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Temas - Masacroso

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1
Leyendo un libro sobre álgebra exterior y otros tipos de álgebras "similares" vi unos pasajes que me dieron algunas ideas, y es que si tenemos un espacio vectorial \( V \) de dimensión \( n \) entonces si \( \omega \in \bigwedge^k V^* \) entonces esta forma multilineal antisimétrica induce un funcional lineal en \( \bigwedge^k V \), es decir que \( \omega(x_1,\ldots ,x_k) \) puede entenderse como un funcional lineal \( \omega(x_1\wedge x_2\wedge \ldots \wedge x_k) \).

Entonces si tenemos una carta \( (\varphi ,U) \) en una variedad diferencial \( M \) de dimensión \( n \), una forma de entender la integral de una forma diferencial es como una "función de densidad" que a cada vector-volumen \( x\in \bigwedge^n TM \) le asigna un valor escalar. Entonces al ser \( \partial \varphi_1,\ldots ,\partial \varphi _n  \) un frame local en \( TM \) la integral \( \int_U \omega=\int_{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^*\omega   \) puede entenderse como la "suma" de los valores \( \omega(\partial \varphi_1\wedge \partial \varphi _2\wedge  \ldots \wedge \partial \varphi _n) \), lo cual es muy intuitivo siempre que entendamos \( \partial \varphi_1\wedge \partial \varphi _2\wedge  \ldots \wedge \partial \varphi _n \) como una noción de vector-volumen en \( \bigwedge^n TM \).

¿Os parece esta forma de entender la integración de formas diferenciales suficientemente correcta? Lo pregunto porque no lo he visto en ninguna parte.

2
Los últimos vídeos del canal del divulgador Javier Santaolalla me han gustado mucho por lo que me siento impelido a compartir los enlaces por si a alguien le interesa el tema. Bueno, en verdad el protagonista de los vídeos es un profesor de física, también divulgador, llamado José Edelstein, cuya especialidad es la teoría de cuerdas. En estos vídeos expone brevemente la historia de tal teoría, desde sus orígenes en la década de los 70 del siglo pasado hasta los avances actuales que "culminan" con la conjetura de Maldacena formulada en 1997.

Bien, aunque no se especifica mucho pareciera que la conjetura de Maldacena es la supuesta identidad entre dos modelos simplificados de la teoría de cuerdas, uno con una dimensión más y gravedad, y el otro con una dimensión menor y sin gravedad. En el siguiente enlace pueden ver los vídeos por si les interesa:

https://youtube.com/playlist?list=PL4i0d8i6gL3JJAQOhx1f1lqZsjV9QXo6s

Esta noche, a las 21:21, entrevistan al propio Maldacena en el mismo canal de youtube.

P.D.: no sabía si poner el tema en el subforo de física o en el general, al final me he decidido por este último al ser un tema más bien de divulgación más que de problemas de física. Pero si creen que mejor en el de física pueden moverlo allí.

3
He encontrado este curioso ejercicio en un libro de análisis complejo, y dice así: supongamos que tenemos el siguiente subconjunto del plano complejo

 [attachment id=0 msg=459802]

Si extendemos analíticamente la función logaritmo en tal subconjunto, empezando desde \( \log 1=0 \), ¿cuál es el valor de \( \log(3i) \)?

En spoiler lo que entiendo es la solución:

Spoiler
La analiticidad depende de la función argumento, y como ésta debe ser continua entonces el valor del argumento se incrementa a través del subconjunto conforme vamos girando, así que supongo que \( \log(3i)=\log 3+ i(4\pi+\pi/2) \), es decir, damos dos vueltas y cuarto, de ahí el valor del argumento.
[cerrar]

4
Off-topic / Wolfram, epistemología y Javier Santaolalla
« en: 05 Diciembre, 2020, 04:08 am »
Buenas, el penúltimo vídeo de Javier Santaolalla me ha parecido más interesante de lo normal. En él expone una de las ideas de Wolfram y, lo que es más interesante, abre un debate histórico y epistemológico sobre el desarrollo de la ciencia. Dejo el vídeo en cuestión:


Vosotros que pensáis, ¿está la física en un callejón sin salida? ¿Y las matemáticas? Me refiero a que no parece que haya mucho avance en física, y en matemáticas desde luego no hay el mismo avance que hubo en los dos siglos anteriores. ¿Hay estancamiento? A mí me parece que sí, que bastante, en comparación a los dos últimos siglos. Claro que, se podría pensar, que los dos últimos siglos fueron excepcionales, en parte debido a la revolución industrial. Abro debate.

5
Probabilidad / ¿El tiempo estimado de llegada es el demonio?
« en: 22 Noviembre, 2020, 09:02 am »
Hay un problema de probabilidad, que se me ocurrió hace unos días, que me trae de cabeza, no llega a producirme pesadillas pero casi  ::). Sea \( \{X_n\}_{n\in \mathbb N} \) una sucesión de variables aleatorias, idénticamente distribuidas e independientes, con distribución uniforme en \( [-1,1] \), si definimos \( S_n:=\sum_{k=1}^n X_k \) entonces la sucesión \( \{S_n\}_{n\in \mathbb N} \) define un camino aleatorio, discreto en el tiempo pero continuo en el espacio. Dado un \( s>0 \) definimos el tiempo de llegada \( T:=\min\{n: S_n>s\} \).

Ahora, lo que me trae de cabeza es que no veo forma sencilla de hallar, aunque sea de manera asintótica, con una serie o una sucesión, el tiempo medio de llegada, es decir \( \operatorname{E}[T] \). He leído en algunos libros que si los \( X_k \) tuviesen distribución de Rademacher en vez de uniforme (es decir, de Bernoulli con misma probabilidad de alcanzar uno o menos uno) entonces el tiempo estimado de llegada es infinito para \( s=1 \), sin embargo en el caso que quiero tratar las simulaciones por ordenador parecen mostrar que es finito y distinto de cero cuando \( s=1 \), y es aproximadamente \( 5,3 \). A todo lo que he llegado, de momento, es a hacer el siguiente planteamiento teórico

\( \displaystyle{
\operatorname{E}[T]=\sum_{k\geqslant 0}\Pr [T>k]=\sum_{k\geqslant 0}\Pr \left[\bigcap_{j=1}^kS_{j}\leqslant s\right]=\sum_{k\geqslant 0}\prod_{j=1}^k \Pr [S_{j}\leqslant s|S_{j-1}\leqslant s]\\
=\sum_{k\geqslant 0}\prod_{j=1}^k\int_{(-\infty ,s]} \Pr [S_j\leqslant s|S_{j-1}=x]\mathop{}\!d F_{S_{j-1}}(x)=\sum_{k\geqslant 0}\prod_{j=1}^k\int_{(-\infty ,s]} \Pr [X_j\leqslant s-x]\mathop{}\!d F_{S_{j-1}}(x)
} \)

donde debe entenderse que \( \int_{(-\infty ,s]}\Pr [X_1\leqslant s-x] \mathop{}\!dF_{S_0}(x)=\Pr [X_1\leqslant s]  \). La distribución de cada \( S_n \) es una convolución y adopta una forma bastante fea su densidad, es una variación de la densidad de las distribuciones de Irvin-Hall.

Dejo esto por si a alguien más le atrae el problema, quiere aportar algo o meterle mano.



Añado: se me acaba de ocurrir otra idea, y es ver computacionalmente qué forma adopta la distribución de \( T \), y ver si se ajusta mucho a una distribución conocida, lo cual me puede dar pistas para ver si hay alguna manera de calcular analíticamente el tiempo medio de llegada.



Corrección: hay un error en la aproximación computacional que había realizado, ésta era para el tiempo de llegada dado por \( T:=\min\{n:|S_n|>1\} \). Luego miro a ver si con \( T:=\min\{n:S_n>1\} \) la aproximación computacional converge a algo o, si por el contrario, diverge a infinito.

6
He visto un ejercicio chorra de probabilidad en MSE que me ha parecido interesante, lo comparto por si alguien quiere intentarlo, es aplicación del teorema de Bayes y "algo más" :). Dice así:

Supongamos que tenemos un generador de bits aleatorios con probabilidad \( p\in(0,1) \) conocida de que salga uno (y probabilidad \( 1-p \) de que salga cero). Se considera que el generador está roto si sólo produce unos. Ahora la pregunta del millón: dado un \( \epsilon >0 \) arbitrario, ¿cuál es la cantidad mínima de unos seguidos que deben producirse para considerar que la probabilidad de que el generador no esté roto sea menor a \( \epsilon  \)?

7
Traigo una pregunta que vi esta mañana en MSE y me ha dejado "en shock", al plantear algo imposible pero que, al menos a mí, me resulta difícil dilucidar sus causas. Dice así:

Sea \( \{X_n\} \) una sucesión de variables aleatorias con varianza finita e idénticamente distribuidas bajo la medida de probabilidad \( P \). Entonces una de las versiones de la ley fuerte de los grandes números nos dice que "la media muestral" \( \bar X_n:=\tfrac1n\sum_{k=1}^nX_k \) converge hacia la "media teórica" \( \mathrm{E}_P[X_1] \) casi seguro.

Ahora viene el intríngulis: si tenemos otra medida de probabilidad \( Q \) que es equivalente a \( P \) como medida, es decir que un conjunto medible es nulo solo si lo es para ambas medidas a la vez, y que \( f:=\frac{\mathop{}\!d Q}{\mathop{}\!d P}\in L^2(P) \), entonces tenemos que \( \bar X_n \) también converge casi seguro a la media \( \mathrm{E}_Q[X_1] \), definida por la medida \( Q \).

Hay un error oculto (o no tanto para miradas audaces ;)) en el planteamiento de arriba, la posible solución (aunque sin demostración) esgrimida en MSE abajo en spoiler:

Spoiler
Notar que \( \mathrm{E}_P[X_1]=\mathrm{E}_Q[X_1] \) no es cierto en general, como puede comprobarse fácilmente tomando por ejemplo la medida de Lebesgue en \( [0,1] \) y la medida equivalente \( 2x\mathop{}\!d x  \) y una variable aleatoria como \( X(t):=t \) en ese espacio de probabilidad. El error parece estar en asumir que, bajo otra medida equivalente \( Q \), la sucesión \( \{X_n\} \) sigue siendo independiente e idénticamente distribuida.
[cerrar]

8
Probabilidad / Límite de una sucesión de probabilidades
« en: 20 Septiembre, 2020, 10:37 am »
Me he encontrado un problema que no sé si tiene fácil solución o si es resoluble. Dice así: supongamos que tiramos un dado un número infinito de veces y llamamos \( p_n \) a la probabilidad de que \( n \) aparezca en la sucesión de sumas parciales de haber tirado los dados. ¿Es posible hallar el valor de \( \lim_{n\to\infty}p_n \)?

Ojo que no sé si esto es resoluble más allá de una aproximación numérica. Lo dejo aquí por si alguien sabe cómo resolverlo o al menos decir si la solución es finita y desconocida.

Sé como calcular los valores de \( p_n \) pero es bastante aparatoso y no aclara nada, es decir, no es fácil de ver si la sucesión de \( p_n \) converge a algo.

9
Foro general / El teorema de las disecciones de Dudney
« en: 14 Septiembre, 2020, 10:52 pm »
Os dejo este vídeo que han subido hoy a uno de mis canales de youtube favoritos de matemáticas, seguro os gustará:


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Dudas y sugerencias del foro / El operador \sen no funciona del todo bien
« en: 03 Septiembre, 2020, 02:50 am »
Pues eso: he observado que si escribimos \sen x se representa como \( \sen x \), es decir, no hay espacio entre la n y la x porque quizá haya sido definida como

Código: [Seleccionar]
\newcommand{\sen}{\rm sen}
o

Código: [Seleccionar]
\newcommand{\sen}{\text{sen}}
o alguna otra cosa semejante. La forma más sencilla y adecuada de definir la función seno sería con algo como

Código: [Seleccionar]
\newcommand{\sen}{\operatorname{sen}}
Con ese comando los espacios entre el nombre de la función y otros elementos es el adecuado. La definición actual debe estar en el archivo de configuración de mathjax de la página web, si no me equivoco.

11
Off-topic / Una forma "paradójica" de concretizar lo abstracto
« en: 12 Agosto, 2020, 03:19 pm »
He descubierto una cosa muy curiosa que desconocía por completo sobre las abstracciones, y es que éstas, en cierta manera, siempre son relativas. Vamos a los detalles, que aquí lo son todo: resulta que me he puesto a estudiar (de nuevo) álgebra abstracta (todo esto a raíz de que me molestaba bastante el no tener un entendimiento suficientemente "intuitivo" del álgebra exterior, es decir, en particular de las razones por las que la noción de volumen está relacionada con un mapa multilineal antisimétrico, las intuiciones y explicaciones habituales sobre este tema me son insuficientes), pero ya había estudiado álgebra abstracta hace años, lo que pasa es que siempre he tendido a olvidarla a pesar de hacer muchas demostraciones y ejercicios, y la razón de esta tendencia es que es demasiado poco intuitiva, demasiado formal y poco visual. En definitiva: demasiado abstracta (como su propio nombre indica).

Pero esta vez para su estudio decidí escoger un camino menos tradicional y me he puesto con el libro de Paolo Aluffi que enseña esta disciplina desde un punto de vista esencialmente categorial. Mi sorpresa es que, si bien al principio tuve que esforzarme hasta que entendí bien el tema de las categorías (al menos en lo básico), después de eso el álgebra abstracta dejó de ser tan abstracta por lo que mi capacidad de entendimiento aumentó notablemente.

Y aquí viene la cuestión del tema: dejó de ser abstracta (o perdió gran parte de su abstracción) precisamente por estudiarla desde un contexto mucho más abstracto aún como es la teoría de las categorías. Y he aquí mi descubrimiento: la abstracción de algo es una percepción relativa a un contexto, como no podía ser de otro modo, que aunque parezca una perogrullada no es algo evidente en inicio, o al menos no para mí. Por tanto hay varias maneras de concretizar un tema: uno es dando ejemplos concretos, para tener una idea de a qué se refiere aquél objeto abstracto del que se habla (dar casos particulares), y la otra manera es dotar a una materia abstracta de un contexto mucho más abstracto aún, de tal forma que las abstracciones primeras aparezcan como concreciones o casos particulares de las segundas.

En definitiva vuelvo a descubrir (como ya comenté en otros hilos anteriormente) que para mí el entender algo se reduce a tener un buen contexto sobre el objeto de estudio: de poco me sirve estudiar algo poco contextualizado, o me rinde muchísimo menos, lo que no sabía es que se puede concretizar lo abstracto mirando desde más arriba, como es el caso que relato en este hilo.

Bueno, eso es lo que quería compartir, espero que a alguien le resulte útil o interesante. Cualquier queja sobre el asunto que hablen antes con mi abogado  :P

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Tengo una idea para mejorar la velocidad de carga de la web, lo cual sería interesante para aquellos que suelen postear desde el móvil. La idea es bastante simple, y es dar la opción en las preferencias del foro de utilizar KaTeX como renderizador de las fórmulas de LaTeX en vez de MathJaX:

https://katex.org/

El renderizado en KaTeX es muchísimo más rápido que en MathJaX (como poco cuatro veces más rápido).

Dicho esto habría algunos inconvenientes ya que KaTeX no soporta todas las construcciones de MathJaX pero sí la inmensa mayoría de ellas. Aparte de eso habría que parchear manualmente el plugin de KaTeX para que adapte algunas (muy pocas en verdad) de los comandos que utiliza y hacer las expresiones de LaTeX ya escritas compatibles con KaTeX, me explico, en KaTeX se utiliza "aligned" en vez de "align*" para construir ecuaciones alineadas, que yo sepa aligned no existe en MathJaX ni align* en KaTeX pero hacen básicamente lo mismo.

Para el uso común que se hace de MathJaX en este foro apenas se notaría la diferencia.



EDICIÓN: añado un enlace donde se puede ver una comparativa en velocidad de renderizado entre KaTeX, MathJaX 2.7 y MathJaX 3.0:

https://www.intmath.com/cg5/katex-mathjax-comparison.php

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Propuestos por todos / ¿Qué distribución es ésta?
« en: 25 Abril, 2020, 09:16 am »
Me he encontrado un ejercicio de teoría de probabilidad que me ha parecido interesante.

Sea \( E \) un conjunto finito con la topología discreta y con \( \sigma  \)-álgebra de Borel (es decir el conjunto potencia en este caso). Entonces podemos definir una medida de probabilidad en \( E \) por \( \mu _p:=\sum_{k=1}^{\# E}p_k \delta _{x_k} \) donde

  • \( \# E \) es la cardinalidad del conjunto \( E \)
  • \( p=(p_1,p_2,\ldots ,p_{\# E}) \) es un vector de probabilidad (es decir que sus coordenadas \( p_k \) toman valores en \( [0,1] \) y \( \sum_{k=1}^{\# E}p_k=1 \))
  • los \( x_k \) son los elementos del conjunto \( E \), donde \( k\in\{1,\ldots ,\# E\} \)
  • \( \delta _y(A) :=\mathbf{1}_{A}(y ) \) es simplemente la medida de Dirac asociada al punto \( y \in E \)

Ahora definimos la topología producto en \( E^{\mathbb{N}}:= \prod_{k\geqslant 1}E_k \), donde \( E_k=E \) para todo \( k\in \mathbb{N} \), y la correspondiente \( \sigma  \)-álgebra de Borel. También definimos la medida producto generada a partir de \( \mu _p \), sea esta medida producto \( P:= \prod_{k\geqslant 1}\mu _{k,p} \) donde \(  \mu _{k,p}= \mu _p \) para todo \( k \in \mathbb{N} \). Se puede verificar que \( P \) es una medida de probabilidad en \( E^{\mathbb{N}} \) al igual que \( \mu _p \) lo es en \( E \).

Ahora tomamos \( E:=\{0,1\} \) y \( \mu _p \) la medida de Bernoulli con \( p=(1/2,1/2) \), y finalmente definimos la variable aleatoria \( X:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to [0,1] \) como \( X:= \sum_{k\geqslant 1}2^{-k}X_k \) donde cada \( X_k(y):=y_k \) es la proyección de la sucesión \( y\in \{0,1\}^{\mathbb{N}} \) a su \( k \)-ésima coordenada.

Ahora, la pregunta del millón: ¿cuál es la distribución de \( X \)? Es decir: ¿cuál es la medida inducida en \( [0,1] \) por \( X \)?

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Off-topic / ¡El coronavirus atacó al rincón matemático!
« en: 16 Marzo, 2020, 01:39 am »
¿Qué pasó hoy con el servidor de rinconmatematico? ¿Fue atacado por el coronavirus?  :o

Intenté conectarme varias veces a lo largo del día pero no hubo manera.

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Propuestos por todos / Hallar polinomio armónico
« en: 13 Febrero, 2020, 02:08 am »
He encontrado un ejercicio que me ha parecido muy interesante, dice así:

Sea \( f:S\to \Bbb R ,\, (x,y)\mapsto x^4y \) donde \( S:=\{(x,y)\in \Bbb R ^2:x^2+y^2=1\} \). Hallar un polinomio armónico \( p:\Bbb R ^2\to \Bbb R  \) tal que \( p|_S=f \).

Pista
La parte real o imaginaria de una función holomorfa es una función armónica.
[cerrar]

16
Hace unos días me asaltó una duda existencial: el teorema de Stolz-Cesáro y el de L'Hôpital se pueden ver bajo el prisma de la teoría de la medida y la derivada de Radon-Nikodym respecto de las medidas de Lebesgue y la de conteo, es decir, sean \( f,g:X\to \Bbb R  \) continuas y localmente integrables, \( g> 0 \) y \( (x_n)\to x\in\overline{X} \), y por último supongamos que

\( \displaystyle{
\lim_{n\to \infty }\int_a^{x_n}f\,\mathrm d \mu =\lim_{n\to \infty }\int_a^{x_n}g\,\mathrm d \mu =0,\quad \text{ o sino }\quad \lim_{n\to \infty }\int_a^{x_n}g\,\mathrm d \mu =\pm\infty \tag1
} \)

donde \( a<x_n \) para todo \( n \in \Bbb N  \). Entonces se cumple que

\( \displaystyle{
\lim_{n\to \infty }\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=L\in X \implies \lim_{n\to \infty }\frac{\int_a^{x_n}f\,\mathrm d \mu }{\int_a^{x_n}g\,\mathrm d \mu }=L\tag2
} \)

donde \( X \) es un intervalo abierto en \( \Bbb Z \) o en \( \Bbb R  \), y \( \mu  \) es o bien la medida de conteo (en el caso de \( X\subset \Bbb Z \)) o bien la medida de Lebesgue (en el caso de \( X\subset \Bbb R  \)). El primer caso, si no hay error, es una reformulación del teorema de Stolz-Cesàro, y el segundo una reformulación del teorema de L'Hôpital. No he observado si el teorema se sigue cumpliendo (ni en qué condiciones) para una medida arbitraria de Lebesgue-Stieltjes y, además, lo interesante es buscar un operador derivada que generalice el operador \( \Delta  \) (derivada finita) y la derivada estándar, para tener un teorema más práctico.

Entonces yo buscaba una generalización del teorema en el cual los teoremas de Stolz-Cesàro y L'Hôpital apareciesen como casos particulares. Esto me llevó a una pequeña investigación y al descubrimiento del cálculo en escalas de tiempo y las derivadas respecto de una función, que es parte de lo que quería comentar en el tema: una escala de tiempo es un dominio de una función real que es un conjunto cerrado de \( \Bbb R  \), y sobre este tipo de funciones se ha desarrollado todo un cálculo (cálculo en escalas de tiempo, hay bastante bibliografía sobre el tema ya que parece que tiene muchas aplicaciones prácticas) con derivadas, integrales, teoremas análogos de análisis real de una variable (del valor medio, del valor intermedio, del teorema de Rolle, de Taylor, una desigualdad de L'Hôpital, etc...).

Indagando más encontré un concepto muy poderoso que simplifica toda la teoría de escalas de tiempo: la derivada respecto de una función. Sea \( h:\Bbb R \to \Bbb R  \) una función monótona y contínua por la derecha (o por la izquierda), entonces la derivada de \( f:\Bbb R \to \Bbb R  \) respecto de \( h \) en un punto \( x \) se define como

\( \displaystyle{
f'_h(x):=\begin{cases}
\lim_{y\to x}\frac{f(x)-f(y)}{h(x)-h(y)},&\text{ si }h\text{ es continua en }x\\
\lim_{y\to x^-}\frac{f(x)-f(y)}{h(x)-h(y)},&\text{ otra cosa }
\end{cases}\tag3
} \)

y cambiando el límite lateral si asumimos que \( h \) es continua por la izquierda. Aquí viene lo interesante: esta \( h \)-derivada es la derivada de Radon-Nikodym cuando \( f \) es absolutamente continua respecto de \( h \) (que es la generalización obvia de ser absolutamente continua respecto de \( x \)), y es equivalente a la derivada en el cálculo en escalas de tiempo (bajo un simple cambio de variable) por lo que permite utilizar toda la teoría de la medida en el cálculo en escalas de tiempo sin más complicación.

Ahora: las condiciones cuando \( f'_h \) es una derivada de Radon-Nikodym nos permiten pensar el teorema \( \mathrm{(2)}  \) en términos de derivadas si se dan las condiciones adecuadas, lo cual es más práctico. Me queda por comprobar si el teorema de L'Hôpital se cumple en esos casos también, y cuándo no se cumple. Como mencioné antes hay un teorema de desigualdades de L'Hôpital en el cálculo de escalas de tiempo, así que tendría que trasladar el teorema al contexto de la \( h \)-derivada y ver en que condiciones es una igualdad.

Es decir: la generalización de \( \mathrm{(2)}  \) serían las condiciones en las cuales, para una función \( h \) creciente y continua por la derecha (o por la izquierda) se cumple que

\( \displaystyle{
\lim_{n\to \infty }\frac{f'_h(x_n)}{g'_h(x_n)}=L\implies \lim_{n\to \infty }\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=L\tag4
} \)

cuando la derecha de \( \mathrm{(4)}  \) constituye una indeterminación del tipo \( 0/0 \) ó \( \infty /\infty  \). Dejo artículos u otros enlaces que exponen de manera básica la teoría de las escalas de tiempo, la \( g \)-derivada y relaciones entre ambas teorías, por si a alguien le interesa:

https://en.wikipedia.org/wiki/Time-scale_calculus
https://www.researchgate.net/publication/277952939_A_New_Unification_of_Continuous_Discrete_and_Impulsive_Calculus_through_Stieltjes_Derivatives
https://arxiv.org/abs/1102.2511

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Off-topic / La naturaleza en las matemáticas
« en: 28 Octubre, 2019, 08:51 pm »
Quería compartir una reflexión que tuve ayer que se produjo después de uno de esos pocos pero maravillosos momentos de "iluminación" cuando uno, de repente, cae en la cuenta. Es un momento de tal felicidad (intelectiva) que uno debe compartirlo.

Actualmente estoy leyendo el pre-print de éste libro, el cual me está gustando muchísimo. Aparte de teoría de la integración de Lebesgue, cosa que ya conocía de otras lecturas, tiene algo de análisis funcional, cosa en la que hasta ahora no me había adentrado casi nada.

El análisis funcional, según he entendido grosso modo, es el análisis de los espacios vectoriales de dimensión infinita, especialmente los espacios de Banach. Y de pronto caí en la cuenta, haciendo diversos ejercicios del libro, que era natural el crear el concepto de espacio de Banach ya que es algo que, de un modo u otro, es consecuencia del desarrollo matemático anterior. Es decir, no es una creación fortuita creada por el genio de Banach sino una creación necesaria que, si no la hubiese creado Banach, la hubiese terminado creando cualquier otro debido a la presencia cada vez más corriente del concepto de "espacio de funciones".

Lo mismo que pasa con este concepto pasa con muchos otros. Es decir: tal y como lo veo ahora las creaciones matemáticas suelen ser procesos naturales, para nada fortuitos: son la proyección de una intuición universal y sencilla que nace de nuestra relación con el medio y nuestro interés por comprenderlo. Si esto es "obvio" a veces no lo parece tanto cuando uno se ve expuesto por primera vez a teorías y conceptos abstractos.

Dicho de otro modo: la abstracción matemática suele ocultar a la vista su profundo origen natural y su sencillez. No sencillez en su manifestación sino en las intuiciones en las que se funda todo su pensar y la naturalidad del camino que da lugar a esas ideas.

Es decir: mi momento de felicidad intelectiva fue observar la naturalidad de lo que parece artificial, la tremenda sencillez de intuiciones e ideas que dan lugar a la abstracción y formalidad compleja.

La verdadera belleza de las matemáticas está en el fondo más que en su apariencia.



Por cierto, leí este pequeño artículo que me fascinó por completo: es una analogía entre los conceptos de Baire y los de Lebesgue. También da una idea de la similitud de ideas y sencillez de fondo que da lugar a objetos abstractos y teoremas.

18
Me he encontrado otro ejercicio con el que no tengo idea de cómo meterle mano. Dice así: demostrar que existe una función Borel medible \( f:\Bbb R \to (0,\infty ) \) tal que \( \int \chi _I f\,\mathrm d \lambda =\infty  \) para todo intervalo \( I \) no vacío (ahí \( \lambda  \) es la medida de Lebesgue).

He intentado un batiburrillo de cosas pero no doy con la clave ya que, si bien puedo hacer todo tipo de construcciones, o bien me resulta difícil ver que lo construído es una función Borel medible (por ejemplo usando las clases de equivalencia de \( \Bbb R /\Bbb Q  \)), o bien no atino a ver si los valores en los que la función toma el valor infinito es un conjunto de medida nula (por ejemplo usando sumas de funciones cada una definida en un conjunto abierto y denso en \( \Bbb R  \)).

Es un ejercicio que aparece en un libro después de un breve tema sobre la convergencia monótona, así que he pensado en construcciones que sean límite de sucesiones de funciones Borel medibles pero no he hallado nada. Como dice el chavo del ocho: me doy  :D.

AÑADIDO: lo único que acierto a ver es que si eso ocurre en todo intervalo entonces debe ser una definición sobre un subconjunto denso y con medida positiva.

19
He encontrado otro ejercicio interesante en este libro en estado de pre-impresión, al final de la sección 2D, y dice así:

Mostrar que existe una función \( f:\Bbb R \to \Bbb R  \) tal que la imagen bajo \( f \) de todo intervalo abierto no vacío es \( \Bbb R  \).

Esto viene después de un tema mostrando algunas propiedades elementales de la medida de Lebesgue en \( \Bbb R  \) y de la relación del álgebra de Borel con el álgebra de Lebesgue. También hay una pequeña sección sobre el conjunto y la función de Cantor. De hecho ese ejercicio aparece después de unos pocos relacionados con la función de Cantor, lo que podría hacer sospechar de que tiene alguna relación.

Lo cierto es que no veo la forma. Se me ocurrió intentar definir tal función como el límite puntual de una sucesión de funciones basadas en la función tangente, que mapeara intervalos abiertos de tamaño fijo pero arbitrariamente pequeño a \( \Bbb R  \), pero el problema que encuentro es que se hace dificultoso encontrar unos valores adecuados para los tamaños de los intervalos y luego para corroborar que el límite puntual está bien definido y que además cumple con lo pedido.

La solución quizá sea algo más abstracto y no constructivo, pero no doy con la clave. ¿Alguna idea?

EDICIÓN: ok, creo que he dado con la idea clave: si tal función existe entonces, dado un número real cualquiera, existe otro número arbitrariamente cercano cuya imagen es cualquier valor real (por ejemplo uno). Por ahí creo que se puede pensar algo que lleve a la solución.

20
Traigo un ejercicio curioso que he encontrado en un libro, dice así

(a) Mostrar que el conjunto de números en \( (0,1) \) cuya expansión decimal contiene una lista de cien cuatros consecutivos es boreliano.

(b) Calcular su medida de Lebesgue.

El interés por plantear el ejercicio es ver si hay una forma de resolverlo mejor que la que he encontrado, que es algo aparatosa. Dejo mi solución (presuntamente correcta :P) en un spoiler.

Mi solución
En lo siguiente \( a_k \) cuenta el número de listas de \( k \) dígitos, del cero al nueve, donde no hay una sublista con cien cuatros seguidos

\( \displaystyle{
\begin{align*}
&a_{k+1}=9a_k-8a_{k-100}[k\geqslant 100]-[k=99],\quad a_0=1,\quad A(x):=\sum_{k\geqslant 0}a_kx^k\\
&\therefore\, \sum_{k\geqslant 0}a_{k+1}x^k=9A(x)-8\sum_{k\geqslant 100}a_{k-100}x^k-x^{99}\\
&\iff A(x)-1=9xA(x)-8x^{101}A(x)-x^{100}\\
&\iff A(x)=\frac{1-x^{100}}{1-9x+8x^{101}}
\end{align*}
} \)

Ahora definimos \( B_k \) como el conjunto de números en \( (0,1) \) cuya expansión decimal \( 0,d_1d_2\ldots  \) tiene la primera sublista de cien cuatros seguidos a partir del dígito \( d_{k+1} \). Eso significa que \( d_k \) no es un cuatro y que en la lista \( d_1\ldots d_{k-1} \) no hay una sublista de cien cuatros consecutivos.

Entonces los números en \( B_k \) tienen la forma

\( \displaystyle{
\underbrace{0,d_1d_2\ldots d_{k-1}}_{\text{ sin sublistas de cien cuatros consecutivos }}\overbrace{d_k}^{\text{ cualquier dígito excepto el cuatro }}
\underbrace{d_{k+1}\ldots d_{k+100}}_{\text{ todos son cuatros }}\overbrace{d_{k+101}\ldots }^{\text{ cualquier tipo de dígitos }}
} \)

y por tanto es fácil de ver que

\( \displaystyle{
\lambda (B_k)=\frac{8a_{k-1}[k\geqslant 1]+[k=0]}{10^{k+100}}
} \)

Como el conjunto con alguna sublista de cien cuatros seguidos en su expansión decimal es \( \bigcup_{k\geqslant 0}B_k \) y \( B_k\cap B_k=\emptyset  \) siempre que \( j \neq k \) entonces

\( \displaystyle{
\begin{align*}
\lambda \left(\bigcup_{k\geqslant 0}B_k\right)&=\frac1{10^{100}}+\frac{8}{10^{101}}\sum_{k\geqslant 1}\frac{a_{k-1}}{10^{k-1}}\\
&=\frac1{10^{100}}+\frac{8}{10^{101}}\left[\sum_{k\geqslant 0}a_kx^k\right]_{x=1/10}\\
&=\frac1{10^{100}}+\frac{8}{10^{101}}A(1/10)\\
&\approx 9\cdot 10^{-100}
\end{align*}
} \)

si no hay ningún error por ahí.
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EDICIÓN: he corregido la solución que había dejado originalmente, ya que tenía algunos errores.

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