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Mensajes - julius

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Topología Algebraica / Re: Retracto.
« en: 24 Junio, 2018, 11:26 am »
Si puedes usar el grupo fundamental, la demostración de que es imposible que existe una retracción no es difícil. Sea \( r:T\to \partial T \) una retracción, de forma que \( r\circ i:\partial T\to\partial T \) es la identidad, siendo \( i:\partial T\to T \) la inclusión. Entonces
\( (r\circ i)_* = 1_*:\pi_1(\partial T)=\mathbb{Z}\to \mathbb{Z} \). Pero \( (r\circ i)_* = r_*\circ i_* \) y como \( \pi_1(T)=0 \) la aplicación \( r_*\circ i_* \) es nula, lo que contradice que \( (r\circ i)_* = 1_* \).

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Topología Algebraica / Re: Retracto.
« en: 24 Junio, 2018, 12:38 am »
No se puede. Sí podrías si suprimes un punto del interior del triángulo.

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A mí me gustó mucho "cinco mil problemas de análisis matemático", de Demidovich.
Es una lástima que sitios como https://en.wikipedia.org/wiki/Library_Genesis violen sistemáticamente los derechos de autor y hagan fácilmente accesibles tantos libros a todo el mundo. Me alegro de saber que tú eres honesto y no la usas.

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Topología (general) / Re: métrica sobre conjunto finito
« en: 14 Junio, 2018, 09:59 pm »
Considera las bolas con radio menor que las distancias entre dos cualesquiera de los puntos.

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Es que la isometría local no tiene necesidad de llevar unas parciales en las otras.

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Pues es importante saber cuál es la definición que tomas de localmente isométricas. Supongo que la definición es que existe una aplicación diferenciable \( F:S\to S' \) cuya diferencial \( dF \) es una isometría entre los espacios tangentes correspondientes. En particular, la aplicación \( F \) deberá mandar puntos de \( S \) en puntos de \( S' \) con la misma curvatura de Gauss.

Si el \( 0 \) estuviese en la primera superficie entonces es fácil terminar sin mucha complicación, porque la curvatura de Gauss de la primera en el \( 0 \) es nula mientras que la segunda no tiene ningún punto de curvatura de Gauss nula. Este es el argumento fácil que imagino que se espera que se proporcione y sospecho que la supresión del cero no la deseaba el que redactó el ejercicio.

O tal vez sí la deseaba. En ese caso, habría que argumentar de otra manera. Yo tomaría una sucesión de puntos que tiendan al \( 0 \) en la primera superficie. Su curvatura de Gauss tenderá a \( 0 \). Pero, por la expresión de la curvatura de Gauss de la segunda superficie, esto les obliga a alejarse tanto como se quiera del origen, lo que será imposible porque una isometría debe preservar las distancias medidas sobre curvas correspondientes.

Según mis cálculos, la curvatura de Gauss de la primera superficie es
\( K = \frac{48 \, u^{4}}{{\left(16 \, u^{6} + 1\right)}^{2}} \)
mientras que la de la segunda es
\( K = \frac{4}{{\left(4 \, u^{2} + 4 \, v^{2} + 1\right)}^{2}} \)


El problema se haría mucho más difícil si se suprimiese un entorno del \( 0 \) en la primera superficie, pero afortunadamente no es el caso.

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Geometría y Topología / Re: Demostración
« en: 03 Junio, 2018, 12:11 am »
Trasladando el origen de coordenadas si es necesario, puedes suponer que el centro de la esfera es el \( 0 \). Deriva la condición
\( \left<\alpha(s),\alpha(s)\right>=cte. \) cuatro veces utilizando las fórmulas de Frenet.

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Estructuras algebraicas / Re: Subgrupo maximal
« en: 27 Mayo, 2018, 07:59 pm »
Si no lo supones podría ocurrir que \( H=\{e\} \), por ejemplo si \( G=\mathbb{Z}_p \). Por lo demás, tu razonamiento está bien.

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Análisis Matemático / Re: Función cuadrática de estimación
« en: 27 Mayo, 2018, 09:49 am »
Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas \( A,B,C \) haciendo que la función \( f(x)=Ax^2 + Bx + C \) pase por los tres datos dados, es decir, \( f(1980)=0.6 \), etc.

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Análisis Matemático / Re: Diferenciabilidad
« en: 27 Mayo, 2018, 09:35 am »
La función no es diferenciable puesto que no es continua en \( (x,y)=(0,0) \).
Para probarlo, observa que
\( f(y^2,y)= \frac{y^3-1}{y+1} \), que tiende a \( -1 \) cuando \( y\to 0 \).



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Buenas, me piden hallar todos los siguientes ejemplos, he empezado con unos cuantos pero se me hace muy pesado hallar la curvatura de gauss y la curvatura mediana de todos ellos para comprobarlo según qué parametrizaciones,
Intenta pensar geométricamente, deja los cálculos para luego.

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por eso dejo esto por si me pueden ayudar:

1) Da un ejemplo de una superficie que tenga curvatura de gauss NO constante y que tenga algún punto umbilical.
Prueba con un paraboloide \( z=x^2 + y^2 \).

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2) Da un ejemplo de una superficie que tenga curvatura de gauss NO constante y curvatura media constante. (De este tipo he comprobado que es la catenoide, pero si saben alguno más de ayudaria)
Prueba con un helicoide.
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3)Da un ejemplo de una superficie que tenga curvatura de gauss  constante y curvatura media NO constante.(De aqui he sacado que el cono y el cilindro lo cumplen)

El cilindro tiene curvatura media constante. Repasa tus cálculos.

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4)Da un ejemplo de una superficie que tenga curvatura de gauss NO constante que tenga algun punto plano.
El paraboloide de antes te vale.

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5) Superficie regular de curvatura de Gauss nula (K=0) que contenga una curva no asintótica.
Mira si la encuentras en el cilindro.

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6)Dar un ejemplo de una curva asintótica de una superficie regular.
Busca en el plano.

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7) Dar un ejemplo de una superficie regular que NO contenga ninguna curva asintótica.
Busca en la esfera.

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8) Ejemplo de superficie que tenga todos sus puntos parabólicos.
Mira a ver si te vale un cilindro.

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9) Ejemplo de una curva alabeada con curvatura constante y que no sea ni una recta ni una circunferencia.
Una hélice te podría valer.

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10) Ejemplo de una superficie con una curvatura de gauss constante que NO tenga puntos umbilicales.
El helicoide podría valer.

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11) Dar un ejemplo de una superficie que tenga un punto umbilical y otros puntos que no sean umbilicales.
El paraboloide de nuevo.

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Estructuras algebraicas / Re: Subgrupo maximal
« en: 26 Mayo, 2018, 04:28 pm »
Utiliza que si \( H\le K\le G \) entonces \( [G:H] = [G:K][K:H] \).

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Si tuviésemos un cero con multiplicidad sería al menos \( x(t_0)=x'(t_0)=0 \).
 Pero como es una ecuación diferencial de segundo orden (regular, por ser \( p \) nunca nulo), el conjunto de condiciones iniciales \( x(t_0)=x'(t_0)=0 \) determina únicamente la solución y como \( y(t)\equiv 0 \) es solución y satisface las condiciones iniciales, es \( x=y= 0 \).

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Es un asunto bastante tautológico. Yo creo que se ve mejor de forma algo más abstracta, supongamos que tenemos un conjunto \( X \) al que dotamos de dos estructuras de variedad, con una carta global \( \varphi:\mathbb{R}^n\to X \) y con otra \( \varphi':\mathbb{R}^n\to X \).
Entonces puedes considerar la biyección \( F:X\to X \) dada por \( F = \varphi'\circ\varphi^{-1} \), que es un difeomorfismo porque la aplicación entre las cartas asociada es \( \varphi'^{-1}\circ F\circ\varphi  \) es el difeomorfismo trivial, \( \varphi'^{-1}\circ \varphi'\circ\varphi^{-1}\circ\varphi=\mathrm{id} \), la identidad de \( \mathbb{R}^n \).


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Los elementos del núcleo son o bien de la forma \( 2(a+bi) \) o bien de la forma \( 2(a+bi) + (1+i) \). Los primeros son múltiplos de \( 2 \). Si ves que \( (1 + i) \) es un múltiplo de \( 2 \), entonces el ideal está generado por el \( 2 \). De forma análoga, si ves (como de hecho has visto) que \( 2 \) es un múltiplo de \( 1+i \), entonces tanto los elementos del primer tipo como del segundo son múltiplos de \( 1+i \) y también has acabado.

En realidad, no necesitas hacer estas cuentas. Te basta con comprobar que \( \phi \) es un homomorfismo de anillos. Por tanto su núcleo será un ideal y como estamos en un dominio euclídeo, es dominio de ideales principales, así que \( \ker\phi \) es un ideal principal.

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De oposición y olimpíadas / Re: Solicitud de supervisión
« en: 24 Mayo, 2018, 08:49 am »
Las respuestas anteriores son correctas, pero conviene tener presente que, como los enteros módulo \( n \) son un anillo, se puede argumentar de forma más breve que \( 11\equiv 4\pmod 7 \) y, por tanto,
\( 11^n - 4^n \equiv 4^n - 4^n \pmod 7 = 0 \pmod 7 \),
lo que es equivalente a que \( 7|(11^n-4^n) \).

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Estructuras algebraicas / Re: Ideales en matrices.
« en: 22 Mayo, 2018, 11:30 pm »
Yo creo que no es cierto, que sí tienen ideales propios. Por ejemplo, considera \( I=\{uv^\top:u\in\mathbb{K}^n\} \), siendo \( v\in\mathbb{K}^n \) fijo.
Entonces \( I \) es ideal por la derecha (ejercicio!, nota que estamos escribiendo los vectores como vectores columna).
Otra cosa sería que pidas que sea ideal por la derecha y la izquierda simultáneamente.

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Lo que preguntas es ahora consecuencia de lo anterior, toma una curva \( \gamma=\gamma(t) \) en el grupo tal que \( \gamma'(0)=X \). Sea \( Y=(\gamma^{-1})'(0) \). Entonces \( m(\gamma(t),\gamma^{-1}(t))=e \) y por otro lado \( m_\star(\gamma'(0), (\gamma^{-1})'(0)) = X + Y = 0 \), por lo que has visto y por ser el resultado del producto constante. Por tanto \( Y=-X \).

La otra cosa que comentas más arriba es simplemente el hecho de que el espacio tangente a un producto de variedades en un punto es la suma de los espacios tangentes. Se demuestra fácilmente usando un producto de cartas.

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Cálculo de Varias Variables / Re: Función diferenciable
« en: 21 Mayo, 2018, 10:30 pm »
Perdona, escribí df/dx donde tenía que haber puesto df/du. Igual eso te ha liado?

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Estructuras algebraicas / Re: Grupos finitamente generado
« en: 21 Mayo, 2018, 08:28 pm »
Supongamos que el subgrupo \( G \) está engendrado por elementos
\( x_j=\exp(2\pi i r_j/n_j) \), \( j=1,\ldots,K \). Podemos suponer que \( r_j \)
y \( n_j \) son primos entre sí. Por la identidad de Bezout, existirán
enteros \( a_j \) y \( b_j \) tales que \( a_jr_j + b_jn_j=1 \). Por tanto los
elementos \( y_j = x_j^{a_j} = \exp(2\pi i /n_j) \) están el el grupo.

Sea ahora \( M \) el mínimo común múltiplo de los \( n_j \). Sean \( h_j =
n_1\cdots\widehat{n_j}\cdots n_K \) (el sombrero significa que el factor
ha sido suprimido) y sea \( D \) el máximo común divisor de
los \( h_j \). Nuevamente, por la identidad de Bezout, existirán enteros
\( \alpha_j \) tales que \( \alpha_1 h_1 +\cdots + \alpha_k h_K =
D \). Entonces el elemento
\( y_0 = y_1^{\alpha_1}\cdots y_K^{\alpha_K} = \exp(2\pi i /M) \) y
cualquier otro elemento del grupo es una potencia del mismo, así que
\( G \) está engendrado por un solo elemento.

La segunda parte es trivial, porque el grupo de unidades es infinito
y acabamos de ver, en particular, que un subgrupo finitamente generado
es finito.

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