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Temas - Livermorio

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Tutoriales y fórmulas con LaTeX / Problema con corchetes
« en: 09 Mayo, 2015, 12:28 pm »
¿Alguién sabe cómo se quita el cuadrado que aparece a la izquierda de SENL en este hilo?

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=81850.msg327010#msg327010

Quería escribir esto: function []=SENL(h), pero el \( \LaTeX \) me lo configuró así.

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Me gustaría saber por qué recibo un mensaje diciendo que la matriz que se utiliza para resolver el problema es singular para la precisión de la máquina y cómo podría arreglarlo.

El cuadradito que sale no sé cómo arreglarlo, decídmelo por favor.

% Function to solve a non-linear system of equations
function
  • =SENL(h)

n=3;
x=(rand(n,1)); % Random column vector
tol=10^-4;     % Relative tolerance of the solution
v=zeros(n,1);  % Zeros vector intended to create a canonical vector
v(1)=1;        %with this second line.
e=(2*tol*norm(x))*v; %This is the variable we use to solve the problem.
                     % I start it with double the value of tol*norm(v) so
                     % that the 'while' loop can start
i=0;                 % Variable 'i' for the iterations
while norm(e)>tol*norm(x) && i<50 % 2 different ways of exiting the loop
    i=i+1;
    f=fun(x); %----> It evaluates the function and returns a column vector
    J=funjac(x,h,n); %----> It calculates the jacobian using incremental
                     %      quotients. By numerical methods.
    e=J\f;           % This is used to calculate e=J^(-1)*f
    x=x-e;           % It updates the solution 'x'
    norm(e)          % norm(e) gives a smaller number with every iteration.
                     % With each iteration 'x' is closer to being the
                     % solution.
end
end

function [f]=fun(x) % It evaluates a f, which is a vector-valued function
                    % with vector-valued variables
f1=x(1)^2 +4*x(2) +3*x(3);
f2=x(1)   -x(2)^2 +x(3);
f3=9*x(1) +3*x(2) -x(3)^2;
f=[f1; f2; f3];
end

function [J]=funjac(x,h,n) % funjac returns the jacobian
                           % (differential matrix of the function)
I=ones(n);
for k=1:n
    alpha(k)=max(1,abs(x(k)))*sign(x(k));
    finc=fun(x+(alpha(k)*h*I(:,k)));
    f=fun(x);
    J(:,k)=(finc-f)/(alpha(k)*h);
end
end

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Temas de Física / Corriente alterna (2)
« en: 01 Mayo, 2015, 08:22 pm »
Me gustaría saber por qué se coge el criterio de signos que aparece en el dibujo. Entiendo la resolución en general pero no sé por qué en los voltímetros se cogen referencias pasivas mientras que en las resistencias creo que se están tomando referencias activas.


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Temas de Física / Duda sobre fasores (corriente alterna)
« en: 01 Mayo, 2015, 11:11 am »
Nos han dicho que en el ámbito de la ingeniería eléctrica es habitual expresar el ángulo de fase en grados sexagesimales en lugar de radianes y la magnitud del fasor como el valor eficaz de la onda en lugar de su amplitud o pico.

Para calcular esta suma, en cambio, ¿no es más fácil utilizar la amplitud (150 y 55) para la magnitud de los fasores que usar su valor eficaz?

\( u(t)=150\cdot cos({\omega}t+60^\circ{})+55\cdot cos({\omega}t-90^\circ{}) \)

Debe quedar \( u(t)=106\cdot cos({\omega}t+44'96^\circ{}) \)

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Schur 2
« en: 29 Abril, 2015, 07:05 pm »
'Calcule la descomposición de Schur de la matriz de Householder que transforma el vector \( x=[0\ 3\ 4]^t \) en \( x_s=[-5\ 0\ 0]^t \)'

La descomposición de Schur de una matriz \( A \) es aquella en la que \( A=QUQ^t \), siendo:

\( Q \): matriz con los autovectores (\( q \)) asociados a los autovalores de \( A \). En el caso de una matriz simétrica, éstos pueden elegirse para que formen una base ortonormal, lo que hace que \( Q^t=Q^{-1} \).

\( U \): triangular superior con diagonal los autovalores de \( A \) ordenados de mayor a menor en valor absoluto, y elementos \( \beta_{ij} \) por encima de la diagonal (\( i<j \)) definidos por \( \beta_{ij}=q_{i}Aq_{j} \).

La matriz \( U \) por tanto puede obtenerse al completo una vez que se tiene \( Q \), ya que de la igualdad \( A=QUQ^t \) queda que \( U=Q^{t}AQ \)

Una vez definida la factorización de Schur opero como el_manco me explicó en este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=81530.msg325495#msg325495

y obtengo una matriz \( Q \) cuyos vectores forman una base ortonormal de \( \mathbb{R}^3 \).


Ahora no sé qué tengo que hacer para obtener \( A=QUQ^t \) porque tengo los autovalores que van en la diagonal de \( U \), que son \( \lambda_{1}=-1 \), \( \lambda_{2}=1 \ (doble) \) pero no tengo los elementos que van encima de dicha diagonal.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Schur
« en: 24 Abril, 2015, 12:02 pm »
"Si \( AQ=QU \) es la descomposición de Schur de una matriz \( A \) simétrica, razone por qué la matriz \( U \) es diagonal."

La descomposición de Schur de una matriz \( A \) es aquella en la que \( A=QUQ^t \), siendo:

\( U \): triangular superior con diagonal los autovalores de \( A \) ordenados de mayor a menor en valor absoluto, y elementos \( \beta_{ij} \) por encima de la diagonal (\( i<j \)) definidos por \( \beta_{ij}=q_{i}Aq_{j} \).
\( Q \): es una matriz con los autovectores (\( q \)) asociados a los autovalores de \( A \). En el caso de una matriz simétrica, éstos pueden elegirse para que formen una base ortonormal, lo que hace que \( Q^t=Q^{-1} \).

Básicamente lo que está diciendo el enunciado es por qué los elementos \( \beta_{ij}=q_{i}Aq_{j} \) de la matriz \( U \) son nulos, es decir, porqué el vector \( q_i \) es ortogonal al \( Aq_j \).

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'¿Cuáles son los autovalores y autovectores de la transformación de Householder que transforma el vector \( x=\left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{2}\\{4}\\{2}\end{array}\right] \) en \( \left[{\begin{array}{ccc}{-5}\\{0}\\{0}\\{0}\end{array}\right] \)?'

Creo que es fácil, pero no sé cómo se hace.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Factorización de Schur
« en: 21 Abril, 2015, 02:32 pm »
¿Cómo se hace la factorización de Schur de una matriz cuadrada? \( A=QUQ^t \)

He mirado en varias páginas pero no he entendido el método. Sólo sé que \( Q \) es una matriz ortogonal (por lo que su inversa coincide con su traspuesta), y que \( U \) es una matriz triangular superior cuya diagonal son los autovalores de la matriz \( A \) en un orden arbitrario.

¿Para qué se utiliza Schur si se puede obtener una diagonalización de la matriz \( A \)? ¿Por el coste en número de operaciones?

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Álgebra y Aritmética Básicas / Autovalores y autovectores
« en: 20 Abril, 2015, 12:54 pm »
Sea \( Q \) una matriz \( mxn \) con \( m>n \) y tal que \( Q^{T}Q=I \). ¿Cuáles son los autovalores y autovectores de la matriz \( QQ^T \)?

He hecho:

\( (Q^{T}Q)(Q^{T}Q)=Q^{T}Q=I \)

Llamando \( A=QQ^T \) queda:

\( Q^{T}AQ=I \)

Las dimensiones son:
\( Q^T \) \( nxm \)
\( A \) \( mxm \)
\( Q \) \( mxn \)
\( I \) \( nxn \)

No sé como se deducen de aquí los autovalores y autovectores de la matriz A.

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Temas de Física / Circuito eléctrico
« en: 31 Marzo, 2015, 12:01 pm »
Me piden hallar la tensión entre los puntos A y B.

Me gustaría saber cómo hallar el circuito equivalente al de la figura. No sé hallar el equivalente de Thévenin de las fuentes de intensidad de la figura.



Si lo hago, me sale que la primera fuente de intensidad con su resistencia de 5 ohmios en paralelo podría ser sustituida por una de tensión y la misma resistencia de 5 ohmios en serie, pero dicha tensión entonces valdría 10 voltios cuando en la solución me sale que la tensión entre los puntos A y B es de 9,41 V. Imagino que esto se debe a la acción de la segunda fuente de intensidad del circuito, pero no sé.

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Álgebra / Autovalores menores o iguales que la norma de la matriz
« en: 27 Marzo, 2015, 08:14 pm »
Me piden:

"Probar que si \( \lambda \) es autovalor de la matriz cuadrada \( A \), entonces se tiene que \( \left |{\lambda}\right |\leq{ \left\|{A}\right\|} \). Encuentre un ejemplo de una matriz \( A \) para la que si \( \lambda \) es cualquiera de sus autovalores entonces \( \left |{\lambda}\right |<{ \left\|{A}\right\|} \)".

No sé en qué tengo que basarme para resolverlo, porque no sé qué relación existe entre \( A \) y sus autovalores.

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Álgebra / Máximo de una diagonal
« en: 24 Marzo, 2015, 06:49 pm »
Me piden:

"Si \( D \) es una matriz diagonal \( mxn \), razone por qué \(  \left\|{D}\right\|=max{_{1\leq{j}\leq{min(m,n)}}{d_{jj}} \)"

No sé cómo se calcula la norma de \( D \), \(  \left\|{D}\right\| \).

¿Cómo sería la norma de una matriz cuadrada? ¿El valor absoluto de su determinante?



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Álgebra / Factorización LU
« en: 24 Marzo, 2015, 06:19 pm »
Me piden obtener la factorización \( LU \) de la matriz \( A=\begin{bmatrix}2&4&0&1\\1&2&1&0\\2&3&2&1\\4&6&1&2\end{bmatrix} \)
Una vez obtenida la factorización, resuelva el sistema \( Ax=b \), donde \( b=\left[{\begin{array}{cccc}{4}&{2}&{5}&7\end{array}\right]^T \).

La he resuelto con la matriz de permutación de filas \( P \) para que quede de la forma: \( PA=LU \). Entonces:

\( A=P^{T}LU=L_{2}U; \)

Para resolver el sistema \( Ax=b \), como \( A=L_{2}U \):

\( L_{2}Ux=b \), \( Ux=L_{2}^{-1}b=b' \).

De esta forma resuelvo \( Ux=b' \), que es un sistema que ya está escalonado.
Pero por este método tardo mucho en resolver el sistema.
En lugar de aplicar Gauss directamente, tengo que calcular la traspuesta de una matriz, el producto de esta matriz traspuesta por otra, la inversa de la matriz resultante, el producto de esta matriz por el vector b, y además aplicar sustitución regresiva.

¿Hay algo que esté haciendo mal? ¿En un examen se me permitiría calcular la solución \( x \) del sistema sin tener que utilizar lo anterior, sino solamente aplicando el método de Gauss?

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Pongamos que tengo esta ecuación diferencial no lineal no homogénea de coeficientes constantes que indica el comportamiento de un determinado sistema:

\( F(t)+a\cdot \sqrt[ ]{G(t)}+b\cdot G'(t)=0 \)

La variable de entrada es \( F(t) \) y la de salida es \( G(t) \).

Para linealizar un sistema se utiliza un desarrollo de Taylor de la ecuación diferencial no lineal que gobierna el sistema, esto se hace porque trabajar con un sistema no lineal es en general mucho más complicado que con uno lineal. Hasta aquí bien.

Pero no entiendo por qué los siguientes pasos que se dan son:

"Introducimos variables incrementales:

\( F(t)=\overline{F}+f(t) \)

\( G(t)=\overline{G}+g(t)\Longrightarrow{G'(t)=g'(t)} \)

Si llamamos \( h(F,G,G')=F(t)+a\cdot \sqrt[ ]{G(t)}+b\cdot G'(t)=0 \)

Entonces tenemos que:

\( h(F,G,G')=\st{h(F,G,0)}+\frac{{\partial h}}{{\partial F}}\cdot f(t)+\frac{{\partial h}}{{\partial G}}\cdot g(t)+\frac{{\partial h}}{{\partial G'}}\cdot g'(t)+... \)"

¿De dónde salen los términos \( f(t) \), \( g(t) \) y \( g'(t) \) de la serie o, mejor dicho, cómo se obtiene dicha serie?
No sé lo que son variables incrementales.

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Probabilidad / Sucesos independientes
« en: 15 Febrero, 2015, 10:39 am »
Probar, si \( A \) es independiente de \( B \), que \( \overline{A} \) es independiente de \( B \).

A independiente de B: \( P(A|B)=P(A) \) y \( P(A\cap{B})=P(A)\cdot P(B) \).

\( P(A|B)=\displaystyle\frac{P(A\cap{B})}{P(B)}=\displaystyle\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)}=P(A)\Longrightarrow{P(A|B)=P(A)} \)

Por tanto:

\( P(\overline{A}|B)=\displaystyle\frac{P(\overline{A}\cap{B})}{P(B)}=\displaystyle\frac{P(\overline{A})\cdot P(B)}{P(B)}=P(\overline{A})\Longrightarrow{P(\overline{A}|B)=P(\overline{A})}  \)

¿Hay otra forma que no sea ésta? No me convence mucho...

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Probabilidad / Probabilidad condicionada
« en: 14 Febrero, 2015, 06:42 pm »
¿Cómo puedo demostrar \( P(A|B)+P(\overline{A}|B)=1 \)?

Tengo \( P(A|B)=\displaystyle\frac{P(A\cap{B}{})}{P(B)} \) y \( P(\overline{A}|B)=\displaystyle\frac{P(\overline{A}\cap{B}{})}{P(B)} \), pero estoy atascado.

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Álgebra y Aritmética Básicas / Vectores propios
« en: 29 Enero, 2015, 06:58 pm »
Hola,

Necesito calcular los vectores propios de \( A=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{-2}\end{bmatrix} \).

Los valores propios son \( \lambda=-1 \) (Doble)

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