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Mensajes - Pie

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Ok, gracias Carlos y feriva. Hoy lo dejo por el momento, mañana volveré a releer el hilo y los enlaces a ver si voy asentando las ideas. Muchas gracias de verdad.

Saludos.

2
Creo que ya voy pillando la idea, entonces la razón principal de que el pequeño teorema de Fermat se cumpla sería que la función de Euler es igual a \( m-1 \) si \( m \) es primo no?

Bueno, lo de "la razón principal" se presta a mucha filosofía. Si consideras que "la razón por la que se cumple el teorema de Fermat" es que se cumple el teorema de Euler, del cual es un caso particular, entonces sí, es lo que dices. Pero alguien te podría decir que es artificial invocar el teorema de Euler para entender el teorema de Fermat, en el sentido de que es una generalización innecesaria.

Sin ánimo de sentar cátedra en algo bastante subjetivo, yo simpatizaría con la idea de que, en efecto, alguien que conozca el teorema de Euler "entiende mejor" el teorema de Fermat, pero hay que ser consciente de que podemos escalar aún más, y podríamos decir que el teorema de Euler es un caso particular del teorema de Lagrange, que dice que el orden de un subgrupo divide al orden de un grupo, y éste se podría generalizar un poco más, a su vez (al teorema de transitividad de índices) y entonces uno se tiene que parar a pensar en qué momento la generalización pasa de ser una ayuda al entendimiento a ser un exceso.

Ok, sí, igual me vine demasiado arriba con esa expresión XD Pero es la primera vez que veo una diferencia clara (para este caso) entre números primos y compuestos, algo que hasta el momento no había sido capaz de ver (seguramente por torpeza, ya que con todo lo que me explicasteis antes seguro que ya se puede entender, pero estoy un pelín espeso hoy  :laugh:).

Saludos.

3
Muchas gracias Carlos. Creo que ya voy pillando la idea, entonces la razón principal de que el pequeño teorema de Fermat se cumpla sería que la función de Euler es igual a \( m-1 \) si \( m \) es primo no?

Saludos.

4
Entiendo el interés de tu exposición del trato "amigable" hacia las calculadoras pero sigo sin ver (y esto lo debería explicar Pie) en que modo puede ayudar a la comprensión intuitiva un algoritmo que comprueba en casos concretos una propiedad ya demostrada.

Pues para eso en concreto en nada supongo. Yo es que soy un poco básico y me gusta comprobar estas cosas "a lo bruto"  ;D (seguramente por no entenderlas bien, o por no ver de forma clara que se tiene que cumplir para cualquier primo, etc..)

Pero vaya no quería dar a entender que eso pueda servir para entender intuitivamente nada (de hecho ni idea de lo que pueda servir para eso  :laugh:)

Saludos.

5
Muchas gracias a todos, me queda un poco más claro todo (me he reído mucho con la lección de flirteo de Carlos con la calculadora :laugh:), aunque creo que aún tengo que estudiar algunas cosillas para entenderlo todo bien (no tengo ni idea de anillos, grupos y esas cosas..).

Igual con lo de entenderlo de forma intuitiva no me expresé del todo bien, sólo quería decir entenderlo sin necesidad de tener muchos conocimientos previos, etc.. (vaya, que esperaba más bien una explicación para "tontos" que algo super profundo o algo así  :laugh:).

Pero vaya que me habéis ayudado entre todos a entenderlo (y a calcularlo :P) un poco mejor. :)

Te propongo que lo compruebes con \( p=7 \), es decir, completa esta tabla:

\( \begin{array}{r|rrrrrr}
a\pmod 7&1&2&3&4&5&6\\
\hline
o_7(a)&1&&&&&2
\end{array} \)

Te he puesto yo los valores \( o_7(1)=1 \), pues \( 1^1\equiv 1\pmod 7 \) y \( o_7(6)=2 \), pues \( 6^2=36\equiv 1\pmod 7 \) (o más fácil: \( 6^2\equiv (-1)^2\equiv 1\pmod 7 \)). Completa los valores restantes. Por ejemplo, calcula las potencias de 2 y determina el menor exponente que hace que el resultado sea 1 módulo 7. Si lo haces bien, todos los valores que pongas en la tabla serán divisores de \( 7-1=6 \). Y eso probará que \( a^6\equiv 1\pmod 7 \) en todos los casos, con lo que \( a^7\equiv a\pmod 7 \) en todos los casos (en los que \( 7\nmid a \), pero el caso opuesto es trivial).

Pues si no me equivoqué con algo quedaría así (divisores de 6 como decías):

\( \begin{array}{r|rrrrrr}
a\pmod 7&1&2&3&4&5&6\\
\hline
o_7(a)&1&3&6&3&6&2
\end{array} \)

Saludos.

6
Buenas, no acabo de ver claro por qué si \( p \) es primo entonces \( a^p\equiv{a} \) (mod p) \( \forall{a\in{\mathbb{N}}} \), pero si \( p \) es compuesto entonces puede que sean congruentes o puede que no.

Me cuesta entender esto de forma intuitiva o hacer pruebas con valores concretos, ya que para valores relativamente grandes de \( p \) se complican bastante los cálculos (ni siquiera me salen con la calculadora XD)

Hay alguna forma, más o menos intuitiva (los que me conocéis un poco ya sabéis que mi nivel de mates es bastante justito :laugh:) de entender esto sin necesidad de hacer cálculos interminables, etc..?

Saludos.

7
Triángulos / Re: Hallar la medida de BC
« en: 30 Marzo, 2021, 11:48 am »
Hola

Es lo mismo. \( \dfrac{5}{2}\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{5}{2}(2+\sqrt[ ]{3}) \)

Si. Nótese que:

\( (2+\sqrt{3})^2=2^2+(\sqrt{3})^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}=7+4\sqrt{3} \)

Saludos.

Gracias. Yo la verdad que miré en el Wolfram algunas simplificaciones (incluida esa), si ya es innecesariamente enrevesado así justificando todas las simplificaciones se podría hacer eterno XD, definitivamente mucho mejor utilizar el teorema del seno. :laugh:

PD. Por cierto, aunque sigue siendo más enrevesado que usar el teorema del seno, lo que dije se podría simplificar un poco hayando directamente el cateto \( c_3 \) con la tangente. De hecho no sé porqué no lo hice así, ya que no hace falta hayar la hipotenusa del segundo triángulo (ni usar otra vez Pitágoras, etc..) para nada. ;D

PD2. Bueno, en realidad tampoco hace falta usar Pitágoras para hayar el cateto \( c_2 \), ya que también sale con la tangente (una vez conocido \( c_1 \)) o directamente con el coseno. Creo que de todas las formas posibles de resolverlo, elegí la más rebuscada y poco práctica con diferencia. :laugh:

Saludos.

8
Triángulos / Re: Hallar la medida de BC
« en: 30 Marzo, 2021, 01:19 am »
Muchas Gracias por la ayuda mathtruco, Pie y feriva. Tengo una duda con la solucion de Pie, la medida de \( c_3 \) no es \( \dfrac{5}{2}\sqrt{7+4\sqrt{3}} \)??

Es lo mismo. \( \dfrac{5}{2}\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{5}{2}(2+\sqrt[ ]{3}) \)

Lo de feriva también da lo mismo.  :laugh:

Saludos.

9
Triángulos / Re: Hallar la medida de BC
« en: 29 Marzo, 2021, 06:37 am »
También puedes partir el triángulo en dos triángulos rectángulos y aplicar Pitágoras.

Llamando \( c_1 \) al cateto opuesto a los ángulos que te dan, y \( c_2 \) y \( c_3 \) a los catetos contiguos (que deben sumar \( BC \)):

\( sin(30) = \displaystyle\frac{c_1}{5} \)

\( c_1 = 5\cdot{}sin(30) = \displaystyle\frac{5}{2} \)

Aplicando Pitágoras:

\( (c_1)^2 + (c_2)^2 = 5^2 \)

\( \displaystyle\frac{25}{4} + (c_2)^2 = 25 \)

\( (c_2)^2 = 25 - \displaystyle\frac{25}{4} = \displaystyle\frac{75}{4} \)

\( c_2 =  \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{75}}{2}  = \displaystyle\frac{5}{2} \sqrt[ ]{3} \)

Ahora llamando \( h \) a la hipotenusa del otro triángulo (el lado \( AC \)):

\( sin(15) = \displaystyle\frac{c_1}{h} \)

\( sin(15) * h =\displaystyle\frac{5}{2} \)

\( h = \displaystyle\frac{5}{2\cdot{}sin(15)} = \displaystyle\frac{5 + 5\sqrt[ ]{3}}{\sqrt[ ]{2}} \)

Aplicando Pitágoras otra vez:

\( h^2 = (c_1)^2 + (c_3)^2 \)

\(  \displaystyle\frac{(5 + 5\sqrt[ ]{3})^2}{2} = \displaystyle\frac{25}{4} + (c_3)^2 \)

\( c_3 = \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{(5 + 5\sqrt[ ]{3})^2}{2} - \displaystyle\frac{25}{4}} = \displaystyle\frac{5}{2}(2 + \sqrt[ ]{3}) \)

Sumando los catetos:

\( BC = c_2 + c_3 = \displaystyle\frac{5}{2}\sqrt[ ]{3} +  \displaystyle\frac{5}{2}(2 + \sqrt[ ]{3}) = 5 + 5\sqrt[ ]{3} \)

PD. Espero que esté todo bien, no repasé demasiado las cuentas pero como coincide con una de las respuestas supongo que estará bien. :laugh:

PD2. Con el teorema del seno sale bastante más rápido (no caí en que el ángulo que falta sale solo ya que conocemos los otros dos  :laugh:), así que mejor no hagas mucho caso a lo que dije, ya que es innecesariamente enrevesado XD

Saludos.

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Triángulos / Re: Áreas parciales de un triángulo
« en: 24 Marzo, 2021, 12:54 am »
Puedes considerar que los triángulos AFD y ABF comparten una misma altura respecto a sus bases, que se hallan sobre el segmento BD.
Por lo tanto la razón entre sus áreas es igual a la razón entre los segmentos BF y FD es decir BF : FD=3 : 1.

Razonando igual con los triángulos BEF y BFA (con lado base sobre EA) tenemos la proporción EF: FA=1:1.

Trazando el segmento CF tienes los triángulos CFD y CEF de áreas a determinar  A1 y A2 respectivamente, por lo anterior puedes escribir:

1) Para el segmento BD  como base de los triángulos CBF y CFD
 
\( \displaystyle\frac{A2+3}{A1}=\displaystyle\frac{3}{1} \).

2) Para el segmento AC como base de los triángulos  CAF y CFE

\( \displaystyle\frac{A1+1}{A2}=\displaystyle\frac{1}{1} \).

De las ecuaciones resuelves y tienes \( A1=2 \), \(  A2=3 \)

Saludos

P.D. Disculpa por no adjuntar ninguna imagen para hacer más clara esta explicación. Espero que te sirva.

Gracias!! No te preocupes se entiende bien así. Buena forma de resolverlo. :D

Saludos.

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Triángulos / Re: Áreas parciales de un triángulo
« en: 23 Marzo, 2021, 09:59 pm »
Sólo por curiosidad pero cómo se llega a que el área es 12? A mi aún no se me ocurre cómo resolverlo. :laugh:

Saludos.

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Yo tampoco sé mucho sobre el tema (soy aficionado también) pero coincido con mathtruco, lo que haces no demuestra que todo número par \( >2 \) pueda expresarse como suma de dos primos, sólo que cualquier número, primo o no, multiplicado por \( 2 \) es par.

El asunto es que la distribución de números primos es bastante más irregular que la de los números pares o impares, así que no se puede concluir gran cosa partiendo de ahi..

Saludos.

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Triángulos / Re: Semejanza de triangulos 2
« en: 15 Marzo, 2021, 02:04 am »
Porque \( \displaystyle\frac{AB}{BC} \) debe ser igual a \( \displaystyle\frac{AD}{DE} \).

Como nos dan cuánto valen \( BC \) y \( DE \) (2 y 5) podemos sustituir.

\( \displaystyle\frac{AB}{2} = \displaystyle\frac{AD}{5}
 \)

Luego \( AB \) es la incógnita \( x \) y \( AD \) debe ser igual a \( 2x + 1 \).

Saludos.

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Triángulos / Re: Semejanza de triangulos 2
« en: 15 Marzo, 2021, 01:09 am »
Pero haciendo eso no estás usando los lados que te dan, la igualdad debe ser: \( x/2 = (2x + 1)/5 \) (si no voy mal  :laugh:)

Saludos.

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Lo vi en este vídeo de youtube, a partir del minuto 45:30 aproximadamente.

Saludos.

Gracias! Muy interesante el resto del video por cierto..

Saludos.

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Dónde encontraste el problema robin?

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A ninguna ya que las chicas siempre dan besos y nunca dan la mano. :P

Nah, es broma. La verdad es que no se me ocurre cómo enfocarlo, parece complicaillo..

Saludos.

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Off-topic / Re: Agradecimiento personal a este foro.
« en: 13 Marzo, 2021, 11:20 am »
La verdad que yo no me vería capaz de aprobar unas oposiciones, ya creo que me costaría un riñón (y parte del otro) sacarme el grado de matemáticas, como para tener que estudiar más sobre otros temas.

Te felicito porque hay que ser muy constante y tener mucha determinación para conseguir algo así, con o sin ayuda del foro, aunque coincido en que este foro es un regalo para todos los matemáticos (o aficionados como en mi caso :laugh:).

Saludos.

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Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Ejercicio de simplificación
« en: 13 Marzo, 2021, 05:25 am »
Gracias feriva, si esa parte la entendí. Al final fue sólo un error tonto al hacer la división de polinomios, que como no me daba eso empecé a pensar que igual no había entendido bien qué es lo que había que dividir.

Ya me quedó todo claro (también que debo practicar más con la división de polinomios, ya decía que no tengo mucha práctica con las cuentas en papel, etc.. :laugh:).

Saludos.

20
Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Ejercicio de simplificación
« en: 12 Marzo, 2021, 10:34 pm »
Oki, gracias Luís. De hecho es lo que hice pero cometí un error tonto y no me salía eso. ;D

Todo aclarado ya. :)

Saludos.


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