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Mensajes - Mr Picudo

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1
Hola

No sé muy bien que pretenden que uses aquí. Un par de opciones (pero habría muchas otras jugando con series y cotas del número \( \pi) \).

Comprueba que \( 4 \sqrt{2-\sqrt{2}} \) es el semiperímetro de un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio 1. Pero por definición geométrica de \( \pi \), el semiperímetro de la circunferencia es precisamente \( \pi \).

Como sabemos que \( \pi\geq 3.1 \) basta que compruebes que: \( 4 \sqrt{2-\sqrt{2}}<3.1 \).

Basta que hagas cuentas elevando al cuadrado cuantas veces sea necesario para quitar las raíces.

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b) $$\sin{(\sin{2x})} = 2\sin{(\sin{x})}\cos{(\cos{x})}$$

En el inciso b) uso la identidad del doble del ángulo para el lado izquierdo del igual, y obtengo algo que no parece que vaya a quedar como lo pide la demostración:

$$\sin{(\sin{2x})} = 2\sin{(\sin{x}\cos{x})}\cos{(\sin{x}\cos{x})}$$

Es que no es cierta esa igualdad. Por ejemplo si \( x=\pi/2 \):

\( \sin{(\sin{2x})} =sin(sin(\pi))=sin(0)=0 \)

\( 2\sin{(\sin{x})}\cos{(\cos{x})}=2\sin{(\sin{\pi/2})}\cos{(\cos{\pi/2})}=2sin(1)cos(0)=2sin(1) \)

Saludos.

No se me ocurrió fijarme si la igualdad se cumplía, ¡muchas gracias Luis Fuentes!, intentaré lo que me comentaste en el inciso (a)
Saludos  :)

2
En el punto a) se pueden usar identidades trigonométricas.

$$4 \sqrt{2-\sqrt{2}} = 4 \displaystyle \sqrt{2\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)} $$

Como  $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4}$$   y   $$1-\cos\frac{\pi}{4}=2\sin^2\frac{\pi}{8}$$

resulta  $$4 \displaystyle \sqrt{2\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)} = 4 \displaystyle \sqrt{4\sin^2\frac{\pi}{8}} = 8 \sin\frac{\pi}{8} < \pi $$
pues sabemos que $$\sin x < x\quad (x>0)$$

Wow esa es una manera elegante de resolverlo, ¡muchas gracias Abdulai!

3
Hola a todos, tengo el siguiente problema pero la verdad en el inciso a) no tengo idea de cómo empezar, y el inciso b) no me queda con las identidades que conozco.
Demuestre que:

a) $$4 \sqrt{2-\sqrt{2}} < \pi$$

b) $$\sin{(\sin{2x})} = 2\sin{(\sin{x})}\cos{(\cos{x})}$$

En el inciso b) uso la identidad del doble del ángulo para el lado izquierdo del igual, y obtengo algo que no parece que vaya a quedar como lo pide la demostración:

$$\sin{(\sin{2x})} = 2\sin{(\sin{x}\cos{x})}\cos{(\sin{x}\cos{x})}$$

Si conocen ejercicios similares, les agradecería mucho su ayuda, ¡bonito día!

4
Hola a todos, estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:

Suponga que $$f$$ es invertible en todo $$\mathbb{R}, \quad f(0)=0, \, f$$ es continua en $$x=0$$ y $$\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{f(x)}{x}} = L$$

Demuestre que: $$\displaystyle\lim_{y \to 0}{\frac{y}{f^{-1}(y)}} = L$$

¿Cómo lo harían ustedes?

A mi se me ocurrió usar L'Hôpital para obtener $$\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{f'(x)}{1}} = L \rightarrow{} f'(0) = L$$ ya que $$f$$ es continua.

Después, con L'Hôpital nuevamente tendría  $$\displaystyle\lim_{y \to 0}{\frac{1}{(f^{-1})'(y)}} = L \rightarrow{} \frac{1}{(f^{-1})'(0)} = \frac{1}{\frac{1}{f'(0)}} = \frac{1}{\frac{1}{L}} = L$$

No estoy seguro de estar bien, agradezco cualquier ayuda que puedan brindarme, ¡excelente día!  :)

5
Temas de Física / Re: Notación de vectores (¿perpendiculares?)
« en: 13 Diciembre, 2020, 12:19 pm »
Así es, yo también lo siento enrevesado. Es de una tarea que nos mandaron en una materia en la que no estamos recibiendo clases como tal, solamente documentos y no encontré nada sobre esa notación en el libro de referencia tampoco, pero le escribiré al profesor.

Gracias nuevamente amigo, buen día  :)

6
Temas de Física / Re: Notación de vectores (¿perpendiculares?)
« en: 13 Diciembre, 2020, 11:39 am »
Hola

Para ser sincero es una notación que no he visto nunca. O mejor dicho, la he visto, pero con significados en los que la fórmula que indicas no tendría sentido.

El símbolo \( \bot \) se refiera a "ortogonal". Normalmente \( \vec a^\bot \) debería de ser el conjunto de vectores perpendiculares a \( \vec a \); pero en ese caso las fórmulas que te proponen no funcionan.

Por el contexto sospecho que si \( \vec a=(x,y) \) en el plano entonces está llamando \( \vec a^\bot \) al vector \( (-y,x) \) que es un vector perpendicular al primero, pero muy concreto.

Entonces las fórmulas dadas si se cumplen. Compruébalo.

Saludos.

Ohh, yo había entendido el vector $$\vec{a}^{\perp{}}$$ como la componente perpendicular de $$\vec{a}$$ con respecto al vector $$\vec{b}$$, pero ahora con lo que comentas, me parece que podríamos definir ese producto punto en particular como la multiplicación: $$\left |{\vec{a}}\right | \left |{\vec{b}}\right |\cos(\theta \pm \pi/2) = \mp \left |{\vec{a}}\right | \left |{\vec{b}}\right |\sin(\theta)$$ y con el valor absoluto, sería igual a la magnitud del producto cruz entre los vectores, ¿qué opinas?

También ya comprobé lo que mencionaste de las componentes del vector $$\vec{a}^{\perp{}}$$, tienes razón

¡Muchas gracias por tu ayuda!

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Temas de Física / Notación de vectores (¿perpendiculares?)
« en: 13 Diciembre, 2020, 02:27 am »
Hola buenas noches, tengo una duda sobre la notación de unos vectores que encontré

La notación es: $$\vec{a}^{\perp{}}$$

Y me piden demostrar que el área del paralelogramo generado por los vectores es $$\left |{ \vec{a} \cdot{} \vec{b}^{\perp{}} }\right | = \left |{ \vec{a}^{\perp{}} \cdot{} \vec{b} }\right | $$

¿Alguien conoce la definición de esa notación?

Encontré la manera de demostrar que el área se calcula con el módulo del producto cruz, pero no entiendo cómo calcularlo a partir del producto punto.

Gracias de antemano :)

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Teoría de Conjuntos / Función entre conjuntos
« en: 03 Diciembre, 2020, 03:43 am »
Buen día, estoy estudiando un ejercicio que dice:

Sea $$X = \left\{{1,2,...,10}\right\}.$$ Encuentra una función $$f: X \longrightarrow{} X$$ que simultáneamente safisfaga las siguientes condiciones:
$$ 1) f^{-1} [\left\{{1,2,3}\right\}] = \emptyset \\ 2) f^{-1} [\left\{{4,5}\right\}] = \left\{{1,3,7}\right\} \\ 3) f^{-1} [\left\{{8,10}\right\}] = \left\{{8,10}\right\}$$

Estoy tratando de resolverlo a partir de la definición de función inversa, sea $$f: A \longrightarrow{} B \quad f^{-1}(B_1) = \left\{{x\in{}A: \quad f(x) \in{} B_1}\right\} $$ con $$B_1 \subseteq{} B$$

Lo que se me ocurrió es definir la función a trozos, pero siento que estoy mal, pues simplemente pongo:

f(x)=\begin{cases}{\left\{{1,2,3}\right\}}&\text{si}& x = \emptyset\\ \left\{{4,5}\right\} & \text{si}& x = \left\{{1,3,7}\right\}\\\left\{{8,10}\right\} & \text{si}& x = \left\{{8,10}\right\}\end{cases}

¿Cómo definirían ésta función?
Agradezco de antemano su atención :)

9
Cálculo 1 variable / Demostrar convergencia de sucesiones
« en: 30 Noviembre, 2020, 02:08 am »
¡Hola a todos!

¿Cómo puedo demostrar la convergencia de sucesiones como éstas?

$$ a_n = \displaystyle\frac{3+5n^2}{n^2+n} \\ a_n = \displaystyle\frac{(-3)^n }{n} \\ a_n = \displaystyle\frac{\sin{2n}}{1+\sqrt{n}} $$

Traté de utilizar los criterios de la razón o de la raíz, pero me salen resultados no concluyentes, y se supone que todas las sucesiones son convergentes.

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Cálculo 1 variable / Re: Límite del término n-ésimo
« en: 30 Noviembre, 2020, 12:06 am »
Ohh, si, ¡muchas gracias Masacroso!, ya me quedó claro el ejercicio  :)

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Cálculo 1 variable / Límite del término n-ésimo
« en: 29 Noviembre, 2020, 10:34 pm »
Buen día, estoy tratando de resolver éste ejercicio:

Demuestre que si $$\left\{ a_n \right\}$$ es convergente, entonces: $$ \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_{n+1}} $$

Hasta ahora usé la definición de convergencia: $$ \forall{} \, \epsilon>0  \, \, \exists{} \,\, N>0 : \quad n > N \rightarrow{} |a_n-L| < \epsilon $$

Y obtuve que si se cumple la convergencia de $$ \left\{{a_n}\right\} $$ entonces se cumple que $$ n+1>n>N $$ y por transitividad $$ n+1>N $$, por lo tanto: $$ |a_{n+1}-L| <\epsilon $$ y según yo, esto probaría el ejercicio, pero no me siento del todo seguro, ¿qué opinan?

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Cálculo de Varias Variables / Re: Determinar una función constante
« en: 28 Noviembre, 2020, 05:18 am »
\( f(x,y) = x+y - 3 = 3t + 1-t^2 - 3  \) que es una parábola no es constante.
Toma \( f(x,y) = p \cdot (\dfrac{x^2}{9} + y)  \) donde \( p \in \mathbb{R} \) 

Tienes razón, ¡muchas gracias Juan!  :)

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Cálculo de Varias Variables / Determinar una función constante
« en: 28 Noviembre, 2020, 03:48 am »
Hola a todos, estoy resolviendo un ejercicio que dice:

Determine una función $$f(x,y) = c$$, dado $$\epsilon = \left\{{ 3t, 1 - t^2 | t \in R }\right\} $$

Mi idea es hacer una operación, por ejemplo una suma de los parámetros para $$x$$ y $$y$$, e igualarla a una constante dada, que escogí como $$3$$, y me queda la expresión: $$3t + 1 - t^2 = 3$$ que al factorizar obtenemos: $$(t-2)(t-1) = 0$$

No había trabajado con ejercicios así, se que debe de haber muchas funciones posibles, pero ¿si estaría bien la función $$f(x,y) = x + y -3$$ ?

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Pienso lo mismo, probablemente esté mal redactado, muchas gracias mathtruco, delmar por sus respuestas, ¡excelente día!  :)

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Usa la fórmula de la distancia de un punto a una recta: $$d(P,r) = \frac{\left |{Ax_1+By_1+C}\right | }{\sqrt{A^2+B^2}}$$ con lo cual, obtienes el radio, y después solamente sustituye en la ecuación canónica: $$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$
Tu ecuación queda así: $$(x-2)^2+y^2=18$$

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Hola a todos  :)
Tengo un problema que dice "Para un sistema homogéneo de mxn, ¿son sus ecuaciones espacios vectoriales?" (Con m y n arbitrarios)
Entiendo que las soluciones de dicho sistema, si son espacios vectoriales, pues de cualquier forma representan el origen, rectas, planos o hiperplanos que pasan por el origen, pero no entiendo la pregunta de "las ecuaciones del sistema".
¡Gracias de antemano!

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Hola

Estoy resolviendo un ejercicio que da la siguiente serie de números: 10, 15.8, 20, 7 y te pide "expresar en notación de sumatoria", pero después de buscar durante un buen rato, una manera de expresar los números en forma de fracciones, o de algún tipo de producto para buscar algún patrón para poder expresarlo en una suma, no encuentro nada, ¿estará mal el documento? Porque también habla de "notación punto" para las sumatorias y no había escuchado de eso antes. Gracias por la ayuda que puedan brindar  :)

Francamente sin más información a saber en que está pensando el ejercicio (o quien lo puso). ¿Puedes escribir el enunciado exacto? Ni siquiera me queda claro de que serie hablas (estrictamente ahí pones una sucesión finita de números). No se si quiere que sumes esos números; si cada uno de ellos es el resultado de ir sumando al anterior algo y quiere expresar eso con el sumatorio....

Saludos.

Hola, es el problema que adjunto en la imagen, también se me hace raro lo que piden, lo más seguro es que esté mal diseñado :(

 [attachment id=1 msg=453099]

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Estoy resolviendo un ejercicio que da la siguiente serie de números: 10, 15.8, 20, 7 y te pide "expresar en notación de sumatoria", pero después de buscar durante un buen rato, una manera de expresar los números en forma de fracciones, o de algún tipo de producto para buscar algún patrón para poder expresarlo en una suma, no encuentro nada, ¿estará mal el documento? Porque también habla de "notación punto" para las sumatorias y no había escuchado de eso antes. Gracias por la ayuda que puedan brindar  :)

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\displaystyle\int_{a}^{b}
Aquí yo uso este. No me había fijado porque siempre le doy al botón.


Hola

Como te dice sugata, pon delante \int el comando \displaystyle.


Hola

Sin un código de ejemplo resulta muy difícil saber la/s causa/s. Como bien dicen, puede ser debido a que estás usando la fórmula en línea y no en modo display. Pero puede ser debido a factores como reducción de la fuente, menor espaciado entre líneas, ... Si podés subir un fragmento del código compilable que estás usando sería mejor.

Feliz Año

Muchas gracias, \displaystyle alarga el símbolo de la integral justo como lo necesitaba  :aplauso:

¡Feliz año a todos!

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¡Hola!, excelente inicio de año a todos.

Estoy escribiendo integrales definidas en LATEX pero en el archivo PDF que se genera aparece muy pequeña la integral, al grado de que están pegados los límites de integración, quisiera saber cómo puedo modificar el comando para que en mi documento aparezca más "alargado" el símbolo de la integral.

El código que estoy utilizando es: \int_{a}^{b} f(x) dx para obtener: \( \int_{a}^{b} f(x) dx \), sin embargo en mi documento prácticamente no hay ningún espacio entre \( a \) y \( b \). Ya intenté con el comando \limits para que los límites de integración estén justo por arriba y por debajo de la integral, pero realmente no me gustó cómo se ve y el símbolo de la integral sigue estando muy chico. ¿Hay alguna manera de modificar esto?

Uso el programa TeXnicCenter para escribir en LATEX

¡Gracias de antemano!  :)

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