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Temas - cristianoceli

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1
Hola tengo dificultades con este ejercicio

 Sea \( Q \) el grupo cuaternionico y \( V_4 \) \( el \; Klein \; 4 \), (esto es \( V_4 \cong Z_2 \times Z_2 \) )

Pruebe que  \( Q/Z(Q) \cong V_4 \) , donde \( Z(Q) \) es el centro de \( Q \)

No se me ocurre como atacarlo.

Saludos



2
Estructuras algebraicas / Homomorfismo de grupo
« en: 03 Mayo, 2021, 02:12 am »
Hola necesito una pista para la siguiente demostración

Sea \( N \) un subgrupo normal del grupo \( G \) y \( f : G \longrightarrow{} H \) un homomorfismo de grupos tal que la restricción de \( f  \)a \( N \) es un isomorfismo \( N \cong H \). Muestre que \( G \cong N \times  K \) donde \( K \) es el núcleo de \( f \)

De antemano gracias

Saludos

3
Hola tengo dificultades con este ejercicio

Sea \( f_n  \)  una sucesión de funciones continuas en un espacio métrico \( (M, d) \) que converge uniformemente a una función \( f \)

a) Muestre que \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{f_n(x_n)=f(x)} \) para toda sucesión \( x_n \) de puntos en \( M \) tal que \( x_n \longrightarrow{x} \) en \( M \)

b) Muestre un ejemplo de una sucesión \( \{ f_n \} \) de funciones continuas en \( [0, 1]  \)que converge puntualmente a una función continua \( f \) y una sucesión de puntos \( \{ x_n \} \) en \( [0, 1] \) que converge a algún punto \( x_0 \in [0, 1] \) de modo que \( f_n(x_n) \) no converja a \( f(x_0) \)

Lo que he hecho:

a) \( |f_n(x_n) - f(x)|
= |\left( f_n(x_n)-f(x_n) \right) + \left( f(x_n) - f(x) \right)|
\leq |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n) - f(x)| \)

b) No se me ocurre ningún ejemplo

De antemano gracias
Saludos

4
Análisis Matemático / Demostrar que un conjunto es compacto
« en: 02 Mayo, 2021, 08:10 pm »
Hola tengo dificultades en demostrar el siguiente ejercicio:

Muestre que el conjunto \( A:= \{ x=(x_n)_n \in l^2 : \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{n^2{x^2}_n \leq{1}} \} \) es compacto en \( l^2 \)

Básicamente tengo que probar que el conjunto esta contenido en la unión de intervalos abiertos pero no se me ocurre como probare esto ultimo

Saludos


5
Análisis Matemático / Demostrar que T es continua
« en: 02 Mayo, 2021, 07:57 pm »
Hola estaba estudiando análisis y quede pegado con este ejercicio

Sea \( T:C[0,1] \rightarrow{\mathbb{C}} \) definida por \( T(f)=f(0), f \in C[0,1] \). Muestre que \( T \) es continua

Se que básicamente va a existir un \( c \in  [0,1] \) tal que \( f(c)=0 \)

DE antemano gracias

Saludos

6
Sea \( (X,d) \) un espacio metrico y \( F,G \) dos cerrados disjuntos de \( X \). Pruebe que hay dos abiertos  \( U,V  \) tal que  \( F\subset{U} , G \subset{V} \) y \( U\cap{V} = \emptyset \)

Básicamente se ocurre los complemento de \( F, G \) serán abiertos pero no se como demostrar lo que me piden

De antemano gracias

7
Geometría y Topología / Probar que es conexo
« en: 27 Abril, 2021, 11:31 pm »
Hola no me sale esta demostración

Sea \( p \in {\mathbb{R}}^n, n \geq{1} \) . \( Probar \; que \; X= {\mathbb{R}}^n - \{P \} \) es conexo si y solo si \( n \neq 1 \)

Tengo entendido que no existe una partición ya que es conexo
De antemano gracias



8
Geometría y Topología / Determinar la clausura
« en: 27 Abril, 2021, 11:22 pm »
Hola como puedo determinar la clausura en este ejercicio:

Sea \( X= \prod_{1}^\infty  \mathbb{R} \) y \( Y=\prod_{I=1}^\infty A_I \neq 0 \) solo para cantidad finita de \( i \} \) Determine \( \overline{Y} \)

Saludos

9
Geometría y Topología / Probar que es de Hausdorff
« en: 27 Abril, 2021, 10:42 pm »
Hola tengo problemas en demostrar este ejercicio

Sea \( X \) un espacio topológico tal que  para cada \( x \in{X} \) existe una función continua:

$$f_x : X \longrightarrow{\mathbb{R}}$$

Tal que \( f_x(0)^{-1} = \{ x \}  \). Probar que \( X \) es \( Hausdorff \)

Tengo entendido que es de Hausdorff si dos puntos cualquiera admiten vecindades disjuntas.


De antemano gracias

10
Hola estaba estudiando y tengo problemas con este ejercicio

EN \( M=(0, \infty) \) conideremos la métrica usual \( d. \) Además defina \( M \),  la métrica \( \delta  \) por:

$$\delta(x,y) =  |\displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{y} |, x,y \in (0, \infty)$$

Pruebe que \( M \) no es completo ni para  \( d \)  y \(  \delta \).Pruebe que \( A:=(0,1]  \) es completo para  \( \delta \) pero no para \(  d \)

Lo que he hecho:
Tengo que ver que la sucesion de Cuachy no es convergente
 
$$|x_n-x_m | = |\displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{y} |$$

pero no se como probar esto.

Saludos

11
Análisis Matemático / Demostrar que el conjunto es cerrado
« en: 23 Abril, 2021, 09:40 pm »
Hola tengo dudas con este ejercicio

Sean \( (M,d) \) ,\( (N,\bar{d}) \) dos espacios métricos. Sean \( f,g:M\rightarrow{N} \) funciones continuas. Sea \( A=\{ x \in M: f(x)=f(x) \} \) y \( S \) subconjunto denso en \( M \)

 Demuestre que \( A \) es cerrado y que si \( f(x)=f(x) \forall x\in S, \; entonces \; A=M \)

Primero tengo que ver que si es cerrado es igual a su clausura no se muy bien como hacerlo y para este punto \( f(x)=f(y)  \) de aqui solo puedo concluir que la función es inyectiva.

De antemano gracias

Saludos


12
Hola tengo dudas con este ejercicio no se como atacarlo:

Considere la sucesión \( f_n(t) \; en \; C[-1,1] \) definida

$$f_n(t) = \left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{si }-1 \leq{} t  \leq{}  0
\\ nt, & \mbox{si } 0 < t  < 1/n \\ 1 & \mbox{si }1/n \leq{} t \leq{} 1\end{matrix}\right. $$

En \( C[0,1] \) ponga la metrica integral \( d(f,g) \) definida

$$d(f,g) = \displaystyle\int_{-1}^{1} |f(t) - g(t)|^2 dt$$

Demuestre que \( f_n \) es sucesión de Cauchy $C[0,1]$ no convergente

De antemano gracias

13
Estructuras algebraicas / Homomorfismo trivial
« en: 21 Abril, 2021, 05:07 pm »
Hola estaba estudiando y me surgió esta duda en este ejercicio:

Hola tengo problemas con este ejercicio:

Para un entero \( n> 1 \) denotemos \( Z_n \) el grupo cíclico de orden \( n \)

a) Pruebe que todo homomorfismo \( Z_{10}  \longrightarrow Z_9 \) es trivial
b) Encuentre todos los homomorfismos de grupo \(  f: Z_{10}  \longrightarrow Z_8 \)

Lo que he hecho:

a) Tenemos que \( f: Z_{10}  \longrightarrow Z_9 \) es un homomorfismo \(  f(x) =1 \) pero no se como justificarlo mejor.

b) No se muy bien como encontrarlo.

De antemano gracias.

14
Hola tengo dudas con este ejercicio:

Sea \( G \) un grupo abeliano finito (escrito multiplicativamente). Pruebe que si el orden de \(  G \) es impar entonces cada elemento \( x \in G  \) tiene una única raíz cuadrada, esto es hay un único \( g \in G \) tal que \( x = g^2 \).

Me sugieren usar la función \( f:G \rightarrow{G} \) definida por \( f(g)=g^2 \) pero no se muy bien como hacerlo.

De antemano gracias


15
Hola tengo dificultades con este ejercicio:

Pruebe que el espacio Euclidiano \( {\mathbb{R}}^n \) para \( n \geq{2} \) con la métrica \( d \) no es ultramétrica

Lo que he hecho:

Una ultrametrica se define como: Sea \( (M,d) \) un espacio métrico. La métrica \( d \)  se dice ultrametrica si

$$d(x,y) \leq{max \{ d(x,z) ,d(y,z) \} }$$

Entonces tengo que probar que \( d(x,y) > {max \{ d(x,z) ,d(y,z) \} } \) . Sabemos que la métrica Euclidena se tiene que \( d= {(\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i-y_i)^2}})^{\frac{1}{2}} \)

Entonces como es métrica se cumple que \( d(x,z)\leq{d(x,y)+d(y,z)} \)

No se si la desigualdad triangular la pueda relacionar para probar que no es ultrametrica o que puedo hacer.


Saludos

16
Análisis Matemático / Demostrar que es una sucesión de Cauchy
« en: 10 Abril, 2021, 10:20 pm »
Hola tengo dudas con este ejercicio:

En \( \mathbb{R}  \)con la métrica usual, defina la sucesión \( \{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) para

$$x_n = \displaystyle\int_{1}^{n} \displaystyle\frac{\cos t}{t^2} dt.$$

Pruebe que \( \{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) es una sucesión de Cauchy

Lo que he hecho:

Consideremos \( |x_n-x_m| \) sin perder generalidad con \( m>n \). Tenemos que:

\( \left|x_n-x_m\right|=\displaystyle \left|\int_0^n\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt-\int_0^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|=\left|\int_n^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|. \)

Ahora podemos usar que: \( |\int|\leq\int|\cdots| \).

¿Como puedo llegar a esto \( \left| \displaystyle \int_n^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|\leq \displaystyle \int_n^m\frac{|\cos(t)|}{t^2}\,dt\leq\int_n^m\frac{dt}{t^2}. \)

y probar que la suceción es de Cauchy.


Saludos

17
Hola tengo problemas con este ejercicio

Sea \( M  \)el espacio de todas las sucesiones reales. Dados  \( x = (x_i)_i \; , y = (y_i)_i \in M \), defina

\( d(x,y) = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |x_i-y_i| , 1 \}}  \)

Pruebe que  \( (M, d) \) es un espacio métrico. Sea  \( \{ x^{(k)} \}_k  \)una sucesion \( M \). Pruebe que \( x^{(k)}  \rightarrow x \) para \( d \) si y solo si \( {x_i}^{(k)} \rightarrow x_i \; \forall{i}  \; \in \mathbb{N}. \)

Lo que he hecho:

\( (i) \; d(x,x)=0 \)

\( d(x,x)= \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |x_i-x_i| , 1 \}} = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |0| , 1 \}} = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2}} \cdot 0 = 0  \)

\( (ii) \; If \; x \neq \) y  entonces \( d(x,y) > 0 \)

\( d(x,y) = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |x_i-y_i| , 1 \}}  \)(No se muy bien que argumento dar para decir que siempre la expresión es mayor que cero)

\( (iii) \; d(x,y)=d(y,x) \)

\( d(x,y) = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |x_i-y_i| , 1 \}} =  \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |y_i-x_i| , 1 \}} = d(y,x) \)

\( (iv) \; d(x,z) \leq{} d(x,y) + d(y,z)  \)

Para cada \( i \in \mathbb{N} \) se cumple que:

\( \begin{align}\min\{|x_i-z_i|,1\}&\leqslant\min\{|x_i-y_i|+|y_i-z_i|,1\}\\&\leqslant\min\{|x_i-y_i|,1\}+\min\{|y_i-z_i|,1\};\end{align} \)

(Tendría que demostrarlo)


Para la segunda parte

Pruebe que \( x^{(k)}  \rightarrow x  \)para \( d \) si y solo si \( {x_i}^{(k)} \rightarrow x_i  \forall{i } \; \in \mathbb{N}. \)

Me han sugerido intentar lo siguiente pero no lo entiendo bien:

Si \( \lim_{k\to\infty}x^{(k)}=x \)  y \( i\in\Bbb N \), tomamos \( \varepsilon>0 \). Entonces si \( k \) es lo suficientemente grande \( d\left(x^{(k)},x\right)<\frac\varepsilon{i^2}. \) ( ¿Por que la distancia será menor que \( \frac\varepsilon{i^2} \) )

En particular, \( \frac1{i^2}\min\left\{\left|x_i^{(k)}-x_i\right|,1\right\}<\frac\varepsilon{i^2}, \) y por lo tanto \( \min\left\{\left|x_i^{(k)}-x_i\right|,1\right\}<\varepsilon, \) lo que implica \( \left|x_i^{(k)}-x_i\right|<\varepsilon \)

Finalmente, si \( \lim_{i\to\infty}x_i^{(k)}=x_i \) para cada \( i\in\Bbb N \) y si \( \varepsilon>0 \), tomamos  \( M\in\Bbb N  \)tal que \( \sum_{i=M+1}^\infty\frac1{i^2}<\frac\varepsilon2 \) (De aqui en adelante me perdi)

Para cada\(  i\leqslant M \), tomamos \( N_i\in\Bbb N \) tal que \( k\geqslant N_i\implies\frac1{i^2}\left|x_i^{(k)}-x_i\right|<\frac\varepsilon{2N}. \) Entonces \( k\geqslant\max\{N_1,N_2,\ldots,N_M\}\implies d\left(x^{(k)},x\right)<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon. \)

De antemano gracias.

Saludos

18
Topología (general) / Probar que es una topología
« en: 29 Marzo, 2021, 04:19 pm »
Hola tengo dudas con este ejercicio
En el plano \( {\mathbb{R}}^2 \) consideremos la familia \( \tau  \) que consiste en el conjunto vacío \( \emptyset , {\mathbb{R}}^2 \) y todos o los discos abiertos \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \). Pruebe que \( \tau  \) define una topología y determine
la clausura de la hiperbola\(  xy = 1 \)

Para la primera parte tengo que probar los axiomas:
A1: \( \emptyset \) and \( {\mathbb{R}}^2 \) están en \( \tau \).
A2: La unión arbitraria de elementos en la topología esta en la topología
A3: La intersección finita de elementos de la topología esta en la topología

\( A1 \) Por definición \( \emptyset \) y \( {\mathbb{R}}^2 \) estan en \( \tau \).

\( A2 \) \( {\mathbb{R}}^2 \cup  \) Todos los discos abiertos \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0  \) resulta \( {\mathbb{R}}^2 \) por lo cual \( {\mathbb{R}}^2 \in \tau \)


\( A3  \) \( {\mathbb{R}}^2 \cap  \) todos los discos abiertos \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \) resulta \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \) por lo cual \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \in \tau \)

Tengo muchas dudas con mi demostración de los axiomas 2 y 3 pues la unión debe ser arbitraria y no se muy bien como hacerlo

Saludos

19
Hola, tengo dudas con este ejercicio

Denote \( {\mathbb{R}}^\infty \) el conjunto de todas las sucesiones en \( \mathbb{R} \). Para \( x,y \) defina \(  d \) como:

\( d(x,y)= \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{} \displaystyle\frac{1}{n!} \displaystyle\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|} \)

Muestre que \( d \) es una métrica.

Lo que he hecho:

Tengo que probar los siguientes axiomas

i) \(  d(x,x)=0  \)

ii) Si \(  x \neq y \)  , entonces \(  d(x,y) > 0  \)

iii)  \( d(x,y)=d(y,x)  \)

iv)  \( d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)  \)

y que la sumatoria define una metrica acotada en los reales pero no se me ocurre.


Saludos

20
Análisis Matemático / Probar que es una métrica
« en: 29 Marzo, 2021, 04:05 pm »
Hola tengo dudas con este ejercicio

Sea \( M_n\mathbb{R} \) el espacio vectorial de las matrices de \( n × n  \) con  coeficientes reales. Para \( A=(a_{ij}) , B= (b_{ij}) \in M_n(\mathbb{R})  \) define  \( d(A,B)= \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{} | a_{ij} - b_{ij} |   \)

Pruebe que \( d \) es una métrica en M\( _n(\mathbb{R}) \). Recuerde que una matrix \( N \in M_n(\mathbb{R})  \)es llamada nipotente si existe \(  k \in \mathbb{N} \) tal que \( N^k= 0 \). Muestre que el conjunto de las matrices nilpotentes en\( M_n(\mathbb{R}) \) es un conjunto cerrado en\( M_n(\mathbb{R})  \)

Lo que he hecho:

Para mostrar que d es una métrica, se debe mostrar que \( d(A,B) \geq 0 \). Para todas las matrices \( A \) y \( B \) de \( n × n. \). Además, también debe mostrar \( d(A,B) = 0 \iff A = B \) y que \( d(A,B) \leq d(A,C ) + d(C, B) \) donde \( A, B, C \) son cualquier matriz \( n × n \), y que\(  d (A, B) = d (B ,A). \)

i) \( d(A,B) \geq 0 \) Es claro ya que es una suma de terminos no negativos y por lo tanto siempre será postivo

ii) Para mostrar que \( d (A, B) = d (B, A) \) tengo dudas me han sugerido usar la siguiente propiedad de valores absolutos pero no se muy bien como ocuparla \( |a-b| = |b-a| \) ya que \( |a-b| = |-(b-a)| = |-1||b-a| = |b-a| \)

iii) La desigualdad triangular no se muy bien como probarla \( |a_{ij} - b_{ij}| \leq |a_{ij} - c_{ij}| + |c_{ij} - b_{ij}| \)

De antemano gracias.

Saludos

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