la raza humana? (vale, esto último es broma :p)

¿Qué opináis?

Saludos.


15
Matemáticas Generales / Cómo saber..
« en: 10 Noviembre, 2020, 10:49 am »
Buenas. Me preguntaba cómo saber cuando la sumatoria de la inversa de un polinomio converge a un número racional o irracional. Por ejemplo, según el wolfram, la sumatoria:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{1}{n^2 + 4n + 3} = \displaystyle\frac{5}{12} \)

Pero

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{n^2 + 4n + 4} =\displaystyle\frac{\pi^2}{6} - \displaystyle\frac{5}{4}  \)

Me resulta muy curioso que sólo sumando 1 al anterior polinomio pueda cambiar tanto el número al que converge (o la fórmula para obtener directamente la suma de x términos).

Hay alguna forma o alguna regla para saber diferenciar un caso del otro? (o ya puestos para encontrar esas fórmulas, al menos las de números racionales ya que las de los irracionales parecen bastante más enrevesadas XD)

Saludos.

16
Cálculo 1 variable / Integral indefinida
« en: 30 Octubre, 2020, 05:20 pm »
\( \displaystyle\int\sqrt[ ]{1 - x^2} dx \)



Buenas. Se que \( \displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt[ ]{1 - x^2} dx  \) debería ser \(  \displaystyle\frac{\pi}{4} \) por ser el área bajo la curva de un cuarto de circunferencia (de radio 1), pero no tengo ni idea de cómo calcular la indefinida.

PD. Aclaro que sólo sé calcular integrales muy simples (polinomios sencillos, etc..) así que casi que agradecería una explicación en plan barrio sésamo XD

Saludos.

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Teoría de números / Convergencia de primos
« en: 28 Octubre, 2020, 09:53 pm »
Buenas. Me preguntaba si se sabe a qué converge esto:

\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(p_n)^2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(p_n)^3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(p_n)^4} + \ldots + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(p_n)^\infty}  \)

Con \( p_n \) igual al enésimo número primo y con los exponentes igual a todos los números naturales salvo el 1 (ya que como se sabe la serie de los inversos de los primos diverge).

Calculando sólo unos pocos valores parece que converge a un valor cercano a \( \displaystyle \frac{1}{9}(19 - \sqrt[ ]{145})  \), aunque dudo mucho que converja exactamente a este número ya que como digo tampoco he calculado muy allá XD

Saludos.

18
Análisis Matemático / Cuál sería la forma más rápida..
« en: 25 Octubre, 2020, 04:31 pm »
Buenas. Me preguntaba cuál sería la forma más rápida de calcular la imagen de esta función (valdría cualquiera similar supongo):

\( \displaystyle f(x) = \frac{(x - 1)^2 - (x + 1)}{2x + 5} \)

Se me ocurre calculando su inversa y encontrado luego su dominio (para lo que creo que habría que resolver una ecuación de 2° grado), o encontrando su derivada y viendo en qué dos puntos se anula (para lo que también habría que resolver una ecuación de 2° grado XD).

Hablo calculando "a mano" inversas, derivadas, etc.. (sin ayuda de aplicaciones online). No tengo muy claro cuál de esos métodos sería más rápido, o si de hecho habría alguno mejor (con algunas funciones casi sale mirando sólo la gráfica o haciendo unos pocos calculos, pero con esta o similares no se me ocurre cómo hacerlo así XD).

Saludos.

19
Análisis Matemático / Sobre funciones "casi" biyectivas
« en: 19 Octubre, 2020, 03:57 pm »
Buenas. Estaba pensando en funciones tipo

\( \displaystyle f(x) = \frac{x}{x + 1} \)

Por un lado parece que \( f \) podría tomar cualquier valor real, pero por otro, si se aceptara esto entonces llegaría a 1 tanto en \( +\infty \) como en \( -\infty \) (con lo que no sería inyectiva XD).

Cuál de las dos interpretaciones es la correcta? Es inyectiva porque se puede considerar que nunca llega a 1 (y por lo tanto no es sobreyectiva) o es sobreyectiva porque se puede considerar que llega en \( \pm{\infty} \)? (y por lo tanto no es inyectiva).

Saludos.

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Buenas. Seguramente sea algo muy tonto pero no consigo resolverlo. El enunciado dice:

La enésima suma parcial de la serie \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) está dada por \( \displaystyle S_n = \frac{n + 1}{n + 10} \)

Escribe una regla para \( a_n \).



Se me ocurre algo como \( \displaystyle  \frac{n + 1}{n + 10} - \frac{n}{n + 9} \)

pero el primer término no me cuadra así (y si intento que cuadre lo que no me cuadra es el resto XD).. Alguna idea?

Saludos.

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