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Temas - Gulgo

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1
Tengo la siguiente ecuacion diferencial:
\( x^{'} e^x = (e^x+1)^2 * (3 t^2 - 1) \)
Me pide:
a) Integrar \(  \int \frac{e^x}{(e^x+1)^2}  dx  \)

Entonces hice lo intuitivo:

\( \frac{dx}{dt} e^x = (e^x+1)^2 * (3 t^2 - 1) \)

\( dx e^x = (e^x+1)^2 * (3 t^2 - 1) dt \)

\(  \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx = (3 t^2 - 1) dt \)

Entonces

\(  \int \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx = \int (3 t^2 - 1) dt \)

De donde

\(  \int \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx = t^3-t + C \)

La parte
b) Hallar la solución general de la ecuación anterior \( x^{'} e^x = (e^x+1)^2 * (3 t^2 - 1) \)

De donde lo que hice fue integrar cada lado:
\( \frac{dx}{d} e^x = (e^x+1)^2 * (3 t^2 - 1)  \)
Entonces
\( \frac{e^x dx}{(e^x+1)^2} = (3 t^2 - 1) dt \)
Entonces
\( \int \frac{e^x dx}{(e^x+1)^2} = \int (3 t^2 - 1) dt \)
Pero \(  \int (3 t^2 - 1) = t^3 - t \)
Y \( \int \frac{e^x dx}{(e^x+1)^2} =
\int \frac{du}{u^2} = - \frac{1}{u} + C =
= -\frac{1}{e^x+1} + C \)

Pero
\(
\int \frac{e^x dx}{(e^x+1)^2} = \int (3 t^2 - 1) dt \)
entonces
\( -\frac{1}{e^x+1} + C =  t^3 - t \)
\( C =  t^3 - t + \frac{1}{e^x+1} \)

Estaba pensando que tal vez deba hacer
\(  e^x = \frac{1}{C -  t^3 + t} \)
Aplicar logaritmo y obtengo:
\(  x = log(| \frac{1}{C -  t^3 + t} |)  \)

Ahora tengo la general
\(  x(t) = log(| \frac{1}{C -  t^3 + t} |)  \)
Y me dice que halle una solucion con la condición inicial:
\( x(0) = log(2) \)
\(  x(0) = log(| \frac{1}{C } |) = log(2) \)
entonces tengo
\( log(| \frac{1}{C } |) = log(2) \)
\(  |\frac{1}{C }|=2 \)
entonces \(  C = \frac{1}{2} \)
¿Esta es la solucion de la ecuacion? O como se supone que debo seguir si ya tengo c

2
Resolví el siguiente ejercicio y quisiera saber si esta bien:

Considere la siguiente ecuación diferencial:
\( x^{'} = sen(x) \)
a) Explique por que si \( x(t) \) es una solucion resulta que \( -x(t) \) y \( x(t)+2\pi \) tammbien son soluciones.
b) Hallar todos los puntos de equilibrio de la ecuacion
c) determinar cuales puntos de equilibrio son estables y cuales no

Mi respuesta:
a)
Como \( sen(x) = sen(x+2\pi) \), se sigue que \( sen(x(t)) = sen(x(t)+2\pi) \)
Entonces \( (x(t))^{'} = sen(x(t)+2\pi) = sen(x(t)) \)
¿Es correcto?
Con respecto a lo de probar que \( -x(t) \) tambien es solucion, no se me ocurrio nada... A no ser que exista algo asi como que \( -sen(x(t))= sen(-x(t)) \)
b)Por definicion un punto \( x(t) \) de la ecuacion \( x^{'} = sen(x)  \) es de equilibrio si \( sen(x(t)) = 0 \)
Entonces tenemos que \( x(t) =  \pi k \) porque \( sen( \pi k) = 0 \)
De donde la funcion en un instante t tiene que ser \( x (t) =  \pi k \)

Ahora calcule t (Haciendo algo que no se si se puede hacer)
\( sen(x) = x^{'} \)
\( sen(x) = \frac{dx}{dt} \)
\( dt = \frac{dx}{sen(x)} \)
\( \int dt =\int  \frac{dx}{sen(x)} \)
\( t = \int sec(x) dx = ln |sec x + tan x| + C \)

Ahora tengo
\( t = - ln |sec x + tan x| + C \) y \( x(t) =  \pi k \)
Entonces
\( x(- ln |sec x + tan x| + C) =  \pi k \)
Y estoy un poco trancado, porque no conozco la función x, solo encontré el punto t

Habia pensado en hacer esta locura:
\( sen(x) = \frac{dx}{dt} \) entonces \( sen x dt = dx \) integrar de ambos lados:
\( sen x* t = x \)
\( (sen x) * - ( ln |sec x + tan x|) + C  = x \)
Pero creo que no puedo integrar de un lado con respecto a t y del otro con respecto a x ¿No? en \( sen x dt = dx \)

c) Si bien no se cual es la funcion \( x(t) \) se que \( sen(k \pi) = 0  \)
Entonces es estable si \( -cos(k \pi) = < 0 \) e inestable si \( -cos(k \pi) = > 0 \)
Lo cual oscila enter -1 y 1 dependiendo de si k es par o k impar. Si es par es intestable pues coseno de un \( k \pi \) con k par es es 1.

El d me dice:
d) Si \( x(t) \) es la solucion con condicion inicial \( x(\pi) = \frac{3\pi}{2} \) calcular su derivada en \( \pi \)
Mi respuesta:
Tengo que \(  x^{'}(t) = sen(x(t)) \) entonces \(  x^{'}(\frac{3\pi}{2}) = sen(\frac{3\pi}{2}) \) ¿Con esto quedaria pronto?

e) Si \( x(t) \) es una solucion tal que \( x(0) \in (0,2\pi) \) ¿Que valores puede tomar el limite \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} x(t) \)

Mi respuesta:
Como \( x(0) \in (0,2\pi) \) el tema es que aca depende de si \( x(0) \in (pi,2\pi) \)  o \( x(0) \in (0,\pi) \)..


3
Ecuaciones diferenciales / Consulta con ecuación diferencial:
« en: 23 Febrero, 2018, 08:20 am »
Tengo la ecuacion diferencial:
\(  t^2 x{'}+2tx = e^t \)
Saco factor comun \(  \frac{1}{t^2} \) y paso multiplicando, obteniendo
\( x{'}+\frac{2}{t}x = \frac{e^t}{t^2} \)
La ecuacion es de la forma
\( y{'} + p(x)  y = q(x) \)
Entonces su solucion es de la forma
\( y(x) = b e^{-A(x)} + e^{-A(x)} \int_a^x q(t) e^{A(t)} d \)
con
\( A(x) = \int_a^x P(t) d \)
Hago el cambio de x = y, e t = x, de donde obtengo \(  x^2 y{'}+2xy = e^x \)
Sustituyendo obtengo
\( y(x) = b * (2a-2x) + (2a-2x) (2x \int_a^x  \frac{e^t}{t^2} -  2a \int_a^x \frac{e^2}{t^2} \)
El problema es que la letra me pide hallar la solución general.
Y acá la hallo en función de a y b arbitrarios. Donde y(a) = b
¿Entonces el ejercicio quedaría resuelto por aca?
El problema es que no entiendo muy bien, porque no tengo ni a, ni b. Pero sé que una solución es \(  \frac{e^t}{t^2} \) La uso para algo?

Y despues, si quiero hallar el limite de \( y(x) \textrm{ con } x \to \infty \) ?

4
Teoría de números / Duda con el algoritmo extendido
« en: 06 Febrero, 2018, 04:19 am »
Hola, tengo que resolver una ecuación de congruencia bastante simple:
\(  3x \equiv 10 (mod 61)  \)

Entonces, hice lo clásico:

Si \(  3x \equiv 10 (mod 61)  \) entonces \(  3x-10 = 61y \) entonces \(   3x - 61y = 10  \)
Como \( mcd(3,61) = 1 \) entonces \(   3x - 61y = 1  \)
A lo que quiero aplicar el algoritmo extendido de Euclides para resolver.
Como mcd(a,b)=mcd(-a,b), puedo suponer que son positivos sin perdida de generalidad, entonces:

\( 3x+61y=1 \)

Entonces,

\( 61 = 3 * 20 + 1 \)
\( 3 = 2 * 1 + 1 \)
\( 2 = 2 * 1 + 0 \)

De donde, en la primera \( 61 - 3 * 20 = 1 \)
Sustituyendo en la segunda \( 3 * 41 - 2 * 61 = 1 \)
Multiplicando por 10
\( 3 * 410 - 20 * 61 = 1 \)
Entonces, obtengo que TEX]x = 410 e y=20[/TEX] son soluciones de la ecuacion \( 3x+61y=1 \)

Entonces,por el teorema de ecuaciones diofánticas tengo que \( (410-61k,20-3k) \) tambien son solucion.
El problema es que he visto que mucha gente coloca la solucion como \( (410+61k,20+3k) \)
¿Hay alguna diferencia entre usarlas de la forma (x+bk,y-ak) y (x-bk,y+ak)?

Para resolver la inicial, tengo \(  x \equiv 410 (mod 61)  \)
Simplemente hago \( 410 (mod 61) = 44 \) De donde despejo que x = 44
¿Esto es correcto?

5
Cálculo 1 variable / Convergencia de una serie
« en: 30 Enero, 2018, 08:29 pm »
Tengo una duda con respecto a la convergencia de: \(  \sum _{n=0}^{\infty }\:\:\frac{sin\left(\frac{1}{n^2+n}\right)}{cos\:\left(\frac{1}{n}\right)\:cos\:\left(\frac{1}{n+1}\right)}\:  \)
Habia pensado usar criterio del cociente, pero no me funciono, alguno tiene alguna idea?
Pero \(  \sum _{n=0}^{\infty \:}\:\:\frac{1}{cos\:\left(\frac{1}{n}\right)\:cos\:\left(\frac{1}{n+1}\right)}\:  \) diverge

6
Cálculo 1 variable / Esta demostración de L'Hôpital ¿Es correcta?
« en: 27 Diciembre, 2017, 03:46 am »
6.3.1 Sea f y g definidas en  \( [a,b]   \), sea  \( f(a) = g(a) = 0   \) y sea  \( g(x) \not= 0   \) para  \( a < x < b  \).

Si f y g son derivables en a y si  \( g'(a) \not= 0  \)

entonces el límite de  \( \frac{f}{g}   \) en a existe y es igual a  \( f'(a)/g'(a)   \), por lo tanto:
\begin{equation}
\displaystyle\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}
\end{equation}


Demostración:

Partimos de  \( \frac{f(x)}{g(x)}  \) para  \( a < x < b   \).
\\
Por hipótesis  \( f(a) = g(a) = 0   \), entonces podemos restar arriba  \( f(a)   \) y abajo  \( g(a)  \) y no afecta a la ecuación pues ambos son iguales a 0.
\begin{equation}
\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}
\end{equation}
Multiplicamos por  \( \frac{x-a}{x-a} = 1  \) , pues multiplicar por 1 no afecta nada.
\begin{equation}
\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{{g(x)-g(a)}}{x-a}}
\end{equation}
Aplicando  \( \displaystyle\lim_{x \to a+}  \)  de ambos lados ( teo 4.2.4 b))se obtiene:
\begin{equation}
\displaystyle\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \displaystyle\lim_{x \to a+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\displaystyle\lim_{x \to a+} \frac{{g(x)-g(a)}}{x-a}} = \frac{f^{'}(a)}{g^{'}(a)}
\end{equation}
QED


Espero haber usado bien el latex.

7
Cálculo 1 variable / Duda con respecto a demostracion de taylor
« en: 03 Agosto, 2017, 07:04 pm »
Estaba leyendo la demostracion de wilkipedia de taylor y me surgio una duda:
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylor
En un momento de la demostracion se define la funcion  \( G(y) = F(y) - (\frac{x-y}{x-a})^{n+1} * F(a) \), donde \( F(x) \) es el polinomio de taylor de orden n de la funcion.
Y me dice que \(  G^{'}(y) = F^{'}(y) + (n+1)*(\frac{(x-y)^{n}}{(x-a)^{n+1}})  *  F(a)  \)
Pero yo pienso que la derivada de la funcion de arriba es:
\( G(y) = F^{'}(y) + (n+1) (\frac{x-y}{x-a})^{n} * F(a) \)
Realmente estoy confundido, porque ademas si yo saco la constante \( (\frac{x-y}{x-a})^{n+1} = \mbox{ ahora derivo } \frac{(x-y)^{n+1}}{(x-a)^{n+1}}
 (x-y)^{n+1} * \frac{1}{(x-a)^{n+1}} =  (n+1) * (x-y)^{n} * -1 * \frac{1}{(x-a)^{n+1}} \\ \)

8
Tutoriales y fórmulas con LaTeX / Crear notas en latex
« en: 10 Julio, 2017, 05:04 pm »
A la hora de crear "notas"/"apuntes" de un curso, (Me refiero a notas de este estilo https://www.fing.edu.uy/~anagon/notas-curso-2014.pdf), ¿Que tipo de documento usar? Actualmente me encuentro utilizando \documentclass book pero no se si es la mas indicada.
La otra duda que me surgió es sobre los tipos de letras, ¿Hay alguna forma de definir un tipo de letra para todo el documento? Porque solo he podido hacerlo parcialmente

9
Tutoriales y fórmulas con LaTeX / Colocar texto dentro de latex
« en: 09 Junio, 2017, 07:13 pm »
Actualmente estoy usando TeXWorks y tengo el siguiente problema:
Cuando coloco el codigo
Uso begin equation:
0 \leq X_n \leq Y_n para n \geq K

\begin{equation}
0 \leq X_n \leq Y_n para n \geq K
\end{equation}

Me queda el texto todo junto, y quisiera que me queda separado a la izquierda, he probado con alinearlo, y con espacios pero latex no me lo reconoce, seria de gran ayuda si alguien me dijiera como se hace. Muchas gracias


10
Mi problema consiste en lo siguiente tengo la siguiente sucesión:

    \(  X_1 = 1 , X_2 = 2, X_n = \frac{1}{2} * (X_{n-1}+X_{n-2})  \)

Debo de probar que \(  1 \leq X_n \leq 2 \) a simple vista podemos ver que es el promedio de un nuúmero que está entre 2 y 4 entonces, claramente va a ser menor o igual.

El problema está al probarlo por inducción:

Tomo el paso base para \( k = 3 , X_3 = \frac{3}{2} \)

Hipótesis: \( X_k \leq 2 \)

Empiezo con inducción y llego : \( X_{k+1} = \frac{X_k + X_{k-1}}{2} \)

Como \( X_k \leq 2 \) entonces cambio \( X_k \) por 2
 \( X_{k+1} = \frac{2 + X_{k-1}}{2} \)
Entonces
 \( X_{k+1} = \frac{X_{k-1}}{2} + 1 \)
Y acá me tranco, si alguien pudiera ayudarme, sería de gran ayuda.

También puedo ver que como es un promedio \( | X_{n} - X_{n+1} | = \frac{1}{2^{n-1}} \) pero no se me ocurre como demostrarlo.

11
"Sabiendo que el resto de la división de un entero \( a \) por 18 es 5, calcular el resto de:

la división de \( a^2-3a+11 \)  por 18.

Lo que hice fue lo siguiente:
Dije:\(   a = 18 * q + 5  \)
Lo sustituí llegando al resultado:
\( a^2-3a+11 = q (324 q + 126) + 21  \)
Lo cual es de la forma de la definición de división entera. a = q * b + r
\(  q (324 q + 126) + 21  \)
Como el resto es 21, y se divide entre 18, le aplique modulo 18 y me da como resultado 3.
dando como resultado 3, pero no se hasta que punto es correcto. ¿Alguien sabe si esta bien resuelto?

12
Hola, tengo el siguiente problema, le puse una etiqueta (\label{} a una ecuación, pero cuando le hago referencia me aparecen "??" como que no la encuentra, dejo el código (Sin los espacio en "be gin" "en d" y "\ ref":

\begin{equation}
 ( r_2 - r_1) = d (q_1 - q_2)   \label{ecuacion8}
\end{equation}
De la ecuacion \ref{ecuacion8} obtenemos que $d$ divide a $( r_2 - r_1)$

13
Bien, he intentado resolver 4 ejercicios de congruencia de un libro, y me estan costando saber si la manera de resolverlos es valida o debo de trabajar mas:

Primer ejercicio: Tengo que probar que para cualquier \( n  \) natural impar se cumple que \( 8|n^2-1  \):

Lo hago por inducción completa

Base inductiva: Para n= 1 es trivial que se cumple 8|0

Si \( 8 |n^2-1  \), entonces \( n^2-1 = 8 * h \), como es para naturales impares, es para los n de la forma \( 2n+1  \) sustituimos en \( n^2-1 = 8 *h \) dando lugar a \( 4 n^2 + 4 n = 8 * h \)

Hipotesis: \( 4 k^2 + 4 k = 8 * y \) 

Pruebo para k+1:  \(   4 k^2 + 12 k + 8 = 8 * d  \)

\(  12k = 4k + 8k   \)

Entonces:\(   4 k^2 + 4k +8 k + 8 = 8 * d  \)

Sustituyo la hipotesis: \(   8 * y +8 k + 8 = 8 * d  \)

Sacamos factor comun 8:
\(   8 ( y + k + 1) = 8 * d  \)

Entonces no queda probado, el problema esta, en que ahora tengo que probarlo por congruencia, pero me he trancado:

Para ello dije bueno, si \( 8|n^2-1  \) , entonces \( n^2 \equiv 1 mod 8  \):
Entonces no se me ocurre muy bien que aplicar.

El segundo ejercicio constaba en probar que para todo natural n se cumple que \(  3 | 7^n - 4^n  \)
Lo mismo que antes \(  7^n - 4^n  = 3*h  \)
El problema fue que al probar para k+1 llegue a 
\( 7^{k+1} - 4^{k+1} = 3 * d  \)
\( 7^k * 7  - 4^{k+1} = 3 * d \)
\( 7^k * (3+4)  - 4^{k+1} = 3 * d  \)
\( 7^k * 3 + 7^k *4  - 4^{k+1} = 3 * d  \)
\( 7^k * 3 +  4 * (7^k  - 4^k) = 3 * d  \)
Tambien se me habia ocurrido aplicar un teorema del binomio con\(  (3+4)^{k+1}  \)pero no se que tan viable es
Y por congruencia, me tranco en exactamente lo mismo que en la anterior    \(  7^n \equiv 4^n mod 3  \)

El tercero me pide: Determinar el conjunto de los numeros naturales n para los cuales vale que \(  2^n < 2! \) entonces, yo lo que hice fue probar por tanteo, ir dandoles valor hasta llegar a 4, el cual lo cumplia. Pero el problema es que no se si al llegar, tengo que probarlo de haciendo \(  4 + k  \) con \(   k > 1  \) , o simplemente al encontrarlo, por el principio de buena ordenacion queda justificado.

Y el cuarto ejercicio: Tengo que probar que si p es primo, \( (a+b)^p \equiv a^p + b^p \) mod n
Y me tranco en exactamente lo mismo que los demas, no se que hacer... Creo que la idea estaria en probar que \(  (\overline{a} + \overline{b})^p = \overline{a}^p + \overline{b}^p \)


14
Estaba leyendo una demostracion de el principio de inclucion y exclucion, y me he trancado cuando utiliza una identidad:

Sacamos de factor comun (-1) apartir del segundo termino, dando como resultado:

\( \displaystyle{\binom{t}{0} - \left( \binom{t}{0} - \binom{t}{1} + \binom{t}{2} - \binom{t}{3} + \binom{t}{4} + ... + (-1)^{n+1} \binom{t}{t}\right ) } \)

Pero: \( \displaystyle\left( \binom{t}{0} - \binom{t}{1} + \binom{t}{2} - \binom{t}{3} + \binom{t}{4} + ... + (-1)^{n+1} \binom{t}{t} \right) = (1-1)^t  \)

Esto nos da como resultado:

\( \displaystyle \binom{t}{0} - (1-1)^t =\displaystyle \binom{t}{0} = 1 \)

En esa parte, cuando dice que Pero: \( \displaystyle\left( \binom{t}{0} - \binom{t}{1} + \binom{t}{2} - \binom{t}{3} + \binom{t}{4} + ... + (-1)^{n+1} \binom{t}{t} \right)  \) es igual a \(  (1-1)^t  \)
¿De donde surge esto? Tengo la sensacion de que es por el teorema del binomio, pero no se justificarlo.
Si aplico el teorema del binomio para a = 1 y b = -1, obtengo:
\(  (1-1)^t = \displaystyle\sum_{i=0}^{t} \binom{t}{i} 1^i (-1)^{t-i} \)

15
Teoría de grafos / Duda con respecto a aristas en grafo nulo
« en: 26 Enero, 2017, 10:07 pm »
Como sabemos, si un grafo es nulo, quiere decir que su conjunto de vértices, es vacío. En otras palabras, no tiene ni vértices ni aristas. Pero, las aristas de un grafo, no son más que la relaciones que existen entre sus elementos, entonces, mi duda es: ¿Por qué no tiene aristas? Ya que aunque no existen elementos, sigue existiendo una relación, la relac[ib]ó[/b]n vacía, esa no podría ser considerado como arista?
Vieron que generalmente se pide en los teoremas de grafo:
Sea \(  V  \) un conjunto finito no vacío. Y sea \(  E \subseteq V \times V  \)

16
Matemática Discreta y Algoritmos / Bibliografía de congruencia
« en: 25 Enero, 2017, 05:34 pm »
Estoy en busca de una bibliografía sobre congruencia, ya he leído el Grimaldi, pero solo la sección 14.3 habla sobre eso y muy poco.
Y el Johnsonbaugh apenas lo nombra.
Particularmente no me quedó en claro el tema del inverso multiplicativo y por qué se halla como se halla.
¿Alguien conoce algunas notas/libro que abarque el tema? (Mientras más completo mejor)

17
Partimos de \( 11 - (-5) = 16 \) 16 se puede escribir como \( 2 * 8 \) 
entonces, en la igualdad inicial restamos 5 de ambos lados  \( 11 (- (-5)) - 5 = 16 - 5 \)
lo cual nos deja con \( 11 = 16 - 5 \) pero 16 se escribe como \( 8*2 \) dando como resultado  \( 11 = -5 + 2 * 8 \)
así obtenemos una expresión de la forma de la definición: \( a = b + kn \) entonces a = 11 , b = -5 y el módulo es 8.
entonces
\( 11 \equiv -5 \pmod{8} \)
Pero si yo tomo la ecuación a la que llegué: \( 11 = -5 + 2 * 8 \)
Y escribo 8 = 2 * 4, eso me deja
\( 11 = -5 + 2 * 2 * 4 \)
Uno los factores de 2*2
\( 11 = -5 + 4 * 4 \)
Eso me deja que -5 es congruente con 11 módulo 4 lo cual no es correcto. Ya que el resto de dividir 11 entre 4 es 3 y el de dividir -5 entre 4 es -1

18
Título corregido: Duda con respecto a funciones generatricez y suceciones

Estaba haciendo un razonamiento paralelo al libro, que es el siguiente:
 \(  1 = (1-x) (1+x+x^2+x^3+x^4+...)  \)
Ya que al realizar la separacion correspondiente nos queda:
 \( 1 *(1+x+x^2+x^3+x^4+...) - x * (1+x+x^2+x^3+x^4+...)  \)
lo que es igual a
 \( (1+x+x^2+x^3+x^4+...) - (x+x^2+x^3+x^4+x^5...)  \)
Luego de esa resta, lo que hay desde x para adelante en ambos terminos es lo mismo, por lo tanto se van

 \( (1+ \xcancel{x+x^2+x^3+x^4+...}) - (\xcancel{x+x^2+x^3+x^4+x^5...}) = 1  \)
Por lo tanto, el resultado luego de cancelar es 1.

 \(  1 = (1-x) (1+x+x^2+x^3+x^4+...)  \)
Dividimos en ambos lados de la formula por  \( (1-x)  \), dando lugar a :
 \(  \frac{1}{1-x} = (1+x+x^2+x^3+x^4+...)  \)
El problema esta aca, yo conclui que era la funcion generatriz para la sucecion de infinitos 1. Pero el libro dice que:
"entonces, obtenemos que  \( \frac{1}{1-x}  \) es la funcion generatriz para la sucecion  \( 1,1,1,1,...\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ...  \)" Coloca ese \(  \frac{1}{1-x}  \) que por alguna razon no entiendo.

Otra cosa que me inquieta es que dice que esta formula es valida para todos los reales x tales que \(  |x| < 1 \) pero no seria todos los reales con x distinto de 1?

19
Debo de hallar la cantidad de palabras que se pueden formar utilizando las letras de la palabra casas de tal modo, que "c" es una palabra, "caa" es otra, pero "cac" no lo es.

El problema esta en que, no logro hacerlo del todo bien, he probado distintas tácticas y ninguna me sirve.

Primero dije, calculo por partes, primero las de 5, las de 4,3,2,1 y regla de la suma:
Las de 5 letras serian: \( \frac{5!}{2!2!} \)
Las de una letra, claramente serian: 3
Para la de dos letras, elimine 2 ramas enteras repetidas: \( 5*4 - ( \frac{5*4}{5} *2) - 4 \) y me dio que se pueden formar 8 palabras de dos letras.
El problema es que para 3 y 4, no se me ocurre como.
Lo hice manualmente y medio 89.
A alguien se le ocurre como realizar esto?

20
Tengo la sensación de haber preguntado esto hoy a la mañana, pero busco, y no encuentro el mensaje. Estaba estudiando en el libro el principio de inclusión y exclusión, y me he topado con un problema, no entiendo esta condición:

Observemos ahora lo siguiente:

\( A_1\cap A_2=\{x: \exists n\in \mathbb{Z}^+;\,x=n^2\textsf{ y } x=n^3\}=\{x:\exists n\in \mathbb{Z};\, x=n^6\} \)

¿Por que tiene que ser \( x = n^6 \)? por lo que entendi, multiplico \( n^2\cdot n^3 \) pero, porque?

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