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Temas - weimar

Páginas: [1] 2
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Cálculo 1 variable / Propiedad de numeros reales
« en: 26 Marzo, 2021, 05:53 pm »
Hola como puedo probar la siguiente propiedad:

$$ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}   \Rightarrow{   a=c   \mbox{ y }  b=d}$$
donde $$  a,b,c,d $$ son diferentes de cero

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Ecuaciones diferenciales / Transformada de laplace integral
« en: 24 Marzo, 2021, 01:41 am »
Hola, como podria calcular :

$$I=\mathcal{L} \Big \{   \int_{0}^{t}   f(t-\tau)^3 f(\tau) d \tau \Big \}$$

Intente aplicar la convolucion asi:

$$  I= \mathcal{L} \{  f  \}   \mathcal{L} \{  f^{3} \} $$

Como consigo reducir $$  \mathcal{L}\{   f^3  \} $$   :banghead: :banghead: :banghead:

3
Hola, tengo el siguiente problema:

$$ f(t)= t   ; 0 \leq{  t } < b  $$  y $$   f(t)=a    ;   t=b, 2b,3b,4b, ....$$
donde $$f(t+b)=f(t)$$ es una funcion periodica de periodo $$b$$ Ahora calculando la transformada de laplace aplicando la  formula tenemos 

$$ \mathcal{L}   \{ f(t) \} = \frac{1}{1-e^{-sb}}   \int_{0}^{b} e^{-st} t dt    \ \ \mbox{ donde } \ \   t\in [0,b) $$

Usando integracion por partes y factorizando convenientemente llego a:

$$  \mathcal{L}\{ f(t) \}= \frac{b}{s}  \Big(   \frac{1}{bs}  - \frac{1}{ (e^{sb}-1)}  \Big)$$

Pero la respuesta del libro sale:

$$  \mathcal{L}\{ f(t) \}= \frac{a}{s}  \Big(   \frac{1}{bs}  - \frac{1}{ (e^{sb}-1)}  \Big)$$


Porque   :banghead: :banghead: :banghead: :banghead:





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Ecuaciones diferenciales / Ecuacion Homogenea 02
« en: 04 Febrero, 2021, 10:30 pm »
Hola, siguiendo con los problemas tengo que
Resolver:  $$(y+\cot(y/x))dx-xdy=0$$
Hice lo siguiente, escribi de la forma : $$ (\frac{y}{x}+\frac{1}{x}\cot(y/x))=\frac{dy}{dx}$$ ahora haciendo el cambio $$u=\frac{y}{x}$$ obtenemos en las $$x,u$$  que $$\int \tan(u)du=\int \frac{1}{x^2}dx  \Rightarrow{   \ln( \cos(u))=-x^{-1}+c_{1}}$$ luego volviendo a las variables originales obtengo:
$$ \ln(\cos(y/x))=x^{-1}+c_{2} \Rightarrow{  \cos(y/x)=ce^{1/x}} $$

Pero en el libro la respuesta es : $$x\cos(y/x)=c.$$  Que estoy haciendo mal  :-\ :-\ :-\ :-\

5
Ecuaciones diferenciales / Ecuacion Homogenea 01
« en: 04 Febrero, 2021, 10:01 pm »
Hola, tengo el siguiente problema : Resolver
$$(x^2+xy-y^2)dx-xydy=0$$
Bueno lo escribi de la siguiente forma $$ (x/y)+1-(y/x)=\frac{dy}{dx}$$ ahora hacemos el cambio $$u=(y/x)$$ y tenemos la siguiente ecuacion
$$ \int \frac{u}{1+u-2u^2}du=\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+c_{1}$$ integrando y volviendo a las variables $$x,y$$ y multiplicando por seis obtenemos

$$  2\ln|1-(y/x)|+\ln|2(y/x)+1|=-6\ln|x|+c_{2} \Rightarrow{   2\ln|x-y|+\ln|x+2y|=-3\ln|x|+c_{2}}\Rightarrow{  (x-y)^2 (x+2y)=|x|^{-3}C}$$

Solo que en el libro de Zill la respuesta es: $$ y+x=Cx^{2}e^{y/x}.$$  Donde esta mi error   :-\ :-\ :-\ :-\

6
Ecuaciones diferenciales / Ecuacion Homogenea
« en: 04 Febrero, 2021, 02:53 pm »
Resolver:
$$y\frac{dy}{dx}=x+4ye^{-2(x/y)}$$
Bueno escribi de la forma $$ \frac{dy}{dx}=(x/y)+4e^{-2(x/y)}$$  luego hacemos $$u=(x/y)  \Rightarrow{ x=uy  }  \Rightarrow{   1=\frac{du}{dx}y+u\frac{dy}{dx} }$$
Sustituyendo tenemos que :

$$ 1=\frac{du}{dx}(x/u)+u(u+e^{-2u})  \Rightarrow{   u-u^3-4u^2e^{-2u}=x\frac{du}{dx}}\Rightarrow{   \int (1/x)dx=\int \frac{1}{u-u^3-4u^2e^{-2u}}du}$$

solo que esa ultima integral es complicado para calcular, cual sera otra forma de resolver  :banghead: :banghead: :banghead:



7
Ecuaciones diferenciales / Problema de mixtura
« en: 31 Diciembre, 2020, 05:16 am »
Un tanque contiene 500 litros de agua en la cual 500 gramos de sal es disuelta. Una salmuera contiene 5 gramos de sal por litro y es bombeada para el tanque a una taza de 2 litros por  minutos. La solucion bien agitada es entonces bombeada para afuera con una taza de 3 litros por minuto. Encuentre  la cantidad en gramos de sal en el tanque, cuando el tanque contiene 200 litros de salmuera.   

Hice lo siguiente:
 $$m(t)=\mbox{ masa del tanque en el tiempo } t , m'(t)=\mbox{ taza de entrada}- \mbox{ taza de salida } = 10-\frac{3m}{500+t}$$ y $$m(0)=500$$
Asi resolviento el Problema de valor inicial obtuve:

$$m(t)=\frac{5}{2}(500+t)-\frac{3 (500)^{4}}{2(500+t)^{3}}$$

La pregunta es: Que valor de $$t$$ debo colocar para encontrar la cantidad de masa cuando el tanque contiene 200  litros de  salmuera  :banghead: :banghead: :banghead:

8
Cálculo de Varias Variables / Teorema de Gauss 1
« en: 25 Noviembre, 2020, 12:22 am »
Calcule $$\iint_{S}F.ndS $$ donde $$F(x,y,z)=(x,-2y+e^x \cos z, z+x^2)$$ y $$S$$ es definida por

$$\{ z=9-x^2-y^2 , 0 \leq z  \leq 5  \}, \{ z=5 , 1 \leq x^2+y^2  \leq 4  \} , \{ z=8-3(x^2+y^2) , x^2+y^2  \leq 1  \}$$

Bueno , calcule el divergente y me dio cero, pero ahora tengo que parametrizar cada superficie que encierra el solido

$$\iint_{S_1}F.n_1 dS+\iint_{S}F.ndS=0$$

$$S_1: z=0, x^2+y^2 \leq 9 \longrightarrow{  \varphi(r\cos \theta, r\sin \theta, 0)}  $$  la normal pedida sale $$(0,0,-r)$$
luego $$\iint_{S_1}F.n_1 dS= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}-r^3 \cos ^2 \theta dr d\theta= -\frac{81 \pi}{4}$$

esta bien si lo planteo asi ? o tambien deberia calcular el flujo para la superficie $$S_3: z=5 ,1 \leq x^2+y^2 \leq{4}$$
 :-\ :-\

9
Cálculo de Varias Variables / Flujo del rotacional
« en: 22 Noviembre, 2020, 03:57 pm »
Determine el flujo del rotacional  $$F(x,y,z)=(y^2,-x,1)$$  a traves de la superficie $$z=1-x^2$$ con $$x\geq{0} , y\geq{0}, x+y\leq{1} $$ y la direccion de la normal apuntando para abajo.

Bueno , aplique el Teorema de stokes y tenemos la curva : $$\alpha(t)=(t,1-t,1-t^2) , t \in [0,1]  \Longrightarrow{ \alpha'(t)=(1,-1,-2t)}$$
 y $$F(\alpha(t))=((1-t)^2,-t,1)$$ luego el flujo del rotacional por stokes seria  $$\int_{0}^{1}((1-t)^2-t)dt=-\frac{1}{6}$$

Pero si calculo por la definicion de flujo y parametrizo la superficie con $$rot(F)=(0,0,-1-2y) , \varphi(x,y)=(x,y,1-x^2)$$

 el resultado me da:

$$\iint_{S}rot(F).ndS=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(1+2y)dydx=\frac{5}{6}$$ donde esta mi error  :-\ :-\ :-\ :banghead: :banghead:

10
Cálculo de Varias Variables / Flujo de un campo Vectorial 1
« en: 20 Noviembre, 2020, 10:54 pm »
Determine el flujo del campo $$F(x,y,z)=(\frac{x^3}{3}+y, \frac{y^3}{3}, \frac{z^3}{3}+2)$$ a traves de la superficie del solido $$W$$ definido por
$$W=\{ (x,y,z)  |  x^2+y^2+z^2  \geq{1} ,  x^2+y^2+(z-2)^2  \leq{4}, z \geq{\sqrt{x^2+y^2} } \}$$ con normal exterior.

Bueno hice las intersecciones de las superficies   y encontre los planos : $$z=\frac{1}{4}, z=\frac{1}{\sqrt{2}}, z=2$$ ahora aplicando el teorema de Gauss tenemos
$$\iint_{S}F.ndS=\iiint_{W}(x^2+y^2+z^2)dW$$  pasando a coordenadas esfericas nos da

$$\iiint_{W}(x^2+y^2+z^2)dW=\int_{0}^{2 \pi} \iint  \rho^2 \rho^2 \sin \phi   d \phi  d \rho  d \theta $$ y aqui no se como son los limites de integracion de $$\rho, \phi$$   :banghead: :banghead:

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Cálculo de Varias Variables / Flujo de campo vectorial
« en: 19 Noviembre, 2020, 02:48 pm »
Calcular $$\iint_{S}F.ndS $$

onde  $$F(x,y,z)=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$$ y $$S:x^2+y^2+z^2=1$$ con $$n$$ normal exterior

Aplique el teorema de la divergencia divergencia y resulta : $$\iint_{S}F.ndS=0$$ pues $$div(F)=0$$ pero en la respuesta sale
$$4\pi$$ donde esta mi  error  :banghead: :banghead: :banghead:

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Cálculo de Varias Variables / Teorema de Gauss
« en: 15 Noviembre, 2020, 03:52 pm »
Sea $$S$$ parte de la esfera $$x^2+y^2+z^2=1$$ conprendida entre los planos $$z=0$$ y $$z=y \geq{0}.  $$  Calcular
$$\int \int_{S}F.ndS $$  donde $$n$$ es la normal unitaria a $$S$$ con tercera coordenada siempre positiva y el campo  dado por $$F(x,y,z)=(\frac{\ln(1+y^2)}{2+\cos z},1,2z)$$

Hola, hice lo siguiente: Aplicando el teorema de Gauss , tenemos que $$\mbox{ div}(F)=2$$ y usando cambio de variables a coordenadas esfericas $$x=\rho \cos \theta \sin \phi , y=\rho \sin \theta \sin \phi ,z=\rho \cos \phi ,    \rho\in [0,1], \theta \in [0,\pi], \phi\in [\frac{3\pi}{4},\pi].$$ Sustituyendo en la integral nos da que :

$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{3\pi/4}^{\pi} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$$

Pero la respuesta sale : $$\pi(\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}}{4})-\frac{2}{3}$$ donde esta el error  :banghead: :banghead: :banghead:
 


13
Calcular $$\int \int_{S}F.dS$$ donde $$F=(2y,-y,3)$$ y $$S$$ una parte del plano $$x+2y+z=0$$ contenida en el interior de la esfera $$x^2+y^2+z^2=9$$ orientada con normal apuntando para arriba.

Hice lo siguiente parametrize el plano por $$\varphi (u,v)=(u,v,-u-2v) \Rightarrow{  \varphi_{u} \times \varphi_{v}=(1,2,1)
 }$$  y $$F(\varphi(u,v))=(2v,-v,3)$$ luego colocando todo en la integral tenemos: $$\int \int_{D_{u,v}} 3 dS= 3\mbox{Area} (D_{u,v}).$$

Ahora para calcular $$D_{u,v}$$ hice la interseccion de la superficies y me quedo : $$2x^2+5y^2+4xy=9$$ osea $$2u^2+5v^2+4uv=9$$ solo que a partir de ai en verdad necesito el area de esa elipse, como calculo eso de una forma facil   :-\ :-\:banghead: :banghead: :banghead: :banghead:

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Cálculo de Varias Variables / integral de superficie - campo escalar
« en: 06 Noviembre, 2020, 11:38 pm »
Calcular $$\int \int_{S}(y^2+z^2)dS$$ donde $$S$$ es la frontera del solido determinado por $$x^2+y^2+z^2  \leq{1} $$ y $$z \geq{ \sqrt{x^2+y^2}}$$

Bueno use la parametrizacion en esfericas $$ \varphi(\theta , \phi)= (\cos \theta \sin \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \phi), \theta \in [0,2\pi], \phi \in [0,\pi/4]$$   pues la inteseccion es el el plano $$z=\frac{1}{\sqrt{2}}$$  sustituyendo en la integral

$$I= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4} (\sin^2 \theta \sin^3 \phi +\sin \phi \cos^2\phi) d \phi d \theta = \pi(\frac{4}{3}-\frac{7}{6\sqrt{2}})$$

pero en la respuesta dice: $$\pi(\frac{4}{3}-\frac{19\sqrt{2}}{48})$$ onde esta el error  :banghead: :banghead: :banghead:

15
Cálculo de Varias Variables / Area de superficie 2
« en: 25 Octubre, 2020, 06:34 pm »
Calcular el area de la parte superior de la esfera $$x^2+y^2+z^2=1$$ situada en el interior de la superficie $$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$$
Intente lo siguiente :  usando cartesinas parametrizando $$\phi(x,y)=(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}) \Rightarrow{  \|\phi_{x}\times \phi_{y}\|=\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}} }$$ usando los datos y pasando a  polares

$$A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{\cos (2 \theta)}}  \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}drd\theta= 2\pi-4\sqrt{2}$$  pero  la respuesta dice: $$ \pi+4-4\sqrt{2}$$  :-\ :-\ :-\

16
Cálculo de Varias Variables / Area de superficie 1
« en: 24 Octubre, 2020, 03:56 am »
Hallar el area de la esfera \( x^2+y^2+z^2=12 \) que no se encuentra en el interior del paraboloide \( z=x^2+y^2 \)
Hola, parametrize la esfera \(  \varphi(\theta,\phi )=(2\sqrt{3}\cos \theta \sin \phi,2\sqrt{3}\sin \theta \sin \phi,2\sqrt{3}\cos \phi) \)
com \( \theta \in[0,2\pi] \) e \( \phi  \)  varia en que intervalo??? :banghead: :banghead:

17
Calcular \( \int_{0}^{2 \pi} \frac{9}{(2+\cos x)^2}dx \)

Hola, intente por partes, sustitucion, cambio de variables pero no me sale. Cual sera el truco  :banghead: :banghead: :banghead:

Título corregido. De "calcul de integral definida" a "Cálculo de \( \int_{0}^{2 \pi} \frac{9}{(2+\cos x)^2}dx \)".


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Cálculo de Varias Variables / Area de superficie
« en: 23 Octubre, 2020, 01:34 am »
Calcular el area de una parte del cilindro \( x^2+y^2=2x \) entre el plano \( z=0,
 \mbox{ y } z=\sqrt{x^2+y^2}  \)

Parametrize por \(  \chi(r,\theta)=(  1+r cos \theta , r \sin \theta, (1+2r\cos \theta+r^2)^{1/2}) \)

calculando \( \| \chi_{r} \times \chi_{\theta} \|= \sqrt{2} r \),  la pregunta es como calculo los limites  de \( r , \theta \)  :banghead:

19
Cálculo de Varias Variables / Campo de fuerzas bidimensional
« en: 14 Octubre, 2020, 08:57 pm »
Un campo de fuerzas bidimensional es dado por  \( F(x,y)=(cxy,x^6 y^2) \) siendo \( c \) una constante positiva . Esta fuerza actua sobre una particula que se mueve desde \( (0,0) \) hasta la recta \( x=1 \) siguiendo una curva de la forma \( y=ax^b, a>0, b>0. \) Encontrar el valor de \( a \) (en funcion de \( c \)) tal que el trabajo realizado  por esa fuerza sea independiente de \( b. \)

Bueno aqui parametrize \( r(t)=(t,at^{b})   \ \  \ t \in[0,1]  \Rightarrow{  r'(t)=(1,abt^{b-1})}   , F(r(t))=(act^{b+1},a^2 t^6  t^{2b}) \)

Luego \( W=\displaystyle\int_{0}^{1} F(r(t)).r'(t)dt= \frac{ca}{b+2}+\frac{a^3 b}{3b+6}  \). Mi pregunta es como encuentro el valor de \( a \) tal que el trabajo realizado por ese fuerza sea independiente de \( b. \)Como interpretar essa parte?? :banghead:
La respuesta del libro es :   \( a=(3c/2)^{1/2} \)

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Cálculo de Varias Variables / Trabajo realizado por una fuerza
« en: 14 Octubre, 2020, 05:45 am »
Hallar el trabajo realizado por una fuerza \( F(x,y)=(3y^2+2,16x) \) al mover una particula desde \( (-1,0) \) a \( (1,0) \) siguiendo la mitad superior de la elipse 
\( b^2 x^2+y^2=b^2 \)

Bueno aqui parametrize por \(  r(t)=( \cos t , b \sin t), t \in [-\pi,0] \) luego de hacer los calculo y colocar en la formula obtuve: \( W=4+4b^2+8\pi b \) solo que la respuesta del libro dice \( W=4+4b^2-8\pi b \)   :banghead: :banghead:

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