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Temas - Nineliv

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1
De oposición y olimpíadas / Ecuación simétrica: x^y=y^x
« en: 22 Abril, 2008, 11:20 pm »
Hola.

Hace tiempo que no pasaba por los foros, con lo cual tengo millones de mensajes sin leer. Hice varias búsquedas entre los hilos y no encontré el siguiente problema que voy a poner. Como es más o menos conocido me imaginaba que muy posiblemente alguien lo habría publicado aquí ya; espero haber buscado bien y que no esté repitiéndolo. Al tema:

Demostrar que \( x^y=y^x \), planteada en los enteros, sólo tiene las soluciones triviales: \( x=y \) y \( (x,y)\in \big\{(2,4),(4,2),(-2,-4),(-4,-2)\big\} \)

Saludos

2
Propuestos por todos / Dos circunferencias
« en: 23 Febrero, 2007, 09:06 am »
Hola.

Se me ocurrió este problema, que no sé si es trivial o tiene miga.

Sean una circunferencia A y otra B, interior a ésta, que sea tangente a un diámetro de A. Encontrar condiciones para que A sea la circunferencia circunscrita y B la inscrita de un triángulo rectángulo.

Una versión más general es tener B dentro de A, donde sea y ver cuando se puede construir un triángulo que las tenga como circunferencia inscrita y circunscrita respectivamente.


Saludos.

3
Cálculo 1 variable / Suma trigonométrica
« en: 08 Enero, 2007, 05:06 pm »
Hola.

Se trata de probar que \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sen \frac{k\pi}{n} = \mathrm{ctg}\, \frac{\pi}{2n} \), para todo n natural.

¿Qué pasará con la suma de los cosenos, \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\cos \frac{k\pi}{n} \)?

Saludos.  >:D

4
Probabilidad / Uno de urnas
« en: 25 Diciembre, 2006, 02:10 pm »
Hola.

Tenemos una urna que contiene tres bolas: una blanca, una gris y una negra. Se extrae al azar una bola y se mira el color; a continuación se vuelve a introducir en la urna acompañada de otra bola del mismo color que la elegida. Así tendríamos 4 bolas. Seguimos con este procedimiento hasta que tengamos 12 bolas en la urna. Se pide la probabilidad de que en la urna haya cuatro bolas de cada color.

Saludos.

5
Combinatoria / Suma de variaciones
« en: 03 Diciembre, 2006, 07:58 pm »
Hola.
Esto está a medio camino entre la combinatoria y la teoría de números.

Sea N un número de cinco cifras distintas. Sea HN el número que resulta de sumar todas las variaciones de esas cinco cifras tomadas de 3 en 3 .

UNO. Probar que para todo N el número HN es compuesto y dar una factorización explícita (en función de las cifras de N).

DOS. Hallar los N tal que  N = HN?

Saludos. >:D

6
Propuestos por todos / La cónica lacónica
« en: 03 Diciembre, 2006, 12:39 pm »
Es un problema que me planteó un colega hace un mes o más. Finalmente alguien lo pudo resolver (yo no), a mi parecer, con artillería pesada. Pero, bueno, es un problema bonito.


En una elipse se elige un punto P y se traza la recta tangente. Probar que el producto de la distancia de los focos a la recta tangente es igual al cuadrado del semieje menor.

7
Teoría de números / Identidad algebraica
« en: 19 Noviembre, 2006, 01:06 pm »
He encontrado por ahí, en la red, esta fórmula bastante interesante.

Para todo \( n \geq 0 \) y para todo x real se tiene
\( \displaystyle\sum_{i=0}^n(-1)^{i}\binom{n}{i}(x-i)^n = n! \)

La fórmula fue probada por primera vez por el profesor Sebastián Martín Ruiz. Se pide demostrarla.

Saludos.

8
Triángulos / 3 circunferencias dentro de un triángulo
« en: 09 Noviembre, 2006, 04:45 pm »
Hola.
El triángulo es equilátero y las tres circunferencias, iguales. Calcular el radio de las circunferencias en función del lado.

9
Triángulos / Problema de incentros
« en: 23 Octubre, 2006, 04:40 pm »
Hola.

Variando ligeramente el enunciado del problema de sohcahtoa, Problema de circuncentros, propongo éste en un tema separado para mayor claridad.

La primera vez que leí el Problema de circuncentros, lo hice mal y en vez de circuncentros pensé en incentros. Grafiqué el asunto y vi algo curioso.

Dado un triángulo ABC, sea P un punto en AC. Sean I1 e I2 los incentros de los triángulos APB y BPC respectivamente. Probar que el ángulo I1PI2 es igual a 90º.

Saludos.

10
Propuestos por todos / Sucesión de determinantes
« en: 16 Octubre, 2006, 06:11 pm »
Hola.

Tenemos los determinantes de orden n.

\( D_n = \begin{vmatrix}
1+x^2 &x &0 &\ldots & 0 &0\\
x & 1+x^2 &x &\ldots &0 &0\\
0 &x & 1+x^2 & \ldots &0 &0\\
\vdots & \vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots\\
0&0&0 & \ldots &1+x^2 &x\\
0&0&0&\ldots &x &1+x^2
\end{vmatrix} \)

Escribir explícitamente el polinomio Dn.

Chao.

11
Propuestos por todos / Paseo por el cono
« en: 09 Octubre, 2006, 04:44 pm »
Hola.

Tenemos un cono circular de radio 1 cm y de altura \( \sqrt{8} \) cm apoyado en la mesa. Una hormiga está en un punto de la circunferencia de la base. Si comienza a caminar por la superficie del cono para rodearlo, ¿cuál es el camino más corto para hacerlo? ¿cuánta distancia se recorre?

Y una pregunta extra
Spoiler
¿Qué ángulo forma el plano del camino solución con la horizontal?
[cerrar]

Saludos.

12
Propuestos por todos / Cruzando la calle
« en: 04 Octubre, 2006, 12:14 pm »
Hace tiempo puse un problema equivalente pero con un enunciado más bien confuso. El problema en sí es bonito y como volvió vivo a los corrales, lo saco de nuevo con un lavado de cara para que sufra los ataques que se merece.

I) Tenemos una calle de un solo carril de anchura c por la que circulan, en una dirección coches de anchura b con velocidad constante v. Los coches van separados unos de otros por una distancia a.
Calcular el tiempo necesario para cruzar la calle en línea recta desarrollando la mínima velocidad.

Compliquemos el asunto.

II) Supongamos que por algún motivo (nos torcimos el tobillo, etc...), no podemos llegar a la velocidad del apartado anterior. Así que, en vez de seguir el camino más corto inclinamos la ruta un cierto ángulo φ. ¿Qué ángulo debo elegir para pasar con la menor velocidad posible?

Se me acaba de ocurrir otra pregunta mientras escribo.

III) Si el objetivo es pasar con una velocidad menor a la de I) (por eso lo del ángulo), ¿puedo escoger cualquier ángulo? Es decir, elija el ángulo que elija, ¿voy a pasar de todas formas (aunque tarde mucho tiempo)?  >:D

Nota: todos los movimientos son con velocidad constante.
Saludos.

13
Tutoriales y fórmulas con LaTeX / Cómo escribir matrices
« en: 02 Octubre, 2006, 08:53 pm »
Una matriz se puede escribir con el enviroment (comando que usa \begin y \end) array poniéndo los paréntesis fuera de él y con las instrucciones \left y \right para que se expandan con el tamaño adecuado. Aún así, existe un método un poco más corto y cómodo, aunque esto es opinión personal. Veamos varios ejemplos.

Usando array.
Una matriz estándar tiene este aspecto:
\( \left(
\begin{array}{ccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}\\
a_{41}&a_{42}&a_{43}
\end{array}
\right) \)

El código para generarla es

  [ tex]\left(\begin{array}{ccc}
  a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
  a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
  a_{31}&a_{32}&a_{33}\\
  a_{41}&a_{42}&a_{43}
  \end{array}\right)[/ tex]


Hay que remarcar que array nos pide que le digamos cuántas columnas habrá y que pongamos la alineación en cada una de ellas. En el caso anterior hemos puesto {ccc} para indicar tres columnas que estarán centradas. Con r y l indicaremos alineación a la derecha y a la izquierda respectivamente. Ejemplos:

\( \left[\begin{array}{cr}1+x+x^2&-1\\1&x^3+x^4+x^5 \end{array}\right]
\qquad\qquad
\left\{ \begin{array}{rl} 1 &\hbox{uno}\\10 &\hbox{diez}\\ 100&\hbox{cien}\\ 1000&\hbox{mil}\\ \cdots & \cdots\end{array}\right\}
 \)
El código usado es:
  [ tex]\left[\begin{array}{cr}
  1+x+x^2 & -1\\
  1 & x^3+x^4+x^5
  \end{array}\right][ /tex]

y
  [ tex]\left\{ \begin{array}{rl}
  1 & \hbox{uno}\\
  10 & \hbox{diez}\\
  100 & \hbox{cien}\\
  1000 & \hbox{mil}\\
  \cdots & \cdots
  \end{array}\right\}
  [/ tex]

respectivamente.

array nos permite hacer algo elaborado como separar columnas con lineas. Esto es especialmente útil cuando hablamos del teorema Rouché-Frobenius y las matrices ampliadas.

\( A=\left(\begin{array}{ccc|c}
1&2&3&4\\
5&6&7&8\\
9&10&11&12
\end{array}\right) \)

se produce escribiendo lo siguiente:

  [ tex]A=\left(\begin{array}{ccc|c}
  1&2&3&4\\
  5&6&7&8\\
  9&10&11&12
  \end{array}\right)[ /tex]


Usando los enviroments matrix:
Cuando usemos matrix, ya no nos tendremos que ocupar de la alineación, pues es automática. Sí habrá, en cambio, que decidir qué delimitadores queremos para nuestra matriz: paréntesis redondos, paréntesis cuadrados, líneas rectas (determinantes), ninguno... Si has leído con atención verás que en el título pone enviroments, en plural. Efectivamente, hay varios de ellos, uno para cada delimitador.
   matrix      sin delimitador
   pmatrix    paréntesis redondo
   vmatrix    líneas rectas (para determinates)
   bmatrix    corchetes (paréntesis cuadrados)
   Bmatrix    llaves
   Vmatrix    dos líneas rectas (norma de un vector)
 Veamos unos ejemplos:
\( \begin{matrix} a&b\\c&d\end{matrix} \qquad \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} \qquad \begin{vmatrix} a&b\\c&d\end{vmatrix} \qquad \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix} \qquad \begin{Bmatrix} a&b\\c&d\end{Bmatrix} \qquad \begin{Vmatrix} a&b\\c&d\end{Vmatrix} \)
El código es:
  [ tex]\begin{\( \square \)matrix} a&b\\c&d\end{\( \square \)matrix} [/ tex]
y en el cuadrado \( \square \) va una de las letras que hemos visto en la lista de arriba.

En el panel de edición/escritura de un mensaje hay varios botones que proporcionan la construcción matrix, incluso una con puntos suspensivos para denotar matrices grandes. Experimenta.

Nota sobre el número combinatorio. El número combinatorio parece una matriz y supongo que no hay ningún problema en tratarlo así. Sin embargo existe un comando específico para ello: \binom{}{}. También hay un botón en el panel de edición para construirlo rápidamente.

14
Propuestos por todos / Problema de diagonales
« en: 28 Septiembre, 2006, 09:38 am »
Hola.

Se pide el máximo número de puntos determinado por las intersecciones de las diagonales (las prolongaciones) de un n-ágono convexo que están en el exterior del mismo.

Cuando resolví este me apareció alguna suma de las mostradas en Regularidad en las sumas. Posteriormente, hablando con un amigo, vimos una forma más corta que no las usaba. Pero, a veces, cuando uno va por caminos más largos encuentra flores bonitas que no hay en la autopista.

Bueno, venga, ¡a contar!

Saludos.

15
Propuestos por todos / Regularidad en las sumas
« en: 25 Septiembre, 2006, 07:02 pm »
Probar las infinitas identidades siguientes:
\( \displaystyle\begin{align*}
\sum_{k=1}^n k &= \frac{n(n+1)}{2}\\
\sum_{k=1}^n k(k+1) &= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\\
\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) &= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\\
&\hbox{...etc...}
\end{align*} \)

Saludos...    es fácil mirando desde el lugar adecuado..  ;)

16
Triángulos / Propiedad de las medianas
« en: 20 Septiembre, 2006, 11:42 pm »
Hola.

Consideremos un triángulo cualquiera. Si S es la suma de sus medianas y P, su perímetro, demostrar que 3P/4 < S < P.

Saludos.

17
Probabilidad / El laberinto
« en: 11 Septiembre, 2006, 04:11 pm »
Cruzamos una puerta que se cierra tras nosotros, hemos entrado en un laberinto. Estamos en una sala frente a tres puertas indistinguibles. Nos dicen que una de ellas conduce directamente a la salida; que otra nos hará vagar durante 1 hora para llevarnos a una sala idéntica a esta en la que habrá tres puertas y tendremos el mismo dilema (la puerta por la que lleguemos se cierra); y que la última puerta nos llevará también a dicha sala pero habremos estado 3 horas caminando.
1) ¿Cuál es la probabilidad de salir del laberinto?

2) ¿Cuál es la probabilidad de que tardemos 6 horas en salir?

3) ¿Cuánto tiempo, de media, tardaremos en salir del laberinto?


Nota: El problema tal y como me lo contaron no incluía las puertas que se cierran, si no que volvía uno a la misma sala; pero después de mi experiencia con el problema de los Tres Trozos, hay que matizarlo todo. Así que nada de hacer marcas en las paredes, dejar migas de pan, etc....

Nota 2: tuve varios problemas con la imagen y la redacción del problema. Lo siento transmigrado, este es el enunciado definitivo.

18
De oposición y olimpíadas / Curioso polinomio
« en: 06 Septiembre, 2006, 12:01 am »
Hola.

p(x) es un polinomio de grado 2 con coeficientes reales tal que toda permutación de sus coeficientes determina un polinomio con las mismas raíces que p(x). Calcular las raíces de p(x).

¿Si los coeficientes en vez de reales, son complejos, hay alguna diferencia?

19
Propuestos por todos / Manipulación trigonométrica
« en: 05 Septiembre, 2006, 11:49 am »
Es una curiosidad más que nada.
a, b y c son números distintos de \( k\pi/2 \) para k en \( \mathbb{Z} \).
Si sen(b+c–a), sen(c+b–a) y sen(a+b–c) están en progresión aritmética, entonces tg(a), tg(b) y tg(c) están también en progresión aritmética.

20
Teoría de Conjuntos / Relación binaria
« en: 21 Julio, 2006, 09:26 pm »
En \( \mathbb{R}^2 \) tenemos la relación binaria dada por \( xRy \) si y sólo si \( x^2+y^2\leq 1 \). ¿Es transitiva?

Ciao.

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