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Temas - Mr Picudo

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1
Hola a todos, tengo el siguiente problema pero la verdad en el inciso a) no tengo idea de cómo empezar, y el inciso b) no me queda con las identidades que conozco.
Demuestre que:

a) $$4 \sqrt{2-\sqrt{2}} < \pi$$

b) $$\sin{(\sin{2x})} = 2\sin{(\sin{x})}\cos{(\cos{x})}$$

En el inciso b) uso la identidad del doble del ángulo para el lado izquierdo del igual, y obtengo algo que no parece que vaya a quedar como lo pide la demostración:

$$\sin{(\sin{2x})} = 2\sin{(\sin{x}\cos{x})}\cos{(\sin{x}\cos{x})}$$

Si conocen ejercicios similares, les agradecería mucho su ayuda, ¡bonito día!

2
Hola a todos, estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:

Suponga que $$f$$ es invertible en todo $$\mathbb{R}, \quad f(0)=0, \, f$$ es continua en $$x=0$$ y $$\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{f(x)}{x}} = L$$

Demuestre que: $$\displaystyle\lim_{y \to 0}{\frac{y}{f^{-1}(y)}} = L$$

¿Cómo lo harían ustedes?

A mi se me ocurrió usar L'Hôpital para obtener $$\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{f'(x)}{1}} = L \rightarrow{} f'(0) = L$$ ya que $$f$$ es continua.

Después, con L'Hôpital nuevamente tendría  $$\displaystyle\lim_{y \to 0}{\frac{1}{(f^{-1})'(y)}} = L \rightarrow{} \frac{1}{(f^{-1})'(0)} = \frac{1}{\frac{1}{f'(0)}} = \frac{1}{\frac{1}{L}} = L$$

No estoy seguro de estar bien, agradezco cualquier ayuda que puedan brindarme, ¡excelente día!  :)

3
Temas de Física / Notación de vectores (¿perpendiculares?)
« en: 13 Diciembre, 2020, 02:27 am »
Hola buenas noches, tengo una duda sobre la notación de unos vectores que encontré

La notación es: $$\vec{a}^{\perp{}}$$

Y me piden demostrar que el área del paralelogramo generado por los vectores es $$\left |{ \vec{a} \cdot{} \vec{b}^{\perp{}} }\right | = \left |{ \vec{a}^{\perp{}} \cdot{} \vec{b} }\right | $$

¿Alguien conoce la definición de esa notación?

Encontré la manera de demostrar que el área se calcula con el módulo del producto cruz, pero no entiendo cómo calcularlo a partir del producto punto.

Gracias de antemano :)

4
Teoría de Conjuntos / Función entre conjuntos
« en: 03 Diciembre, 2020, 03:43 am »
Buen día, estoy estudiando un ejercicio que dice:

Sea $$X = \left\{{1,2,...,10}\right\}.$$ Encuentra una función $$f: X \longrightarrow{} X$$ que simultáneamente safisfaga las siguientes condiciones:
$$ 1) f^{-1} [\left\{{1,2,3}\right\}] = \emptyset \\ 2) f^{-1} [\left\{{4,5}\right\}] = \left\{{1,3,7}\right\} \\ 3) f^{-1} [\left\{{8,10}\right\}] = \left\{{8,10}\right\}$$

Estoy tratando de resolverlo a partir de la definición de función inversa, sea $$f: A \longrightarrow{} B \quad f^{-1}(B_1) = \left\{{x\in{}A: \quad f(x) \in{} B_1}\right\} $$ con $$B_1 \subseteq{} B$$

Lo que se me ocurrió es definir la función a trozos, pero siento que estoy mal, pues simplemente pongo:

f(x)=\begin{cases}{\left\{{1,2,3}\right\}}&\text{si}& x = \emptyset\\ \left\{{4,5}\right\} & \text{si}& x = \left\{{1,3,7}\right\}\\\left\{{8,10}\right\} & \text{si}& x = \left\{{8,10}\right\}\end{cases}

¿Cómo definirían ésta función?
Agradezco de antemano su atención :)

5
Cálculo 1 variable / Demostrar convergencia de sucesiones
« en: 30 Noviembre, 2020, 02:08 am »
¡Hola a todos!

¿Cómo puedo demostrar la convergencia de sucesiones como éstas?

$$ a_n = \displaystyle\frac{3+5n^2}{n^2+n} \\ a_n = \displaystyle\frac{(-3)^n }{n} \\ a_n = \displaystyle\frac{\sin{2n}}{1+\sqrt{n}} $$

Traté de utilizar los criterios de la razón o de la raíz, pero me salen resultados no concluyentes, y se supone que todas las sucesiones son convergentes.

6
Cálculo 1 variable / Límite del término n-ésimo
« en: 29 Noviembre, 2020, 10:34 pm »
Buen día, estoy tratando de resolver éste ejercicio:

Demuestre que si $$\left\{ a_n \right\}$$ es convergente, entonces: $$ \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_{n+1}} $$

Hasta ahora usé la definición de convergencia: $$ \forall{} \, \epsilon>0  \, \, \exists{} \,\, N>0 : \quad n > N \rightarrow{} |a_n-L| < \epsilon $$

Y obtuve que si se cumple la convergencia de $$ \left\{{a_n}\right\} $$ entonces se cumple que $$ n+1>n>N $$ y por transitividad $$ n+1>N $$, por lo tanto: $$ |a_{n+1}-L| <\epsilon $$ y según yo, esto probaría el ejercicio, pero no me siento del todo seguro, ¿qué opinan?

7
Cálculo de Varias Variables / Determinar una función constante
« en: 28 Noviembre, 2020, 03:48 am »
Hola a todos, estoy resolviendo un ejercicio que dice:

Determine una función $$f(x,y) = c$$, dado $$\epsilon = \left\{{ 3t, 1 - t^2 | t \in R }\right\} $$

Mi idea es hacer una operación, por ejemplo una suma de los parámetros para $$x$$ y $$y$$, e igualarla a una constante dada, que escogí como $$3$$, y me queda la expresión: $$3t + 1 - t^2 = 3$$ que al factorizar obtenemos: $$(t-2)(t-1) = 0$$

No había trabajado con ejercicios así, se que debe de haber muchas funciones posibles, pero ¿si estaría bien la función $$f(x,y) = x + y -3$$ ?

8
Hola a todos  :)
Tengo un problema que dice "Para un sistema homogéneo de mxn, ¿son sus ecuaciones espacios vectoriales?" (Con m y n arbitrarios)
Entiendo que las soluciones de dicho sistema, si son espacios vectoriales, pues de cualquier forma representan el origen, rectas, planos o hiperplanos que pasan por el origen, pero no entiendo la pregunta de "las ecuaciones del sistema".
¡Gracias de antemano!

9
Estoy resolviendo un ejercicio que da la siguiente serie de números: 10, 15.8, 20, 7 y te pide "expresar en notación de sumatoria", pero después de buscar durante un buen rato, una manera de expresar los números en forma de fracciones, o de algún tipo de producto para buscar algún patrón para poder expresarlo en una suma, no encuentro nada, ¿estará mal el documento? Porque también habla de "notación punto" para las sumatorias y no había escuchado de eso antes. Gracias por la ayuda que puedan brindar  :)

10
¡Hola!, excelente inicio de año a todos.

Estoy escribiendo integrales definidas en LATEX pero en el archivo PDF que se genera aparece muy pequeña la integral, al grado de que están pegados los límites de integración, quisiera saber cómo puedo modificar el comando para que en mi documento aparezca más "alargado" el símbolo de la integral.

El código que estoy utilizando es: \int_{a}^{b} f(x) dx para obtener: \( \int_{a}^{b} f(x) dx \), sin embargo en mi documento prácticamente no hay ningún espacio entre \( a \) y \( b \). Ya intenté con el comando \limits para que los límites de integración estén justo por arriba y por debajo de la integral, pero realmente no me gustó cómo se ve y el símbolo de la integral sigue estando muy chico. ¿Hay alguna manera de modificar esto?

Uso el programa TeXnicCenter para escribir en LATEX

¡Gracias de antemano!  :)

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Ecuaciones diferenciales / Ecuación diferencial homogénea de grado 1
« en: 12 Diciembre, 2018, 10:21 pm »
Hola, estoy resolviendo la siguiente ecuación diferencial de una función homogénea de grado 1:

\( (x)dx + (y-2x)dy = 0 \\ \\ \text{Usando la sustitución} \quad u = \frac{y}{x} \quad  \text{obtengo la solución:} \quad (y-x) \ln{(y-x)} + x = k(y-x) \\ \\ \text{En cambio, usando la sustitución:} \quad u = \frac{x}{y} \quad \text{obtengo lo siguiente:} \quad (x-y) \ln{(x-y)} - y = k(x-y) \)

Tengo entendido que sin importar qué sustitución realices debe quedar el mismo resultado, ya que en la primera sustituyes la variable "y" con su diferencial, y en la segunda sustituyes la variable "x" con su diferencial, entonces ¿por qué no me queda el mismo resultado?, o ¿hay alguna manera de demostrar que ambas soluciones son equivalentes mediante manipulaciones algebraicas? (Ya intenté esto último pero no lo conseguí)

De antemano, gracias por la ayuda.

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