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Mensajes - argentinator

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1
Yo juntaría las clases de gimnasia con las de matemáticas, por ejemplo, se pueden ir haciendo cuentas mientras uno corre o juega al voleibol. Mejoras en matemáticas a la velocidad de la luz, para evitar tropezones, caídas o pelotazos en la cara :D

En Argentina tuvimos hasta hace poco un "Ministerio de Educación y Deportes".
Creo que te hubiera venido bien.
No sé como sería un curso de Análisis Funcional y Salto con Garrocha.

2
Si quieren reducir el número de materias,
lo que podrían hacer es cambiar la manera de organizar las cosas.
Podrían poner materias afines en un bloque, y así tener unos pocos bloques.
Pero cada bloque debiera tener su profesor de matemática, de física, computación, etc.
La interdisciplina no es algo que se deba meter a martillazos,
sino que es algo que se puede cultivar aparte, con un plan concienzudo,
ya que hacerlo en serio requiere destreza en muchos campos divergentes.

Juntar matemática con biología estaría bueno, si de la suma de ambas cosas sale algo mejor. Pero si lo que buscan es amontonar dos materias tradicionales en una, nada más que porque se les ocurrió, no van a aprender nada ni de matemática ni de biología.
La manera de trabajar en matemática y en biología no es la misma.
Juntarlas a lo bruto es algo que no tiene ningún sentido.
Ni siquiera Física y Biología se pueden juntar: en Física un gato puede estar vivo o muerto al mismo tiempo.

Yo acepto estudiar biología en forma pormenorizada, y aplicar la matemática a la biología tanto como se pueda,
siempre y cuando los biólogos acepten estudiar topología y ecuaciones diferenciales con la seriedad que corresponde.

Lo que juntan no son materias o disciplinas distintas, sino los "prejuicios" que los cabeza hueca de la política tienen, desde su incorregible ignorancia, de lo que son esas disciplinas.
Entonces así es fácil juntar matemática con biología, total en sus huecas cabezas no son más que dos porquerías que nunca entendieron ni estudiaron.



3
Hola, gracias argentinator, con tu explicación se me hizo más fácil comprender el ejercicio. Lo único que me queda dando vueltas es que significa o que resulta de unir los naturales con \( \{+\infty\} \).

Lo que resulta es un conjunto más grande.  ;D
Simplemente se le ha añadido un punto más al conjunto, que no estaba antes.
La notación de \(+\infty\) para ese punto añadido es sólo sugestiva,
para dar a entender que se extiende el orden al nuevo conjunto,
de modo que \(+\infty>i\), para todo \(i\in\mathbb n\).

4
Matemáticas Generales / Re: Escritura Matemática
« en: 07 Mayo, 2021, 10:32 pm »
Hola

Dentro de las llaves de conjunto no van cuantificadores.
Se pone cuantificador si no usás llaves, pero es impráctico ese uso.

¿Pero entonces cómo se sabe cuándo una variable está cuantificada existencialmente y cuándo universalmente?

Por ejemplo \( \{n\in\Bbb{Z}\mid n=ak,\;a\in\Bbb{Z},\;k\in\Bbb{Z}\} \), está claro que el \( n \) es arbitrario, ¿pero qué sucede con \( a \) y \( k \)? ¿Cómo deduces sólo mirando el set builder notation definido que esas dos variables son fijas o arbitrarias?

Lo más conveniente es usar una sola letra antes de la barra, y describir esa letra después:

{x | x = a/b, etc... }

Si uno se pone puntilloso,  podría agregar unos cuantificadores existenciales ahí. (Existen a y b tales que...).

Disculpa que pregunte, allí \( a \) y \( b \) aparecen dentro de las llaves, ¿no era que no se debían poner cuantificadores dentro?

Gracias y saludos


MMmm. Fui muy vago al responder.
Quise decir que no se cuantifican las variables que se usan para "recorrer" el conjunto,
o sea, las que están a la izquierda de la barra vertical.

5
Matemáticas Generales / Re: Escritura Matemática
« en: 07 Mayo, 2021, 09:57 pm »
Cita de: EliasFlorentin
Entonces ¿La definición formal de números racionales sería la siguiente?:
\( \mathbb{Q}=\left\{{\displaystyle\frac{a}{b}|a\in{}\mathbb{Z},b\in{}\mathbb{Z},b\neq0}\right\} \)
(Corrijo el \( \mathbb{Z} \) ya que anteriormente puse \( N \) por accidente)

Muchas gracias por mencionarme el comando \mathbb, no lo conocía (sabía que los conjuntos numéricos ibas con doble barras, pero no sabía cómo hacerlo en LaTex), y por la recomendación de el libro.
¡Desde ya te mando saludos, compatriota!

El término correcto sería "descripción" antes que "definición".
Está mucho más potable.
Aún así ese estilo puede traerte problemas alguna vez en la vida.
Lo más conveniente es usar una sola letra antes de la barra, y describir esa letra después:

{x | x = a/b, etc... }

Si uno se pone puntilloso,  podría agregar unos cuantificadores existenciales ahí. (Existen a y b tales que...).
Si sobreentiende, no es necesario.

La notación perfecta no la vas a conseguir nunca.

Además, en teoría de conjuntos lo correcto es mencionar un conjunto previo al cual los elementos x pertenecen, pero al describir números así, de una manera rápida, eso no se puede hacer, o bien sí se puede pero indicando que los x pertenecen a los reales.


6
Matemáticas Generales / Re: Escritura Matemática
« en: 07 Mayo, 2021, 09:43 pm »
Hola argentinator, tengo una duda

Por otra parte, escribir \(a,b\in Z\) es informal, pues desde un punto de vista estricto eso no es correcto (lo correcto sería \(a\in Z,b\in Z\)),

Puestos a ser formales, las variables \( a,b \) no están cuantificadas, es como decir \( x\in\Bbb{R}\colon x>2 \), en este ejemplo es muy importante saber cómo está cuantificada \( x \) porque dependiendo del cuantificador, la proposición es verdadera o falsa.


¿O simplemente no se lo pone porque se sobreentiende siempre que están cuantificadas universalmente?

En vez de la barra vertical \(|\) utilizo como separador un punto y coma (;).

Creo que no querías poner la carita sino ( ; ).

Saludos

Dentro de las llaves de conjunto no van cuantificadores.
Se pone cuantificador si no usás llaves, pero es impráctico ese uso.

Sí, no quería poner la carita.

7
Matemáticas Generales / Re: Escritura Matemática
« en: 07 Mayo, 2021, 07:23 pm »
La notación formal exacta se puede estudiar en libros de Lógica de Primer Orden,
pero es demasiado mecánica y engorrosa.

La "coma" (,) en general se usa para reemplazar a la conjunción lógica (\(\wedge\)).

Por otra parte, escribir \(a,b\in Z\) es informal, pues desde un punto de vista estricto eso no es correcto (lo correcto sería \(a\in Z,b\in Z\)),
pero aún así está bien que lo escribas así, porque es una informalidad muy usada y aceptada, y que se entiende.

La primer coma de tu conjunto no corresponde a ese uso, así que estaría mal.
Es mejor ahí usar el símbolo \(|\) que pusiste después,
que es un separador entre la variable muda que recorrerá los elementos del conjunto,
y la descripción posterior de las propiedades que dicha variable ha de cumplir para pertenecer al conjunto.

Los conjuntos numéricos suelen representarse con letras doblemente barradas:
\(\mathbb{NZQRC}\), que en LaTeX se obtienen con el comando \mathbb.

Por otra parte, cada autor, o cada área de la matemática, acostumbra sus notaciones particulares, que tienen variantes respecto otros autores.
Conviene ver cuáles son las convenciones que un libro adopta en un principio,
y uno mismo también ha de ser claro explicando detalles de la notación a utilizar.

Por ejemplo, hace un tiempo que procuro evitar el uso de demasiados "chirimbolos",
y prefiero usar símbolos que sean mucho más fáciles de leer de corrido,
con lo cual evito, en lo posible, letras griegas, "colgajos de índices y superíndices innecesarios", y símbolos estrambóticos.
En vez de la barra vertical \(|\) utilizo como separador un punto y coma (;).

Si uno es consecuente con una notación, que además es clara,
entonces la puede usar tranquilamente.
Pero darse un chapuzón en un libro de Lógica de Primer Orden puede ser buena idea, para tener los conceptos frescos, "pensar" con rigor, para luego expresarse con cierta flexibilidad.


8
Hay que probar que se satisfacen los dos axiomas de una topología:

(*) La unión de una familia arbitraria de conjuntos de la forma \(N_i\) da otro conjunto de la misma familia.
(**) La intersección de dos conjuntos de la forma \(N_i\) da otro conjunto de la misma forma.

Por otra parte, hay que tener en cuenta que el elemento \(\infty\) que se ha agregado en este ejercicio, se supone implícitamente que satisface la relación \(\infty > i\), para todo número natural \(i\).

A lo mejor lo que puede complicar en este tipo de ejercicios es encontrar una notación adecuada.

Una manera más formal de escribir (*) es así:

(*) Sea \(\mathcal N\) una familia de conjuntos de la forma \(N_i\), donde \(i\in\mathbb N\).
Esto significa que existe una familia \(\{{i_a};a\in A \}\) de índices,
donde \(A\) es un conjunto cualquiera (que puede ser finito o infinito, y constar de cualquier tipo imaginable de elementos),
y \(i_a\in \mathbb N\) para cada \(a\in A\).
Se obtiene que la familia de conjuntos es \(\mathcal N = \{N_{i_a};a\in A\}\).
Sea \(U\) la unión de todos esos conjuntos, o sea:
\[
    U = \bigcup_{a\in A} N_{i_a}.
\]
Se pide demostrar que \(U\) es de la forma \(N_i\).
O sea, hay que demostrar que existe un número natural \(x\), tal que \(U=N_x\).

Algo similar se debe hacer con (**), pero es más fácil, porque ahí sólo se deben intersectar 2 conjuntos, y no una familia arbitraria.

9
Hice otros retoques, ya que es una cuenta delicada.
Están en rojo.

Prometo no retocar más.
Si detectan algún error, o veo algo mal, hago otro post.

10
Dos posts más arriba había cometido un error con la constante que define el valor de \(\int \psi_1\).
Originalmente lo había puesto igual a \(c_n\), pero ese valor no funciona.
Conviene ponerlo igual a 1.
Ya lo corregí en rojo.

11
Corrección: lo del spoiler está horriblemente mal, ya que la norma de \( \mathcal{S} \) no es la norma inducida por ese producto, de hecho me parece que \( (\cdot ,\cdot ) \) ni siquiera es un producto interior en ese contexto. Sin embargo debe ser el caso de que el producto sea contínuo en el espacio de Schwartz.

Efectivamente, \((\cdot,\cdot)\) no es un producto interno, sino sólo una notación para la acción de las distribuciones.

Por otra parte, \(\mathcal S\) no se define por una norma (ni siquiera es normalizable),
sino por una familia numerable de seminormas.
No obstante, a partir de esas seminormas es posible definir una métrica (el espacio es metrizable).


12

Hola. Estoy tratando de entender paso por paso esta demostración. Hasta ahora entiendo lo siguiente:

(a) \( T_\sigma \) cerrable si para cualquier sucesión \( \left\{\varphi_k\right\}\subset \mathcal{S} \) tal que  \( \varphi_{k}\to 0 \) en \( \mathcal{S} \) y T\( _{\sigma}\varphi_k\to f \) in \( L^p  \) entonces \( f=0 \). (Definición de operador cerrable)

**Pregunta 1**. ¿Por qué\(  (f,\psi)=0  \) para todo \( \psi\in\mathcal{S}. \)

Formalmente, entiendo que
 \( \lim_k (T_{\sigma}\varphi_k,\psi)=\lim_k(\varphi_k,T_{\sigma}^{\ast}\psi)  \)(convergencia en  \( L^p \)) entonces \( (\lim_k T_{\sigma}\varphi_k,\psi)=(\lim_k \varphi_k,T_{\sigma}^{\ast}\psi) \). Así \( (f,\psi)=(0,T_{\sigma}^{\ast}\psi)  \) y por lo tanto \( (f,\psi)=0 \)  para todo \( \psi\in \mathcal{S} \). Pero, ¿por qué el límite "puede entrar en los corchetes"?

Aunque usa funciones del espacio \(\mathcal S\),
el enunciado explícitamente asume que la convergencia de \(\phi_k\to 0\)
es en el sentido de \(L^p\).
En el texto en inglés, más arriba parece hablar de convergencia en \(\mathcal S\).
Bueno, se puede probar, si hiciera falta, que la convergencia en \(\mathcal S\) implica la convergencia en \(L^p\).

Asumiendo por ahora convergencia en \(L^p\),
me parece que está bien la idea de Masacroso de aplicar desigualdad de Holder.

\[|(T_\sigma\phi_k,\psi)|
    = |(\phi_k,T_\sigma^*\psi)|
    = \int \phi_k \,T_\sigma^\psi\, dx
    \leq \|\phi_k\|_{L^p}\|T_\sigma^\psi\|_{L^{p'}}.   
\]

El límite del lado derecho es 0 por hipótesis, y luego el lado izquierdo tiende a 0.

Ahora bien, me parece ver que hay una duda en el paso inicial,
cuando se escribe la igualdad:

\[
  (f,\psi) = (\lim_{k\to\infty} T_\sigma \phi_k,\psi)
             = \lim_{k\to\infty} (T_\sigma \phi_k,\psi).
\]

Ese es un límite de números reales.
Escribiendo las definiciones, es equivalente a:

\[
  \int f(x) \phi(x) dx
     =\int  (L^p)\lim_{k\to\infty}T_\sigma\phi_k (x)\,\psi(x)\,dx
     = \lim_{k\to\infty} \int T_\sigma\phi_k (x)\,\psi(x)\,dx.
\]

Allí hay intercambio del límite con el signo de integración.
Por hipótesis, \(T_\sigma\phi_k\to f\) en \(L^p\).
Así que, aplicando desigualdad de Holder:

\[
  \Bigg|\int f\psi \,dx -\int (T_\sigma\phi_k)\psi\,dx\Bigg|
  \leq
  \Bigg\| f\psi -T_\sigma\phi_k\psi\Bigg\|_{L^1}
    \leq \Bigg\|f-T_\sigma \phi_k\Bigg\|_{L^p }\|\psi\|_{L^{p'}}.
\]

El lado derecho tiende a 0 cuando \(k\to\infty\),
por la hipótesis de que \(T_\sigma\phi_k\to f\) en \(L^p\),
y esto prueba que

\[
   \lim_{k\to\infty} \Bigg|\int f\psi - \int T_\sigma\phi_k\Bigg| = 0,
\]

lo cual permite intercambiar límites con integrales.

Citar
**Pregunta 2**. ¿Por qué \( (f,\psi)=0 \) para todo \( \psi\in \mathcal{S} \) implica que \( f=0 \)?

Entiendo que, usando la densidad de  \( \mathcal{S} \) en \( L^p \), se tenga que \( f=\lim_{k} \varphi_k \) para alguna secuencia \( \varphi_k\in \mathcal{S} \). Luego \( 0=(f,\psi)= (\lim_k \varphi_k,\psi)=\lim_k (\varphi_k,\psi) \) para todo \( \psi\in\mathcal{S} \)  (convergencia en \( L^p \)). ¿ Entonces \( (\varphi_k,\psi)=0 \) para \( k \) suficientemente grande?

Ahí conviene usar el Teorema de Diferenciación de Lebesgue o ideas parecidas.
Notar que \(C_0^\infty\subset \mathcal S\),
con lo cual, es posible poner a prueba a \(f\) respecto funciones acotadas de soporte compacto.

Tomar una función \(\tilde\psi\in C_0^\infty\) que tenga soporte en la bola unitaria \(B_1(0)\)

Denotemos \(c_n=\int_{B_1(0)} 1\,dx\).
Definir luego \(\psi_t (x) = \tilde\psi(x/t) / c_nt^n\).
El soporte de \(\psi_t\) es \(B_t(0)\), \(t>0\).


(Ojo con este paso, que lo he corregido respecto mi publicación original).
Elijamos \(\tilde\psi\) de modo que se satisfaga que:
que además satisfaga \(\int \psi_1(x) = 1\).
y pidamos además que  \( \psi_1(0)=1\).
No voy a construir tal función, pero tales funciones existen.


Tenemos que

\[
  \begin{align*}
    \Bigg|\int f(x)\psi_t(x-x_0) \, dx- f(x_0) \Bigg|
    & = \dfrac1{c_nt^{n}}
       \Bigg|\int_{B_t(x_0)} \big(f(x)\psi_1((x-x_0)/t)-f(x_0)\psi_1((x_0-x_0)/t)\,dx\big)\Bigg| 
\\
    & \leq  \dfrac1{c_nt^{n}}
     \Bigg|\int_{B_t(x_0)} (f(x)-f(x_0))  \psi_1((x-x_0)/t) \,dx\Bigg| 
\\
  & \qquad
    + \dfrac1{c_nt^{n}} |f(x_0)|
    \Bigg|\int \big(\psi_1((x-x_0)/t)-\psi_1((x_0-x_0)/t)\big)\,dx \Bigg|
   \\
  & \leq  \dfrac1{c_nt^{n}}
     \Bigg|\int_{B_t(x_0)} (f(x)-f(x_0))   \,dx\Bigg| 
\\
  & \qquad
    + \dfrac1{c_nt^{n}} |f(x_0)|
    \Bigg|\int_{B_t(x_0)} \big(\psi_1((x-x_0)/t)-\psi_1((x_0-x_0)/t)\big)\,dx \Bigg|
   \\
  & \leq  \dfrac1{c_nt^{n}}
     \Bigg|\int_{B_t(x_0)} (f(x)-f(x_0))   \,dx\Bigg| 
\\
  & \qquad
    +  |f(x_0)|
    \Bigg|\int {\color{red} \psi_t} \, dx -\dfrac1{c_nt^{n}}\int_{B_t(x_0)}1 \,dx \Bigg|
   \end{align*}
\]

(Acá tuve que corregir también, había puesto mal un término: había que poner \(\psi_t\) y no \(\psi_1\), como puse originalmente).


El último sumando da 0, porque \(\color{red}\int \psi_t=\int \psi_1= 1\) (corregido: decía \(\int \psi_1=c_n\)).

Por el Teorema de Diferenciación de Lebesgue,
el lado derecho tiende a 0 en casi todo punto \(x_0\), cuando \(t\to0\).

Por otra parte, como
 \(\psi_{t,x_0}(x)=\psi_t(x-x_0)\in\mathcal S\) para todo \(t\), y todo \(x_0\in\mathbb R^n\),
sabemos también \((f,\psi_{t,x_0}) = 0\),
con lo cual, para casi todo punto \(x_0\in\mathbb R^n\):

\[
0=\Bigg|\int f\psi_{t,x_0} - f(x_0)\Bigg|
   = |(f,\psi_{t,x_0})-f(x_0)|=|0-f(x_0)|=|f(x_0)|.
\]

Esto prueba que \(f=0\) en casi todo punto.


13
Programación lineal / Re: Calcular complejidad con notación O
« en: 27 Abril, 2021, 09:23 pm »
Hola Maekvor.
Te acomodé un poco el código para que sea más legible.
Aunque apareció un color magenta que no logro cambiar.

Tu pseudocódigo tiene un problema,
y es que las variables L y R están en inglés,
mientras que la condición del loop está en castellano: D > I.
Debiera ser: R > L.

Lo que te dan es un array de n elementos,
y en cada paso se calcula el punto medio entre dos índices dados.
El número de iteraciones del loop
es igual a la cantidad de veces que se pueden reajustar los índices
izquierdo (L) y derecho (R),
si en cada paso uno de los dos se actualiza de modo que sea el promedio
de los índices L y R del paso anterior.

La clave está en darse cuenta que la distancia entre L y R se divide por 2 en cada paso:
distancia(L,R) = | R - L | = distancia(L,R; de la iteración anterior) / 2.

Como los índices son enteros, en algún momento esta distancia tiene que hacerse menor que 1.

El algoritmo puede cortar mucho antes en algunos casos.
Pero el peor caso se da cuando se divide por 2 sucesivamente,
tanto como sea posible.
Esto es un problema aritmético.

Dividir por 2 varias veces es lo mismo que dividir por una potencia de 2.
La pregunta es, ¿cuál es esa potencia de 2?
Hay que expresar ese valor como una función del tamaño n del array.

Luego, despreciando términos de orden inferior y constantes,
se obtiene la complejidad O(f(n)), para una función f(n) sencilla.




14
y por \(\mu\)-completitud, converge en medida a una función \(f\).
Habrá una subsucesión \(f_{n_k}\) que converge a \(f\) en \(\mu\)-casi todo punto.

¿Qué es la \( \mu \)-completitud? ¿La completitud en el sentido de la extensión de Carathéodory, que cada subconjunto de un conjunto de medida nula tiene medida nula también? Si es así me sorprende un poco, nunca he leído nada al respecto (aclaro que yo entendí que por completitud se refería en el sentido métrico, pero tiene más sentido que fuese en el sentido de la medida claro).

Añado: he mirado varios libros de análisis y en ninguno se menciona la necesidad de que \( \mu \) tenga que ser completa para que \( L_p(\mu) \) sea un espacio de Banach. Las demostraciones transcurren todas sin que se utilice ese dato ni se presuponga tal completitud.

Una medida es completa en sentido de Cauchy si toda sucesión de Cauchy en medida es también convergente en medida.

Sin embargo, toda sucesión de funciones de Cauchy en medida converge en medida a alguna función, y todas las funciones a las que converge la sucesión difieren en un conjunto de medida 0.

Me dejé confundir por el enunciado.
Creo que, como vos decís, no hace falta pasar por la convergencia en medida para probar el resultado.
Basta aplicar el criterio de convergencia absoluta de series, y las propiedades típicas de las integrales (Lema de Fatou, etc.).

15
Si ya se ha probado antes que el espacio de las funciones medibles es un espacio vectorial, entonces es suficiente probar que el conjunto de funciones integrables es un subespacio, con lo cual  sólo hay que verificar que si \(\alpha,\beta\), escalares y \(f,g\), integrables, entonces \(h=\alpha f + \beta g\) es integrable.

Para las propiedades de norma,
usar que la integral es monótona.
Digamos que si \(0\leq F \leq G\),
entonces
\[0\leq \int F \leq \int G.\]
¿Cómo elegir adecuadamente las funciones \(F\) y \(G\) para comprobar la desigualdad triangular deseada?

Para la completitud, comprobar que si \(f_n\) es una sucesión de funciones integrables, de Cauchy en norma \(\|\|_1\), entonces es de Cauchy en medida,
y por \(\mu\)-completitud, converge en medida a una función \(f\).
Habrá una subsucesión \(f_{n_k}\) que converge a \(f\) en \(\mu\)-casi todo punto.

Acá hay que investigar en los apuntes de teoría las propiedades ya demostradas de la integral, cuál es la que sirve para probar que \(|f_{n_k}-f|\) converge a 0 en integral.  8^)

Ahora bien, ¿es cierto que si una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente, la sucesión original converge?

16
Foro general / Re: carrera de programación
« en: 23 Marzo, 2021, 04:12 pm »
Seguro depende del país, pero si es como lo que yo conozco, los cursos universitarios son autocontenidos. La prueba para entrar determina si se tienen los conocimientos y capacidades mínimas, y adentro se enseña el resto. Así que con las ganas debiera bastar. Y con ganas, me refiero a ganas de entrar a la universidad a aprender. Los cursos de matemática de carreras no científicas son abordables por cualquiera.

Estoy de acuerdo con mathtruco.

La matemática de Universidad no es fácil,
pero los cursos de matemática, así como cualquier otra materia,
están diseñados para que los entienda cualquier persona
que inicia una carrera.
Millones de personas en el mundo realizan tales cursos, y obtienen sus títulos.
Así que me parece que, antes que un problema de contenidos,
es una cuestión de actitud, de echarse pa'elante.

El método científico soluciona muchos problemas en la vida:
hay que experimentar primero, y pensar después a ver qué como es el asunto.

Si le gusta la informática, tendrá que saber matemática.
Es cuestión de aceptar que eso es así,
y arrancar la carrera sin tantas prevenciones, con los ojos cerrados.
Si hay ganas, se resuelve todo en el camino.

¡Mucha suerte!  ;D

17
Si vas a usar la densidad de \[ \Bbb Q \] en \[ \Bbb R \], ¿no es más fácil decir directamente que si \[ q \] es un racional con \[ q^2<2 \] (luego \[ q<\sqrt{2} \]), entonces por densidad existe \[ q' \] racional con \[ q<q'<\sqrt{2} \] (y \[ q' \] claramente cumple \[ q'^2<2 \])?

Técnicamente lo que haces está bien, pero es dar mucha vuelta, creo yo.
Aunque la existencia de un \[ n \] tal que \[ r^2<2-\frac{1}{n}<2 \] no se sigue de que \[ 2-\frac{1}{n} \] es irracional, como parece que digas.

Eso también es verdad.

Muchas gracias, Geómetracat.

Saludos.

Me engancho en esta última parte de la discusión, espero no meter nada confuso.

Para probar que existe \(n\) tal que \(r^2 < 2-\frac1n < 2\) en \(\mathbb Q\),
se aprovecha la propiedad arquimediana, que vale en \(\mathbb Q\),
así como en todo conjunto de números que se pueda ordenar en la recta numérica.

La propiedad arquimediana (en \(\mathbb Q\)) dice que para todo número racional, existe un entero positivo \(n\) que es más grande. En símbolos:

\[\forall q\in\mathbb Q\,:\, \exists n\in\mathbb Z^+\,:\, n > q. \]

Esta propiedad se puede demostrar fácilmente en \(\mathbb Q\).
Primeramente, es obvio que se cumple si el número \(q<1\),
pues tomando \(n=1\) vemos que \(q<n\) siendo \(n\) entero positivo.
Si ahora asumimos que \(q\geq 1\), procedemos así:
recordemos que un número racional positivo (como lo es \(q\))
se puede escribir como fracción de dos enteros positivos \(a,b\): \(q=\dfrac ab\).
Como hemos asumido que \(q\geq 1\), el numerador es más grande (o igual) que el denominador, y además siendo ambos positivos podemos anotar:
\(0<b\leq a\).
Si ahora multiplicamos por un entero positivo mayor que el denominador,
y que además sea múltiplo de dicho denominador (por ejemplo \(2b\),
vamos a obtener un número entero positivo mayor que \(q\).
Para comprobarlo, notemos que \(q\geq 1\) porque es un entero positivo.
Entonces:

\[2b \cdot q = 2b\dfrac ab \geq 2\cdot 1 \cdot \dfrac ab > \dfrac ab = q. \]

Por otro lado, el número \(n=2b\cdot q \) es entero positivo,
ya que lo hemos elegido estratégicamente para que \(2b\) se cancele con el denominador de \(q=\dfrac ab\), con lo cual:

\[n=2b\cdot q = 2b\dfrac ab = 2\cdot a.\]

Hemos demostrado que \(n>q\).

_________________________________

Esta propiedad puede usarse no sólo para buscar números grandes,
sino también números pequeños, de la forma \(1/n\), con \(n\) entero positivo,
de manera que \(1/n\) sea tan pequeño como nos haga falta.

Supongamos que ahora tenemos un número racional positivo \(u\).
Entonces \(q=1/u\) también es un racional positivo,
y la propiedad arquimediana nos dice que existe \(n\in\mathbb Z^+\)
tal que \(n>q\).
Usando que los recíprocos invierten las desigualdades, obtenemos que:

\[\dfrac1n<\dfrac 1q = u.\]

Pero además tenemos que \(1/n\) es positivo, así que podemos escribir algo más preciso:

\[0<\dfrac1n <u.\]

_______________________

Ahora lo que conviene hacer es "correr todo al 0".

Tu problema es encontrar un número \(n\) tal que
\[r^2 < 2-\frac 1n< 2.\]
siendo \(r^2\) racional (sin importar que \(q\) sea o no racional).
Primero hemos de transformar el problema para
que podamos aprovechar la propiedad del recíproco de la arquimediana,
"llevando todo al 0".
Primero restamos 2 en todos los miembros, lo cual mantiene las desigualdades:
\[r^2 {\color{red}- 2} <  2 {\color{red}-2} - \frac 1n < 2{\color{red}-2} .\]
Simplificando, queda:

\[r^2 -2 <   - \frac 1n < 0 .\]

Resolver el problema de hallar un \(n\in\mathbb Z^+\) que cumpla esa desigualdad
es un problema equivalente al original.
 
Ahora seguimos transformando el problema para obtener
otro problema equivalente.
Multplicamos todos los miembros por \((-1)\),
lo cual es un mero cambio de signo,
que a su vez nos obliga a invertir el sentido de todas las desigualdades, y nos queda:

\[2-r^2 > \frac1n > 0.\]

Entonces preguntamos: ¿existe un número entero positivo \(n\) que cumpla esa desigualdad?

Podemos responder que sí, ya que ahora basta tomar como \(u\)
al primero miembro: \(u=2-r^2\).
Como habíamos supuesto que \(r^2 < 2\),
esto es lo mismo que decir que \(u>0\).
Todo esto que digo está guiado por la idea de "correr todo al 0",
lo cual ayuda a que uno se dé cuenta de qué detalles tiene que mirar.

Por la propiedad que vimos más arriba, del caso del recíproco arquimediano (por llamarla de algún modo),
vemos que existe \(n\) entero positivo tal que \(0 < \frac1n < u\),
lo cual equivale a escribir \(0<\frac1n < 2-q^2\).

Pero habíamos dicho que esto era equivalente a tener \(q^2<2-\dfrac1n<2\).



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Foro general / Re: Matemáticas anti-racistas
« en: 23 Febrero, 2021, 01:12 am »
Resuelve la ecuación siguiente: \( x+5 = 7 \). Por imperativo legal, para aprobar el examen deberás dar al menos dos respuestas válidas.

\(x=2\)

\(x=-(\cos\pi)+\lim_{t\to0} t^t\).

¿Ves que la metodología funciona?

El tipo del video, digamos, T, defiende que:
"El punto de vista de cada persona es válido".
Si el punto de vista de una persona X es que:
"El punto de vista de T no es válido".
¿Qué resulta de eso?

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Foro general / Re: Los números telefónicos no son números
« en: 10 Febrero, 2021, 04:12 am »
lo que pretendías con este hilo era mostrar un error patente, obvio, sin discusión;

Pues entonces vos también estás siendo radical, y encima me das la razón.
Doble pecado.  >:D

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Foro general / Re: Los números telefónicos no son números
« en: 10 Febrero, 2021, 02:48 am »
A ti y a mi un numero de telefono no nos dice gran cosa pero a un técnico de la compañía telefónica le da mucha informacion.

El problema no es quien tiene más información, sino que con la información que tenemos de ellos, es suficiente para entender que los números teléfonicos no son números desde un punto de vista matemático.

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